44.7 Hallatala fundin

4.7.3 Að rita línulegar jöfnur

4.7.3 • Að rita línulegar jöfnur

Verkefni

Í algebru eru jöfnur oft ritaðar á þrjú mismunandi form: hallatöluform, punkthallaform og staðalform. Þetta eru jafngildar leiðir til að rita sömu jöfnu, en hvert form hentar við ólík verkefni.

Form	Jafna	Upplýsingar
Hallatöluform	y = mx + b	Gefið: m er hallatala og b er skurðpunktur við y-ás.
Punkthallaform	y − y₁ = m(x − x₁)	Gefið: punktur (x₁, y₁) og hallatalan m.
Staðalform	Ax + By = C	Hallatalan er m = −A/B. Staðalform er án brota og tugabrota og byrjar ekki á neikvæðri tölu.

Hallatöluform: $y = m x + b$ .

Punkthallaform: y−y₁=m(x−x₁).

Staðalform: $A x + B y = C$ , þar sem hallatalan er m=−A/B.

Í hallatöluformi þarf hallatöluna og skurðpunktinn við y-ás.

$1$ . Ritaðu jöfnu á hallatöluformi fyrir línu með hallatöluna $- 2$ og skurðpunkt við y-ás í punktinum $(0,4)$ .

Berðu saman svarið þitt: $y = - 2 x + 4$

Settu hallatöluna inn fyrir $m$ og $y$ -gildi skurðpunktsins við y-ás inn fyrir $b$ í formúlunni $y = m x + b$ .

Í punkthallaformi þarf hallatöluna og einn punkt á línunni.

$2$ . Ritaðu jöfnu á punkthallaformi fyrir línu með hallatöluna 1/2 sem liggur í gegnum punktinn $(3, - 5)$ .

Berðu saman svarið þitt: y+5=1/2(x−3)

Settu punktinn (x₁,y₁) og hallatöluna inn í formúluna.

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

$y - (- 5) = \frac{1}{2} (x - 3)$

$y + 5 = \frac{1}{2} (x - 3)$

Staðalform línulegrar jöfnu er oft notað til að finna skurðpunkta grafs við x-ás og y-ás.

Oft byrjar jafna á öðru formi og er síðan umrituð á staðalform.

Staðalform má ekki innihalda brot eða tugabrot. Staðalform má ekki byrja á neikvæðri tölu.

$3$ . Hver er hallatalan í jöfnunni $y = 2 x + 3$ ?

Berðu saman svarið þitt: Hallatalan er $2$ .

$4$ . Ritaðu jöfnuna $y = 2 x + 3$ á staðalformi.

Berðu saman svarið þitt: $2 x - y = - 3$

Ritaðu jöfnuna á forminu $A x + B y = C$ .

Skref 1 - Raðaðu liðum þannig að $x$ -liðurinn og $y$ -liðurinn séu báðir vinstra megin við jafnaðarmerkið. Dragðu $2 x$ frá báðum hliðum.

$y - 2 x = 2 x - 2 x + 3$

Skref 2 - Ritaðu $x$ -liðinn fyrst og einfaldaðu.

$- 2 x + y = 3$

Skref 3 - Margfaldaðu báðar hliðar með $- 1$ svo jafnan byrji ekki á neikvæðri tölu.

$- 1 (- 2 x + y = 3)$

$2 x - y = - 3$

Vinnið með félaga og ritið jöfnur á mismunandi formum.

$5$ . Hver er hallatalan í jöfnunni $y - 3 = 2 (x + 4)$ ?

Berðu saman svarið þitt: Hallatalan er $2$ .

$6$ . Ritaðu jöfnuna $y - 3 = 2 (x + 4)$ á hallatöluformi.

Berðu saman svarið þitt: $y = 2 x + 11$

$y - 3 = 2 (x + 4)$

Skref 1 - Margfaldaðu inn í svigann.

$y - 3 = 2 x + 8$

Skref 2 - Leggðu $3$ við báðar hliðar til að leysa fyrir $y$ .

$y - 3 + 3 = 2 x + 8 + 3$

Skref 3 - Einfaldaðu.

$y = 2 x + 11$

$7$ . Ritaðu jöfnuna $y + 5 = - 3 (x - 2)$ á staðalformi.

Berðu saman svarið þitt: $3 x + y = 1$

Skref 1 - Margfaldaðu inn í svigann: $y + 5 = - 3 x + 6$ .

Skref 2 - Raðaðu liðum þannig að $x$ -liðurinn og $y$ -liðurinn séu báðir vinstra megin við jafnaðarmerkið. Leggðu $3 x$ við báðar hliðar.

$y + 5 + 3 x = - 3 x + 3 x + 6$

Skref 3 - Færðu fastana hægra megin við jafnaðarmerkið. Dragðu $5$ frá báðum hliðum.

$y + 5 - 5 + 3 x = - 3 x + 3 x + 6 - 5$

Skref 4 - Einfaldaðu. Gættu þess að $x$ -liðurinn standi á undan $y$ -liðnum vinstra megin.

$3 x + y = 1$

$8$ . Ritaðu jöfnuna y=1/3x−4 á staðalformi.

Berðu saman svarið þitt: $x - 3 y = 12$

Skref 1 - Losaðu jöfnuna við brotið. Margfaldaðu alla liði með $3$ .

$3 y = 3 (\frac{1}{3} x - 4)$

Skref 2 - Margfaldaðu inn í svigann og einfaldaðu.

$3 y = x - 12$

Skref 3 - Raðaðu liðum þannig að $x$ -liðurinn og $y$ -liðurinn séu báðir vinstra megin við jafnaðarmerkið. Dragðu $x$ frá báðum hliðum.

$3 y - x = x - x - 12$

Skref 4 - Einfaldaðu.

$3 y - x = - 12$

Skref 5 - Ritaðu jöfnuna þannig að $x$ -liðurinn komi fyrst.

$- x + 3 y = - 12$

Skref 6 - Margfaldaðu alla liði með $- 1$ svo jafnan byrji ekki á neikvæðri tölu.

$- 1 (- x + 3 y = - 12)$

$x - 3 y = 12$

$9$ . Hver er hallatalan í jöfnunni $3 x + 12 y = 24$ ?

Berðu saman svarið þitt: Hallatalan er m=−A/B. m=−3/12, svo m=−1/4.

Myndband: Að rita jöfnur á mismunandi formum

Horfðu á myndbandið til að sjá fleiri dæmi um að rita jöfnur á mismunandi formum.

Ítarefni

Að rita línulegar jöfnur á mismunandi formum

Dæmi 1

Þegar jöfnur eru ritaðar á þessum formum er auðvelt að greina hallatöluna $m$ .

Jafna	Form	Hallatala	Gildi
y = 5x − 15	y = mx + b	m	5
y = 6x + 8	y = mx + b	m	6
y − 7 = 9(x + 1)	y − y₁ = m(x − x₁)	m	9
y − 20 = 3(x + 16)	y − y₁ = m(x − x₁)	m	3

Dæmi 2

Finndu jöfnu línu með hallatöluna $- 9$ og skurðpunkt við y-ás í punktinum $(0, - 4)$ á hallatöluformi.

Skref 1 - Finndu $m$ og $b$ .

$m = - 9$

$b = - 4$

Skref 2 - Settu gildin inn í formúluna.

$y = - 9 x - 4$

Dæmi 3

Finndu jöfnu línu á punkthallaformi ef hallatalan er −1/3 og punkturinn er $(6, - 4)$ .

Skref 1 - Finndu $m$ og (x₁,y₁).

$m = - \frac{1}{3}$

$x_{1} = 6$

$y_{1} = - 4$

Skref 2 - Settu gildin inn í formúluna.

$y - (- 4) = - \frac{1}{3} (x - 6)$

Skref 3 - Einfaldaðu.

$y + 4 = - \frac{1}{3} (x - 6)$

Dæmi 4

Ritaðu jöfnuna y+4=−1/3(x−6) á staðalformi.

Skref 1 - Margfaldaðu til að losna við brotið. Mundu að staðalform má hvorki innihalda tugabrot né brot. Margfaldaðu alla liði með $3$ .

$3 (y + 4) = 3 (- \frac{1}{3} (x - 6))$

$3 y + 12 = - (x - 6)$

Skref 2 - Margfaldaðu inn í svigann.

$3 y + 12 = - x + 6$

Skref 3 - Raðaðu liðum þannig að $x$ -liðurinn og $y$ -liðurinn séu báðir vinstra megin við jafnaðarmerkið. Leggðu $x$ við báðar hliðar.

$3 y + 12 + x = - x + x + 6$

Skref 4 - Einfaldaðu.

$3 y + 12 + x = 6$

Skref 5 - Færðu fastana hægra megin. Dragðu $12$ frá báðum hliðum.

$3 y + 12 + x - 12 = 6 - 12$

Skref 6 - Einfaldaðu.

$3 y + x = - 6$

Skref 7 - Ritaðu $x$ -liðinn á undan $y$ -liðnum.

$x + 3 y = - 6$

44.7 Hallatala fundin

4.7.3 Að rita línulegar jöfnur

4.7.3 • Að rita línulegar jöfnur

Verkefni

Form	Jafna	Upplýsingar
Hallatöluform	y = mx + b	Gefið: m er hallatala og b er skurðpunktur við y-ás.
Punkthallaform	y − y₁ = m(x − x₁)	Gefið: punktur (x₁, y₁) og hallatalan m.
Staðalform	Ax + By = C	Hallatalan er m = −A/B. Staðalform er án brota og tugabrota og byrjar ekki á neikvæðri tölu.

Hallatöluform: $y = m x + b$ .

Punkthallaform: y−y₁=m(x−x₁).

Staðalform: $A x + B y = C$ , þar sem hallatalan er m=−A/B.

Í hallatöluformi þarf hallatöluna og skurðpunktinn við y-ás.

$1$ . Ritaðu jöfnu á hallatöluformi fyrir línu með hallatöluna $- 2$ og skurðpunkt við y-ás í punktinum $(0,4)$ .

Berðu saman svarið þitt: $y = - 2 x + 4$

Settu hallatöluna inn fyrir $m$ og $y$ -gildi skurðpunktsins við y-ás inn fyrir $b$ í formúlunni $y = m x + b$ .

Í punkthallaformi þarf hallatöluna og einn punkt á línunni.

$2$ . Ritaðu jöfnu á punkthallaformi fyrir línu með hallatöluna 1/2 sem liggur í gegnum punktinn $(3, - 5)$ .

Berðu saman svarið þitt: y+5=1/2(x−3)

Settu punktinn (x₁,y₁) og hallatöluna inn í formúluna.

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

$y - (- 5) = \frac{1}{2} (x - 3)$

$y + 5 = \frac{1}{2} (x - 3)$

Staðalform línulegrar jöfnu er oft notað til að finna skurðpunkta grafs við x-ás og y-ás.

Oft byrjar jafna á öðru formi og er síðan umrituð á staðalform.

Staðalform má ekki innihalda brot eða tugabrot. Staðalform má ekki byrja á neikvæðri tölu.

$3$ . Hver er hallatalan í jöfnunni $y = 2 x + 3$ ?

Berðu saman svarið þitt: Hallatalan er $2$ .

$4$ . Ritaðu jöfnuna $y = 2 x + 3$ á staðalformi.

Berðu saman svarið þitt: $2 x - y = - 3$

Ritaðu jöfnuna á forminu $A x + B y = C$ .

Skref 1 - Raðaðu liðum þannig að $x$ -liðurinn og $y$ -liðurinn séu báðir vinstra megin við jafnaðarmerkið. Dragðu $2 x$ frá báðum hliðum.

$y - 2 x = 2 x - 2 x + 3$

Skref 2 - Ritaðu $x$ -liðinn fyrst og einfaldaðu.

$- 2 x + y = 3$

Skref 3 - Margfaldaðu báðar hliðar með $- 1$ svo jafnan byrji ekki á neikvæðri tölu.

$- 1 (- 2 x + y = 3)$

$2 x - y = - 3$

Vinnið með félaga og ritið jöfnur á mismunandi formum.

$5$ . Hver er hallatalan í jöfnunni $y - 3 = 2 (x + 4)$ ?

Berðu saman svarið þitt: Hallatalan er $2$ .

$6$ . Ritaðu jöfnuna $y - 3 = 2 (x + 4)$ á hallatöluformi.

Berðu saman svarið þitt: $y = 2 x + 11$

$y - 3 = 2 (x + 4)$

Skref 1 - Margfaldaðu inn í svigann.

$y - 3 = 2 x + 8$

Skref 2 - Leggðu $3$ við báðar hliðar til að leysa fyrir $y$ .

$y - 3 + 3 = 2 x + 8 + 3$

Skref 3 - Einfaldaðu.

$y = 2 x + 11$

$7$ . Ritaðu jöfnuna $y + 5 = - 3 (x - 2)$ á staðalformi.

Berðu saman svarið þitt: $3 x + y = 1$

Skref 1 - Margfaldaðu inn í svigann: $y + 5 = - 3 x + 6$ .

Skref 2 - Raðaðu liðum þannig að $x$ -liðurinn og $y$ -liðurinn séu báðir vinstra megin við jafnaðarmerkið. Leggðu $3 x$ við báðar hliðar.

$y + 5 + 3 x = - 3 x + 3 x + 6$

Skref 3 - Færðu fastana hægra megin við jafnaðarmerkið. Dragðu $5$ frá báðum hliðum.

$y + 5 - 5 + 3 x = - 3 x + 3 x + 6 - 5$

Skref 4 - Einfaldaðu. Gættu þess að $x$ -liðurinn standi á undan $y$ -liðnum vinstra megin.

$3 x + y = 1$

$8$ . Ritaðu jöfnuna y=1/3x−4 á staðalformi.

Berðu saman svarið þitt: $x - 3 y = 12$

Skref 1 - Losaðu jöfnuna við brotið. Margfaldaðu alla liði með $3$ .

$3 y = 3 (\frac{1}{3} x - 4)$

Skref 2 - Margfaldaðu inn í svigann og einfaldaðu.

$3 y = x - 12$

Skref 3 - Raðaðu liðum þannig að $x$ -liðurinn og $y$ -liðurinn séu báðir vinstra megin við jafnaðarmerkið. Dragðu $x$ frá báðum hliðum.

$3 y - x = x - x - 12$

Skref 4 - Einfaldaðu.

$3 y - x = - 12$

Skref 5 - Ritaðu jöfnuna þannig að $x$ -liðurinn komi fyrst.

$- x + 3 y = - 12$

Skref 6 - Margfaldaðu alla liði með $- 1$ svo jafnan byrji ekki á neikvæðri tölu.

$- 1 (- x + 3 y = - 12)$

$x - 3 y = 12$

$9$ . Hver er hallatalan í jöfnunni $3 x + 12 y = 24$ ?

Berðu saman svarið þitt: Hallatalan er m=−A/B. m=−3/12, svo m=−1/4.

Myndband: Að rita jöfnur á mismunandi formum

Horfðu á myndbandið til að sjá fleiri dæmi um að rita jöfnur á mismunandi formum.

Ítarefni

Að rita línulegar jöfnur á mismunandi formum

Dæmi 1

Þegar jöfnur eru ritaðar á þessum formum er auðvelt að greina hallatöluna $m$ .

Jafna	Form	Hallatala	Gildi
y = 5x − 15	y = mx + b	m	5
y = 6x + 8	y = mx + b	m	6
y − 7 = 9(x + 1)	y − y₁ = m(x − x₁)	m	9
y − 20 = 3(x + 16)	y − y₁ = m(x − x₁)	m	3

Dæmi 2

Finndu jöfnu línu með hallatöluna $- 9$ og skurðpunkt við y-ás í punktinum $(0, - 4)$ á hallatöluformi.

Skref 1 - Finndu $m$ og $b$ .

$m = - 9$

$b = - 4$

Skref 2 - Settu gildin inn í formúluna.

$y = - 9 x - 4$

Dæmi 3

Finndu jöfnu línu á punkthallaformi ef hallatalan er −1/3 og punkturinn er $(6, - 4)$ .

Skref 1 - Finndu $m$ og (x₁,y₁).

$m = - \frac{1}{3}$

$x_{1} = 6$

$y_{1} = - 4$

Skref 2 - Settu gildin inn í formúluna.

$y - (- 4) = - \frac{1}{3} (x - 6)$

Skref 3 - Einfaldaðu.

$y + 4 = - \frac{1}{3} (x - 6)$

Dæmi 4

Ritaðu jöfnuna y+4=−1/3(x−6) á staðalformi.

Skref 1 - Margfaldaðu til að losna við brotið. Mundu að staðalform má hvorki innihalda tugabrot né brot. Margfaldaðu alla liði með $3$ .

$3 (y + 4) = 3 (- \frac{1}{3} (x - 6))$

$3 y + 12 = - (x - 6)$

Skref 2 - Margfaldaðu inn í svigann.

$3 y + 12 = - x + 6$

Skref 3 - Raðaðu liðum þannig að $x$ -liðurinn og $y$ -liðurinn séu báðir vinstra megin við jafnaðarmerkið. Leggðu $x$ við báðar hliðar.

$3 y + 12 + x = - x + x + 6$

Skref 4 - Einfaldaðu.

$3 y + 12 + x = 6$

Skref 5 - Færðu fastana hægra megin. Dragðu $12$ frá báðum hliðum.

$3 y + 12 + x - 12 = 6 - 12$

Skref 6 - Einfaldaðu.

$3 y + x = - 6$

Skref 7 - Ritaðu $x$ -liðinn á undan $y$ -liðnum.

$x + 3 y = - 6$