4.16.2 Hvað er jafnmunaruna?

Verkefni

Hér eru gildi fyrstu fimm liðanna í þremur runum:

1. A. 30, 40, 50, 60, 70, ...
2. B. 0, 5, 15, 30, 50, ...
3. C. 1, 2, 4, 8, 16, ...

1. Lýstu fyrir hverja runu hvernig má mynda nýjan lið út frá liðnum á undan.

a. 30, 40, 50, 60, 70, ...

Lausn

Berðu svarið saman:

Hver liður er 10 stærri en liðurinn á undan.

b. 0, 5, 15, 30, 50, ...

Lausn

Berðu svarið saman:

Hver liður fæst með því að leggja við 5 meira en var lagt við liðinn á undan; fyrst er 5 lagt við, síðan 10 og síðan 15.

c. 1, 2, 4, 8, 16, ...

Lausn

Berðu svarið saman:

Hver liður er tvöfaldur liðurinn á undan.

2. Ef mynstrin sem þú lýstir halda áfram, hvaða runa hefur næststærsta gildið fyrir $10.$ liðinn?

Lausn

Berðu svarið saman:

Runa B.

3. Hverjar af þessum runum gætu verið kvótarunur? Útskýrðu hvernig þú veist það.

Lausn

Berðu svarið saman:

Runa C. Kvótaruna hefur sama margfaldara frá einum lið til þess næsta, kvótann. Hvorki runa A né runa B hefur fastan kvóta, en runa C hefur kvótann 2.

Jafnmunaruna er runa þar sem hver liður fæst með því að bæta föstum mismun við liðinn á undan. Þessi fasti er kallaður mismunur rununnar.

4. Hverjar af þessum runum gætu verið jafnmunarunur? Útskýrðu hvernig þú veist það.

Lausn

Berðu svarið saman:

Runa A. Í jafnmunarunu fæst hver liður með því að leggja sama fasta við liðinn á undan. Í runu A er 10 lagt við hvern lið til að finna næsta lið.

Ertu til í meira?

Að hugsa lengra

Elena segir að ekki sé hægt að hafa talnarunu sem sé bæði jafnmunaruna og kvótaruna. Ertu sammála Elenu? Undirbúðu þig til að sýna rökstuðning þinn.

Lausn

Berðu svarið saman:

Elena hefur ekki rétt fyrir sér. Til dæmis er runan 1, 1, 1, ... jafnmunaruna, því 0 er lagt við í hvert skipti, en hún er líka kvótaruna, því margfaldað er með 1 í hvert skipti.

Myndband: Samanburður á runum

Horfðu á myndbandið til að læra meira um samanburð á jafnmunarunum og kvótarunum.

Sjálfspróf

Hver af eftirfarandi runum er jafnmunaruna?

1. 25, 5, 1, $\frac{1}{5}$, ...
2. 3, 7, 11, 15, ...
3. 1, 4, 16, 64, ...
4. 3, 4, 6, 9, 13, ...

Viðbótarefni

Jafnmunarunur

Að finna mismun

Fyrirtæki kaupa oft dýra hluti, svo sem tölvur og ökutæki, til notkunar í rekstri.

• Kona sem stofnar lítið verktakafyrirtæki kaupir nýjan vörubíl á 25.000 dali.
• Eftir fimm ár áætlar hún að geta selt vörubílinn á 8.000 dali. Verðrýrnun vörubílsins er því 17.000 dalir, eða 3.400 dalir á ári í fimm ár.
• Vörubíllinn verður 21.600 dala virði eftir fyrsta árið, 18.200 dala virði eftir tvö ár, 14.800 dala virði eftir þrjú ár, 11.400 dala virði eftir fjögur ár og 8.000 dala virði í lok fimmta árs.

Gildin í dæminu mynda jafnmunarunu vegna þess að þau breytast um fasta upphæð á hverju ári. Hver liður hækkar eða lækkar um sama fasta gildi, sem kallast mismunur rununnar. Í þessari runu er mismunurinn −3.400.

Runan hér að neðan er annað dæmi um jafnmunarunu. Hér er mismunurinn 3. Þú getur valið hvaða lið rununnar sem er og lagt 3 við til að finna næsta lið.

JAFNMUNARUNA

Jafnmunaruna er runa þar sem mismunurinn á milli tveggja samliggjandi liða er fasti. Þessi fasti er kallaður mismunur. Ef $a_1$ er fyrsti liður jafnmunarunu og $d$ er mismunurinn, má rita rununa þannig:

$$\left\{a_n\right\}=\{a_1,a_1+d,a_1+2d,a_1+3d,\dots \}$$

Dæmi

Er hvor runa jafnmunaruna? Ef svo er, finndu mismuninn.

1. {1, 2, 4, 8, 16, ...}
2. {-3, 1, 5, 9, 13, ...}

Dragðu hvern lið frá liðnum á eftir til að ákvarða hvort fastur mismunur sé til staðar.

a. Runan er ekki jafnmunaruna því enginn fastur mismunur er til staðar.

$2-1=1$

$4-2=2$

$8-4=4$

$16-8=8$

b. Runan er jafnmunaruna því fastur mismunur er til staðar. Mismunurinn er 4.

$1-(-3)=4$

$5-1=4$

$9-5=4$

$13-9=4$

Prófaðu

Jafnmunarunur

Er gefna runan jafnmunaruna? Ef svo er, finndu mismuninn.

{18, 16, 14, 12, 10, ...}

Lausn

Svona má ákvarða hvort runan sé jafnmunaruna:

$16-18=-2$

$14-16=-2$

$12-14=-2$

$10-12=-2$

Þetta er jafnmunaruna með mismuninn −2.