44.10 Samanburður grafa

4.10.2 Að túlka gröf og staðhæfingar út frá aðstæðum

4.10.2 • Að túlka gröf og staðhæfingar út frá aðstæðum

Verkefni

Látum

H(t)

tákna hlutfall heimila í Bandaríkjunum, í prósentum, sem hafa heimasíma árið

x

Látum

C(t)

tákna hlutfall heimila sem eru eingöngu með farsíma. Hér eru gröf fallanna:

H

C

Línurit sem sýnir að hlutfall heimila með heimasíma lækkar frá 2004 til 2016, en hlutfall heimila sem eru eingöngu með farsíma hækkar á sama tímabili. Heimasímar fara niður fyrir 50% og heimili eingöngu með farsíma fara yfir 40% árið 2016.

Áætlaðu eftirfarandi gildi:

Lausn

H(2006)

Berðu saman svarið þitt: Gildið er um það bil 85.

Útskýrðu hvað þetta gildi segir um símanotkun heimilanna.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Árið 2006 voru um 85% heimila með heimasíma.

Áætlaðu eftirfarandi gildi:

Lausn

C(2006)

Berðu saman svarið þitt: Gildið er um það bil 14.

Útskýrðu hvað þetta gildi segir um símanotkun heimilanna.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Árið 2006 voru um 14% heimila eingöngu með farsíma og engan heimasíma.

Hver er nálguð lausn jöfnunnar?

Lausn

C(t)=20

Berðu saman svarið þitt: Um það bil 2008.

Útskýrðu hvað lausnin á jöfnunni þýðir í þessum aðstæðum.

Lausn

C(t)=20

Berðu saman svarið þitt: Lausnin er

t=2008

Það þýðir að um 2008 notuðu 20% heimila eingöngu farsíma.

Er þessi jafna sönn?

Lausn

C(2011)=H(2011)

Berðu saman svarið þitt: Nei.

C(2011)≠H(2011)

Útskýrðu hvernig þú veist hvort jafnan er sönn.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið ólík. Hér er dæmi: Hlutfall heimila með heimasíma árið 2011,

H(2011)

er um það bil 70. Hlutfall heimila sem voru eingöngu með farsíma árið 2011,

C(2011)

er um það bil 30. Þessi gildi eru ekki jöfn.

Er þessi jafna sönn?

Lausn

C(2015)=H(2015)

Berðu saman svarið þitt: Já.

C(2015)=H(2015)

10.

Útskýrðu hvernig þú veist hvort jafnan er sönn.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið ólík. Hér er dæmi: Árið 2015 var hlutfall heimila með heimasíma jafnt hlutfalli heimila sem voru eingöngu með farsíma. Þetta sést þar sem gröfin skerast.

11.

Milli áranna 2004 og 2015: minnkaði hlutfall heimila með heimasíma með sama hraða og hlutfall heimila sem voru eingöngu með farsíma jókst?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Nei. Hlutfall heimila sem voru eingöngu með farsíma jókst með hraða sem var nálægt hraðanum sem hlutfall heimila með heimasíma minnkaði með, en hraðarnir voru ekki nákvæmlega jafnir.

12.

Útskýrðu rökstuðninginn fyrir svari þínu við spurningu 11.

Lausn

Árið 2004 voru aðeins um 6% heimila eingöngu með farsíma. Árið 2015 voru það um 48%. Meðalbreytingarhraði fyrir

C

(48−6)/(2015−2004)=42/11

eða um 3,8. Þetta þýðir að hlutfall heimila sem treystu eingöngu á farsíma jókst um 3,8 prósentustig á ári að meðaltali.

Árið 2004 voru um 92% heimila með heimasíma. Árið 2015 voru það aðeins um 48%. Meðalbreytingarhraði fyrir

H

(48−92)/(2015−2004)=−44/11

eða um −4. Þetta þýðir að hlutfall heimila sem notuðu heimasíma lækkaði um 4 prósentustig á ári að meðaltali.

Ítarefni

Samanburður á íbúafjölda

Gröf eru mjög gagnleg til að bera saman tvö eða fleiri föll. Hér eru gröf fallanna

C

T

sem sýna íbúafjölda Kaliforníu og Texas, í milljónum, árið

x

Línurit sem sýnir fólksfjölgun í Kaliforníu og Texas frá 1910 til 2010. Íbúafjöldi Kaliforníu eykst hraðar og fer yfir 35 milljónir, en íbúafjöldi Texas eykst jafnt og þétt í rúmlega 25 milljónir.

Í upphafi 20. aldar var íbúafjöldi Kaliforníu minni en íbúafjöldi Texas. Graf

C

er neðan við graf

T

þegar

x=1900

C(1900)<T(1900)

Um 1935 höfðu ríkin tvö svipaðan íbúafjölda, um 5 milljónir. Gröfin skerast nálægt punktinum

(1935, 5)

C(1935)=5

T(1935)=5

C(1935)=T(1935)

Eftir 1935 hefur Kalifornía haft fleiri íbúa en Texas. Þegar

1935"> x > 1935

er graf

C(x)

ofan við graf

T(x)

T(x)"> C (x) > T (x)

Íbúafjöldi beggja ríkja hefur aukist með tímanum, án tímabila þar sem hann lækkaði. Bæði gröfin halla upp á við frá vinstri til hægri.

Frá 1900 til 2010 jókst íbúafjöldi Kaliforníu hraðar en íbúafjöldi Texas. Kalifornía hafði meiri meðalbreytingarhraða. Ef dregin er lína milli punktanna fyrir 1900 og 2010 á hvoru grafi, þá hefur línan fyrir

C

meiri hallatölu en línan fyrir

T

(T(2010)−T(1900))/(2010−1900)"> \frac{C (2010) - C (1900)}{2010 - 1900} > \frac{T (2010) - T (1900)}{2010 - 1900}

44.10 Samanburður grafa

4.10.2 Að túlka gröf og staðhæfingar út frá aðstæðum

4.10.2 • Að túlka gröf og staðhæfingar út frá aðstæðum

Verkefni

Látum

H(t)

tákna hlutfall heimila í Bandaríkjunum, í prósentum, sem hafa heimasíma árið

x

Látum

C(t)

tákna hlutfall heimila sem eru eingöngu með farsíma. Hér eru gröf fallanna:

H

C

Áætlaðu eftirfarandi gildi:

Lausn

H(2006)

Berðu saman svarið þitt: Gildið er um það bil 85.

Útskýrðu hvað þetta gildi segir um símanotkun heimilanna.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Árið 2006 voru um 85% heimila með heimasíma.

Áætlaðu eftirfarandi gildi:

Lausn

C(2006)

Berðu saman svarið þitt: Gildið er um það bil 14.

Útskýrðu hvað þetta gildi segir um símanotkun heimilanna.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Árið 2006 voru um 14% heimila eingöngu með farsíma og engan heimasíma.

Hver er nálguð lausn jöfnunnar?

Lausn

C(t)=20

Berðu saman svarið þitt: Um það bil 2008.

Útskýrðu hvað lausnin á jöfnunni þýðir í þessum aðstæðum.

Lausn

C(t)=20

Berðu saman svarið þitt: Lausnin er

t=2008

Það þýðir að um 2008 notuðu 20% heimila eingöngu farsíma.

Er þessi jafna sönn?

Lausn

C(2011)=H(2011)

Berðu saman svarið þitt: Nei.

C(2011)≠H(2011)

Útskýrðu hvernig þú veist hvort jafnan er sönn.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið ólík. Hér er dæmi: Hlutfall heimila með heimasíma árið 2011,

H(2011)

er um það bil 70. Hlutfall heimila sem voru eingöngu með farsíma árið 2011,

C(2011)

er um það bil 30. Þessi gildi eru ekki jöfn.

Er þessi jafna sönn?

Lausn

C(2015)=H(2015)

Berðu saman svarið þitt: Já.

C(2015)=H(2015)

10.

Útskýrðu hvernig þú veist hvort jafnan er sönn.

Lausn

11.

Milli áranna 2004 og 2015: minnkaði hlutfall heimila með heimasíma með sama hraða og hlutfall heimila sem voru eingöngu með farsíma jókst?

Lausn

12.

Útskýrðu rökstuðninginn fyrir svari þínu við spurningu 11.

Lausn

Árið 2004 voru aðeins um 6% heimila eingöngu með farsíma. Árið 2015 voru það um 48%. Meðalbreytingarhraði fyrir

C

(48−6)/(2015−2004)=42/11

eða um 3,8. Þetta þýðir að hlutfall heimila sem treystu eingöngu á farsíma jókst um 3,8 prósentustig á ári að meðaltali.

Árið 2004 voru um 92% heimila með heimasíma. Árið 2015 voru það aðeins um 48%. Meðalbreytingarhraði fyrir

H

(48−92)/(2015−2004)=−44/11

eða um −4. Þetta þýðir að hlutfall heimila sem notuðu heimasíma lækkaði um 4 prósentustig á ári að meðaltali.

Ítarefni

Samanburður á íbúafjölda

Gröf eru mjög gagnleg til að bera saman tvö eða fleiri föll. Hér eru gröf fallanna

C

T

sem sýna íbúafjölda Kaliforníu og Texas, í milljónum, árið

x

Í upphafi 20. aldar var íbúafjöldi Kaliforníu minni en íbúafjöldi Texas. Graf

C

er neðan við graf

T

þegar

x=1900

C(1900)<T(1900)

Um 1935 höfðu ríkin tvö svipaðan íbúafjölda, um 5 milljónir. Gröfin skerast nálægt punktinum

(1935, 5)

C(1935)=5

T(1935)=5

C(1935)=T(1935)

Eftir 1935 hefur Kalifornía haft fleiri íbúa en Texas. Þegar

1935"> x > 1935

er graf

C(x)

ofan við graf

T(x)

T(x)"> C (x) > T (x)

Íbúafjöldi beggja ríkja hefur aukist með tímanum, án tímabila þar sem hann lækkaði. Bæði gröfin halla upp á við frá vinstri til hægri.

C

meiri hallatölu en línan fyrir

T

(T(2010)−T(1900))/(2010−1900)"> \frac{C (2010) - C (1900)}{2010 - 1900} > \frac{T (2010) - T (1900)}{2010 - 1900}