22.8 Framsetning aðstæðna með ójöfnum

2.8.2 Að greina skorður í ójöfnum

Verkefni
Eldri nemendur í nemendaráði framhaldsskóla eru að gera fjárhagsáætlun fyrir útskriftarballið. Tekjur af miðasölu þurfa að standa undir kostnaði við mat og skemmtun og auk þess skila hagnaði að lágmarki 200 Bandaríkjadölum sem rennur til skólans.
Þau hafa safnað þessum upplýsingum:
Í fyrra mættu 120 manns. Ballið tókst vel og búist er við enn meiri þátttöku í ár. Allt að 200 manns geta mætt.
Það þarf að vera að minnsta kosti einn umsjónarmaður fyrir hverja 20 nemendur.
Miðaverðið má ekki vera hærra en 20 Bandaríkjadalir á mann.
Hér eru nokkrar ójöfnur sem nemendurnir skrifuðu um aðstæðurnar. Hver bókstafur táknar eina stærð í aðstæðunum. Ákvarðaðu hvað hver bókstafur merkir í liðum 1-4.

1. $t≤20$

Berðu saman svarið þitt:

$t≤20$ merkir að miðaverðið, $t$ má vera minna en eða jafnt og 20 Bandaríkjadalir.

2. $120≤p≤200$

Berðu saman svarið þitt:

$120≤p≤200$ merkir að gert er ráð fyrir 120 til 200 gestum: 120 er minna en eða jafnt og fjöldi gesta og fjöldi gesta er minna en eða jafnt og 200. Bókstafurinn $p$ táknar fjölda gesta á ballinu.

3. $pt−m≥200$

Berðu saman svarið þitt:

$pt−m≥200$ merkir að heildartekjur af miðasölu í Bandaríkjadölum, $p t$ að frádregnum kostnaði við mat og skemmtun í Bandaríkjadölum, $m$ þurfa að vera að minnsta kosti 200.

4. c≥p20

Berðu saman svarið þitt:

$c$ ≥p20 merkir að fjöldi umsjónarmanna, c þarf að vera að minnsta kosti 120 af fjölda nemenda sem mæta.

Viltu spreyta þig á meiru?

Að hugsa lengra

Kiran segir að bæta ætti við skorðunni $t≥0$ Hver er röksemdin fyrir þessari skorðu?

Berðu saman svarið þitt:

Miðaverð getur ekki verið neikvætt.

Hvaða aðra sjálfgefna skorðu af þessu tagi ætti að bæta við?

Berðu saman svarið þitt:

Með sömu rökum mætti bæta við $m≥0$ Athugaðu að hinar breyturnar ættu heldur ekki að vera neikvæðar, en þær skorður felast þegar í ójöfnunum sem eru til staðar.

Sjálfspróf

Dýragarðsvörður gefur tígrisdýrunum máltíð úr kanínum og kjúklingum. Meðalkanína vegur 4 pund og meðalkjúklingur vegur 5 pund. Hvert tígrisdýr þarf að borða að minnsta kosti 15 pund af kjöti á dag. Dýragarðsvörðurinn skrifar ójöfnuna $4x+5y≥15$ til að tákna daglegt fæði tígrisdýrs. Hvað merkir bókstafurinn $y$ í ójöfnunni?

Ítarefni

Að þýða yfir í ójöfnu

Til að þýða setningar yfir í ójöfnur þarf að þekkja orðasambönd sem gefa ójöfnu til kynna. Sum þeirra eru einföld, til dæmis „meira en“ og „minna en“, en önnur eru síður augljós. Taflan sýnir nokkur algeng orðasambönd sem vísa til ójafna.

>	≥	<	≤
er stærra en; er meira en; er hærra en; fer yfir	er stærra en eða jafnt og; er að minnsta kosti; er ekki minna en; er lágmarkið	er minna en; er lægra en; eru færri en; er undir	er minna en eða jafnt og; er í mesta lagi; er ekki meira en; er hámarkið

Dæmi

Þýddu hvert orðasamband yfir í ójöfnu.

Tuttugu og sjö minna en x er að minnsta kosti 48. $x−27≥48$

„er að minnsta kosti“ merkir $≥$

5 meira en z er minna en 52. $z + 5 < 52$

„er minna en“ merkir $<$

Reyndu þetta

Að þýða yfir í ójöfnu

Þýddu eftirfarandi setningar yfir í ójöfnur.

1. Nítján minna en $p$ er ekki minna en 47. p

Berðu saman svarið þitt:

$p−19≥47$

2. Fjórum meira en $a$ er í mesta lagi 15. a

Berðu saman svarið þitt:

$a+4≤15$

22.8 Framsetning aðstæðna með ójöfnum

2.8.2 Að greina skorður í ójöfnum

Verkefni
Eldri nemendur í nemendaráði framhaldsskóla eru að gera fjárhagsáætlun fyrir útskriftarballið. Tekjur af miðasölu þurfa að standa undir kostnaði við mat og skemmtun og auk þess skila hagnaði að lágmarki 200 Bandaríkjadölum sem rennur til skólans.
Þau hafa safnað þessum upplýsingum:
Í fyrra mættu 120 manns. Ballið tókst vel og búist er við enn meiri þátttöku í ár. Allt að 200 manns geta mætt.
Það þarf að vera að minnsta kosti einn umsjónarmaður fyrir hverja 20 nemendur.
Miðaverðið má ekki vera hærra en 20 Bandaríkjadalir á mann.
Hér eru nokkrar ójöfnur sem nemendurnir skrifuðu um aðstæðurnar. Hver bókstafur táknar eina stærð í aðstæðunum. Ákvarðaðu hvað hver bókstafur merkir í liðum 1-4.

1. $t≤20$

Berðu saman svarið þitt:

$t≤20$ merkir að miðaverðið, $t$ má vera minna en eða jafnt og 20 Bandaríkjadalir.

2. $120≤p≤200$

Berðu saman svarið þitt:

3. $pt−m≥200$

Berðu saman svarið þitt:

$pt−m≥200$ merkir að heildartekjur af miðasölu í Bandaríkjadölum, $p t$ að frádregnum kostnaði við mat og skemmtun í Bandaríkjadölum, $m$ þurfa að vera að minnsta kosti 200.

4. c≥p20

Berðu saman svarið þitt:

$c$ ≥p20 merkir að fjöldi umsjónarmanna, c þarf að vera að minnsta kosti 120 af fjölda nemenda sem mæta.

Viltu spreyta þig á meiru?

Að hugsa lengra

Kiran segir að bæta ætti við skorðunni $t≥0$ Hver er röksemdin fyrir þessari skorðu?

Berðu saman svarið þitt:

Miðaverð getur ekki verið neikvætt.

Hvaða aðra sjálfgefna skorðu af þessu tagi ætti að bæta við?

Berðu saman svarið þitt:

Með sömu rökum mætti bæta við $m≥0$ Athugaðu að hinar breyturnar ættu heldur ekki að vera neikvæðar, en þær skorður felast þegar í ójöfnunum sem eru til staðar.

Sjálfspróf

Ítarefni

Að þýða yfir í ójöfnu

>	≥	<	≤
er stærra en; er meira en; er hærra en; fer yfir	er stærra en eða jafnt og; er að minnsta kosti; er ekki minna en; er lágmarkið	er minna en; er lægra en; eru færri en; er undir	er minna en eða jafnt og; er í mesta lagi; er ekki meira en; er hámarkið

Dæmi

Þýddu hvert orðasamband yfir í ójöfnu.

Tuttugu og sjö minna en x er að minnsta kosti 48. $x−27≥48$

„er að minnsta kosti“ merkir $≥$

5 meira en z er minna en 52. $z + 5 < 52$

„er minna en“ merkir $<$

Reyndu þetta

Að þýða yfir í ójöfnu

Þýddu eftirfarandi setningar yfir í ójöfnur.

1. Nítján minna en $p$ er ekki minna en 47. p

Berðu saman svarið þitt:

$p−19≥47$

2. Fjórum meira en $a$ er í mesta lagi 15. a

Berðu saman svarið þitt:

$a+4≤15$