22.5 Lausn jöfnuhneppa með eyðingu, 2. hluti

2.5.3 Að leysa línuleg jöfnuhneppi með tveimur breytum

Verkefni

Leystu hvert jöfnuhneppi án þess að teikna graf. Sýndu röksemdafærsluna og athugaðu lausnirnar.

Jöfnuhneppi A

{ 2x+3y=7; −2x+4y=14 }

Notaðu jöfnuhneppi A til að svara spurningum 1-3.

Hvert er gildi x?

Lausn

x = −1

Hvert er gildi y?

Lausn

y = 3

Sýndu röksemdafærsluna og athugaðu lausnina.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

2x + 3y = 7; −2x + 4y = 14; 7y = 21; y = 3

2x + 3y = 7; 2x + 3(3) = 7; 2x + 9 = 7; 2x = −2; x = −1

2x + 3y = 7; 2(−1) + 3(3) = 7; −2 + 9 = 7; 7 = 7 ✓

−2x + 4y = 14; −2(−1) + 4(3) = 14; 2 + 12 = 14; 14 = 14 ✓

Jöfnuhneppi B

{ 2x+3y=7; 3x−3y=3 }

Notaðu jöfnuhneppi B til að svara spurningum 4-6.

Hvert er gildi x?

Lausn

x = 2

Hvert er gildi y?

Lausn

y = 1

Sýndu röksemdafærsluna og athugaðu lausnina.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

2x + 3y = 7; 3x − 3y = 3; 5x = 10; x = 2

2x + 3y = 7; 2(2) + 3y = 7; 4 + 3y = 7; 3y = 3; y = 1

3x − 3y = 3; 3(2) − 3(1) = 3; 6 − 3 = 3; 3 = 3 ✓

2x + 3y = 7; 2(2) + 3(1) = 7; 4 + 3 = 7; 7 = 7 ✓

Jöfnuhneppi C

{ 2x+3y=5; 2x+4y=9 }

Notaðu jöfnuhneppi C til að svara spurningum 7-9.

Hvert er gildi x?

Lausn

x = −3,5

Hvert er gildi y?

Lausn

y = 4

Sýndu röksemdafærsluna og athugaðu lausnina.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

−1(2x + 3y = 5); −2x − 3y = −5

−2x − 3y = −5; 2x + 4y = 9; y = 4

2x + 4y = 9; 2x + 4(4) = 9; 2x + 16 = 9; 2x = −7; x = −7/2 = −3,5

2x + 3y = 5; 2(−3,5) + 3(4) = 5; −7 + 12 = 5; 5 = 5 ✓

2x + 4y = 9; 2(−3,5) + 4(4) = 9; −7 + 16 = 9; 9 = 9 ✓

Jöfnuhneppi D

{ 6x+9y=48; 6x−5y=20 }

Notaðu jöfnuhneppi D til að svara spurningum 10-12.

10.

Hvert er gildi x?

Lausn

x = 5

11.

Hvert er gildi y?

Lausn

y = 2

12.

Sýndu röksemdafærsluna og athugaðu lausnina.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

−1(6x + 9y = 48); −6x − 9y = −48

−6x − 9y = −48; 6x − 5y = 20; −14y = −28; y = 2

6x − 5y = 20; 6x − 5(2) = 20; 6x − 10 = 20; 6x = 30; x = 5

6x + 9y = 48; 6(5) + 9(2) = 48; 30 + 18 = 48; 48 = 48 ✓

6x − 5y = 20; 6(5) − 5(2) = 20; 30 − 10 = 20; 20 = 20 ✓

Meira til að hugsa um

Að víkka hugsunina

Þetta jöfnuhneppi hefur þrjár jöfnur:

{ 3x + 2y − z = 7; −3x + 5y + 2z = −14; 3x + y − z = 10 }

Leggðu fyrstu tvær jöfnurnar saman til að fá nýja jöfnu.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

7y + z = −7

Leggðu seinni tvær jöfnurnar saman til að fá nýja jöfnu.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

6y + z = −4

Leystu jöfnuhneppið sem fæst úr nýju jöfnunum tveimur og svaraðu síðan spurningum 3 og 4.

Hvert er gildi y?

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

y = −3

Hvert er gildi z?

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

z = 14

Leystu upprunalega jöfnuhneppið og svaraðu síðan spurningum 5-7.

5. Hvert er gildi x?

Berðu saman svarið þitt:

x = 9

6. Hvert er gildi y?

Berðu saman svarið þitt:

y = −3

7. Hvert er gildi z?

Berðu saman svarið þitt:

z = 14

Ítarefni

Að leysa jöfnuhneppi með því að fella út breytu

Rifjum upp skrefin til að leysa jöfnuhneppi með því að fella út breytu.

Skref 1 - Skrifaðu báðar jöfnurnar á staðalformi. Ef einhverjir stuðlar eru brot skaltu losa jöfnurnar við brotin.

Skref 2 - Athugaðu hvort stuðlar sömu breytu séu gagnstæðir eða jafnir.

Skref 3 - Leggðu jöfnurnar saman eða dragðu þær hvor frá annarri til að fella út eina breytu.

Skref 4 - Leystu fyrir breytuna sem er eftir.

Skref 5 - Settu lausnina úr skrefi 4 inn í aðra af upprunalegu jöfnunum. Leystu síðan fyrir hina breytuna.

Skref 6 - Skrifaðu lausnina sem raðaða tvennd.

Skref 7 - Athugaðu að raðaða tvenndin sé lausn á báðum upprunalegu jöfnunum.

Dæmi

Leysum eftirfarandi jöfnuhneppi með því að fella út breytu:

{ 3x − 3y = −24; −3x + 5y = 30 }

Skref 1 - Jöfnurnar eru á staðalformi.

Skref 2 - Stuðlar x-liðanna eru gagnstæðir, svo við getum lagt jöfnurnar saman.

Skref 3 - Leggðu jöfnurnar saman til að fella út eina breytu.

3x − 3y = −24; −3x + 5y = 30; 2y = 6

Skref 4 - Leystu fyrir breytuna sem er eftir.

2y = 6; y = 3

Skref 5 - Settu lausnina úr skrefi 4 inn í aðra af upprunalegu jöfnunum og leystu fyrir hina breytuna.

3x − 3y = −24; 3x − 3(3) = −24; 3x − 9 = −24; 3x = −15; x = −5

Skref 6 - Skrifaðu lausnina sem raðaða tvennd.

(−5, 3)

Skref 7 - Athugaðu að raðaða tvenndin sé lausn á báðum upprunalegu jöfnunum.

3x − 3y = −24; 3(−5) − 3(3) = −24; −15 − 9 = −24; −24 = −24 ✓

−3x + 5y = 30; −3(−5) + 5(3) = 30; 15 + 15 = 30; 30 = 30 ✓

Reyndu þetta

Að leysa jöfnuhneppi með því að fella út breytu

Leystu eftirfarandi jöfnuhneppi með því að fella út breytu:

Lausn

{ 4x − 6y = 8; x + 6y = 17 }

Berðu saman svarið þitt:

Svona má leysa jöfnuhneppið með því að fella út breytu:

Skref 1 - Jöfnurnar eru á staðalformi.

Skref 2 - Stuðlar y-liðanna eru gagnstæðir, svo við getum lagt jöfnurnar saman.

Skref 3 - Leggðu jöfnurnar saman til að fella út eina breytu.

4x − 6y = 8; x + 6y = 17; 5x = 25

Skref 4 - Leystu fyrir breytuna sem er eftir.

5x = 25; x = 5

Skref 5 - Settu lausnina úr skrefi 4 inn í aðra af upprunalegu jöfnunum og leystu fyrir hina breytuna.

4x − 6y = 8; 4(5) − 6y = 8; 20 − 6y = 8; −6y = −12; y = 2

Skref 6 - Skrifaðu lausnina sem raðaða tvennd.

(5, 2)

Skref 7 - Athugaðu að raðaða tvenndin sé lausn á báðum upprunalegu jöfnunum.

4x − 6y = 8; 4(5) − 6(2) = 8; 20 − 12 = 8; 8 = 8 ✓

x + 6y = 17; (5) + 6(2) = 17; 5 + 12 = 17; 17 = 17 ✓

22.5 Lausn jöfnuhneppa með eyðingu, 2. hluti

2.5.3 Að leysa línuleg jöfnuhneppi með tveimur breytum

Verkefni

Leystu hvert jöfnuhneppi án þess að teikna graf. Sýndu röksemdafærsluna og athugaðu lausnirnar.

Jöfnuhneppi A

{ 2x+3y=7; −2x+4y=14 }

Notaðu jöfnuhneppi A til að svara spurningum 1-3.

Hvert er gildi x?

Lausn

x = −1

Hvert er gildi y?

Lausn

y = 3

Sýndu röksemdafærsluna og athugaðu lausnina.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

2x + 3y = 7; −2x + 4y = 14; 7y = 21; y = 3

2x + 3y = 7; 2x + 3(3) = 7; 2x + 9 = 7; 2x = −2; x = −1

2x + 3y = 7; 2(−1) + 3(3) = 7; −2 + 9 = 7; 7 = 7 ✓

−2x + 4y = 14; −2(−1) + 4(3) = 14; 2 + 12 = 14; 14 = 14 ✓

Jöfnuhneppi B

{ 2x+3y=7; 3x−3y=3 }

Notaðu jöfnuhneppi B til að svara spurningum 4-6.

Hvert er gildi x?

Lausn

x = 2

Hvert er gildi y?

Lausn

y = 1

Sýndu röksemdafærsluna og athugaðu lausnina.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

2x + 3y = 7; 3x − 3y = 3; 5x = 10; x = 2

2x + 3y = 7; 2(2) + 3y = 7; 4 + 3y = 7; 3y = 3; y = 1

3x − 3y = 3; 3(2) − 3(1) = 3; 6 − 3 = 3; 3 = 3 ✓

2x + 3y = 7; 2(2) + 3(1) = 7; 4 + 3 = 7; 7 = 7 ✓

Jöfnuhneppi C

{ 2x+3y=5; 2x+4y=9 }

Notaðu jöfnuhneppi C til að svara spurningum 7-9.

Hvert er gildi x?

Lausn

x = −3,5

Hvert er gildi y?

Lausn

y = 4

Sýndu röksemdafærsluna og athugaðu lausnina.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

−1(2x + 3y = 5); −2x − 3y = −5

−2x − 3y = −5; 2x + 4y = 9; y = 4

2x + 4y = 9; 2x + 4(4) = 9; 2x + 16 = 9; 2x = −7; x = −7/2 = −3,5

2x + 3y = 5; 2(−3,5) + 3(4) = 5; −7 + 12 = 5; 5 = 5 ✓

2x + 4y = 9; 2(−3,5) + 4(4) = 9; −7 + 16 = 9; 9 = 9 ✓

Jöfnuhneppi D

{ 6x+9y=48; 6x−5y=20 }

Notaðu jöfnuhneppi D til að svara spurningum 10-12.

10.

Hvert er gildi x?

Lausn

x = 5

11.

Hvert er gildi y?

Lausn

y = 2

12.

Sýndu röksemdafærsluna og athugaðu lausnina.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

−1(6x + 9y = 48); −6x − 9y = −48

−6x − 9y = −48; 6x − 5y = 20; −14y = −28; y = 2

6x − 5y = 20; 6x − 5(2) = 20; 6x − 10 = 20; 6x = 30; x = 5

6x + 9y = 48; 6(5) + 9(2) = 48; 30 + 18 = 48; 48 = 48 ✓

6x − 5y = 20; 6(5) − 5(2) = 20; 30 − 10 = 20; 20 = 20 ✓

Meira til að hugsa um

Að víkka hugsunina

Þetta jöfnuhneppi hefur þrjár jöfnur:

{ 3x + 2y − z = 7; −3x + 5y + 2z = −14; 3x + y − z = 10 }

Leggðu fyrstu tvær jöfnurnar saman til að fá nýja jöfnu.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

7y + z = −7

Leggðu seinni tvær jöfnurnar saman til að fá nýja jöfnu.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

6y + z = −4

Leystu jöfnuhneppið sem fæst úr nýju jöfnunum tveimur og svaraðu síðan spurningum 3 og 4.

Hvert er gildi y?

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

y = −3

Hvert er gildi z?

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

z = 14

Leystu upprunalega jöfnuhneppið og svaraðu síðan spurningum 5-7.

5. Hvert er gildi x?

Berðu saman svarið þitt:

x = 9

6. Hvert er gildi y?

Berðu saman svarið þitt:

y = −3

7. Hvert er gildi z?

Berðu saman svarið þitt:

z = 14

Ítarefni

Að leysa jöfnuhneppi með því að fella út breytu

Rifjum upp skrefin til að leysa jöfnuhneppi með því að fella út breytu.

Skref 1 - Skrifaðu báðar jöfnurnar á staðalformi. Ef einhverjir stuðlar eru brot skaltu losa jöfnurnar við brotin.

Skref 2 - Athugaðu hvort stuðlar sömu breytu séu gagnstæðir eða jafnir.

Skref 3 - Leggðu jöfnurnar saman eða dragðu þær hvor frá annarri til að fella út eina breytu.

Skref 4 - Leystu fyrir breytuna sem er eftir.

Skref 5 - Settu lausnina úr skrefi 4 inn í aðra af upprunalegu jöfnunum. Leystu síðan fyrir hina breytuna.

Skref 6 - Skrifaðu lausnina sem raðaða tvennd.

Skref 7 - Athugaðu að raðaða tvenndin sé lausn á báðum upprunalegu jöfnunum.

Dæmi

Leysum eftirfarandi jöfnuhneppi með því að fella út breytu:

{ 3x − 3y = −24; −3x + 5y = 30 }

Skref 1 - Jöfnurnar eru á staðalformi.

Skref 2 - Stuðlar x-liðanna eru gagnstæðir, svo við getum lagt jöfnurnar saman.

Skref 3 - Leggðu jöfnurnar saman til að fella út eina breytu.

3x − 3y = −24; −3x + 5y = 30; 2y = 6

Skref 4 - Leystu fyrir breytuna sem er eftir.

2y = 6; y = 3

Skref 5 - Settu lausnina úr skrefi 4 inn í aðra af upprunalegu jöfnunum og leystu fyrir hina breytuna.

3x − 3y = −24; 3x − 3(3) = −24; 3x − 9 = −24; 3x = −15; x = −5

Skref 6 - Skrifaðu lausnina sem raðaða tvennd.

(−5, 3)

Skref 7 - Athugaðu að raðaða tvenndin sé lausn á báðum upprunalegu jöfnunum.

3x − 3y = −24; 3(−5) − 3(3) = −24; −15 − 9 = −24; −24 = −24 ✓

−3x + 5y = 30; −3(−5) + 5(3) = 30; 15 + 15 = 30; 30 = 30 ✓

Reyndu þetta

Að leysa jöfnuhneppi með því að fella út breytu

Leystu eftirfarandi jöfnuhneppi með því að fella út breytu:

Lausn

{ 4x − 6y = 8; x + 6y = 17 }

Berðu saman svarið þitt:

Svona má leysa jöfnuhneppið með því að fella út breytu:

Skref 1 - Jöfnurnar eru á staðalformi.

Skref 2 - Stuðlar y-liðanna eru gagnstæðir, svo við getum lagt jöfnurnar saman.

Skref 3 - Leggðu jöfnurnar saman til að fella út eina breytu.

4x − 6y = 8; x + 6y = 17; 5x = 25

Skref 4 - Leystu fyrir breytuna sem er eftir.

5x = 25; x = 5

Skref 5 - Settu lausnina úr skrefi 4 inn í aðra af upprunalegu jöfnunum og leystu fyrir hina breytuna.

4x − 6y = 8; 4(5) − 6y = 8; 20 − 6y = 8; −6y = −12; y = 2

Skref 6 - Skrifaðu lausnina sem raðaða tvennd.

(5, 2)

Skref 7 - Athugaðu að raðaða tvenndin sé lausn á báðum upprunalegu jöfnunum.

4x − 6y = 8; 4(5) − 6(2) = 8; 20 − 12 = 8; 8 = 8 ✓

x + 6y = 17; (5) + 6(2) = 17; 5 + 12 = 17; 17 = 17 ✓