22.10 Ritun og lausn ójafna með einni breytistærð

2.10.5 Að leysa ójöfnur

2.10.5 • Að leysa ójöfnur

Verkefni

Í þessu verkefni leysirðu ójöfnur. Vinndu með félaga að því að leysa hverja ójöfnu og paraðu hana síðan við talnalínuritið sem sýnir lausnamengið.

Ræddu við félaga þinn hvernig hægt er að vita að hvert talnalínurit sýni lausn viðkomandi ójöfnu.

Þegar þú telur þig hafa fundið rétta talnalínuritið skaltu setja prufupunkt af litaða hluta talnalínunnar inn í ójöfnuna. Er staðhæfingin sönn?

Prófaðu líka punkt sem er ekki á litaða hlutanum. Verður ójafnan ósönn?

$x − 4 ≤ −6$

Graf A

$x + 6 ≥ 8$

Graf B

$4x ≤ 8$

Graf C

$−(1/2)x ≤ 1$

Graf D

Notaðu töfluna til að velja talnalínuritið sem passar við hverja ójöfnu.

$x − 4 ≤ −6$

Graf C.

$x ≤ −2$

$x + 6 ≥ 8$

Graf A.

$x ≥ 2$

$4x ≤ 8$

Graf D.

$x ≤ 2$

$−(1/2)x ≤ 1$

Graf B.

$x ≥ −2$

Paraðu hverja ójöfnu hér að ofan við regluna sem þú notaðir til að leysa hana.

5. x − 4 ≤ −6: samlagningarregla ójafna.

$x − 4 ≤ −6$

Ef 4 er lagt við báðar hliðar fæst x ≤ −2.

$x ≤ −2$

6. x + 6 ≥ 8: frádráttarregla ójafna.

$x + 6 ≥ 8$

Ef 6 er dregið frá báðum hliðum fæst x ≥ 2.

$x ≥ 2$

7. 4x ≤ 8: deilingarregla ójafna eða margföldunarregla ójafna.

$4x ≤ 8$

Það má deila báðum hliðum með 4 eða margfalda báðar hliðar með 1/4. Þar sem talan er jákvæð helst ójöfnumerkið eins.

$x ≤ 2$

8. −(1/2)x ≤ 1: deilingarregla ójafna eða margföldunarregla ójafna.

$−(1/2)x ≤ 1$

Þegar deilt er með neikvæðri tölu eða margfaldað með neikvæðri tölu snýst ójöfnumerkið við. Þess vegna verður lausnin x ≥ −2.

$x ≥ −2$

Er eitthvað sérstakt við aðferðina sem er notuð til að leysa −(1/2)x ≤ 1? Útskýrðu.

Berðu saman svarið þitt: Já. Ójafnan inniheldur táknið minna en eða jafnt og, ≤, en lausnin inniheldur táknið stærra en eða jafnt og, ≥. Þegar margföldunarregla eða deilingarregla ójafna er notuð með neikvæðri tölu þarf að snúa ójöfnumerkinu við.

$≤$

$≥$

Sjálfspróf

Leystu ójöfnuna. Hvaða talnalínurit sýnir lausnina?

$−(1/3)m ≤ 5$

$m ≥ −15$

Ítarefni

Að leysa línulegar ójöfnur

Línuleg ójafna er mjög lík línulegri jöfnu, en í stað jafnaðarmerkis er ójöfnumerki. Þegar við leysum línulegar jöfnur getum við lagt sömu stærð við báðar hliðar, dregið sömu stærð frá báðum hliðum, margfaldað báðar hliðar eða deilt í báðar hliðar og jafnaðarmerkið heldur gildi sínu. Svipaðar reglur gilda um ójöfnur.

Við getum lagt sömu stærð við báðar hliðar ójöfnu eða dregið sömu stærð frá báðum hliðum og ójöfnumerkið heldur sömu stefnu.

First example shows negative 4 is less than 2. The quantity of negative 4 minus 5 is less than the quantity of 2 minus 5. This yields negative 9 less than negative 3, which is true. The second example shows negative 4 is less than 2. The quantity of negative 4 plus 7 is less than the quantity of 2 plus 7. This results in 3 less than 9, which is true.

Þetta leiðir til samlagningarreglu og frádráttarreglu ójafna.

Samlagningarregla og frádráttarregla ójafna

Fyrir hvaða tölur a, b og c sem er: ef a < b, þá gildir einnig:

$a < b$

$a + c < b + c$

$a − c < b − c$

Fyrir hvaða tölur a, b og c sem er: ef a > b, þá gildir einnig:

$a > b$

$a + c > b + c$

$a − c > b − c$

Hvað gerist þegar báðar hliðar ójöfnu eru margfaldaðar eða þeim deilt með fastri tölu?

Ef margfaldað er eða deilt með jákvæðri tölu helst ójöfnumerkið eins.

First example shows 10 is less than 15. The quantity of 10 times 5 is less than the quantity of 15 times 5. This yields 50 less than 75, which is true. The second example shows 10 is less than 15. The quantity of 10 divided by 5 is less than the quantity of 15 divided by 5. This results in 2 less than 3, which is true.

Ef margfaldað er eða deilt með neikvæðri tölu snýst ójöfnumerkið við.

First example shows 10 is less than 15. The quantity of 10 times negative 5 is blank the quantity of 15 times negative 5. This yields negative 50 blank negative 75. Negative 50 is greater than negative 75. The second example shows 10 is less than 15. The quantity of 10 divided by negative 5 is blank the quantity of 15 divided by negative 5. This results in negative 2 blank negative 3. Negative 2 is greater than negative 3.

Margföldunarregla og deilingarregla ójafna

Fyrir hvaða tölur a, b og c sem er:

Margfaldað eða deilt með jákvæðri tölu:

$a < b$

$c > 0$

$ac < bc$

$a/c < b/c$

$a > b$

$ac > bc$

$a/c > b/c$

Margfaldað eða deilt með neikvæðri tölu:

$a < b$

$c < 0$

$ac > bc$

$a/c > b/c$

$a > b$

$ac < bc$

$a/c < b/c$

Þegar ójafna er margfölduð eða henni deilt með jákvæðri tölu helst ójöfnumerkið eins. Þegar margfaldað er eða deilt með neikvæðri tölu snýst ójöfnumerkið við.

Stundum endar breytan hægra megin þegar ójafna er leyst. Þá má umrita ójöfnuna í öfuga röð þannig að breytan standi vinstra megin.

$x > a$

$a < x$

Þetta má hugsa svona: Ef Xander er hærri en Andy, þá er Andy lægri en Xander.

Dæmi 1

$x − 3/8 ≤ 3/4$

Lausn

Skref 1: Leggðu 3/8 við báðar hliðar ójöfnunnar.

$x − 3/8 + 3/8 ≤ 3/4 + 3/8$

Skref 2: Einfaldaðu.

$x ≤ 9/8$

Skref 3: Sýndu lausnina á talnalínu.

$A number line with a closed bracket is graphed at the fractional value of nine-eighths. A bold arrowed line extending left, shades the numbers less than nine-eighths.$

Skref 4: Skrifaðu lausnina með biltáknum.

$(−∞, 9/8]$

Dæmi 2

$−15 < (3/5)z$

Lausn

Skref 1: Margfaldaðu báðar hliðar ójöfnunnar með 5/3. Þar sem 5/3 er jákvæð tala helst ójöfnumerkið eins.

$(5/3)(−15) < (5/3)((3/5)z)$

Skref 2: Einfaldaðu.

$−25 < z$

Skref 3: Umritaðu með breytuna vinstra megin.

$z > −25$

Skref 4: Sýndu lausnina á talnalínu.

Skref 5: Skrifaðu lausnina með biltáknum.

$(−25, ∞)$

Reyndu þetta

Að leysa línulegar ójöfnur

Leystu eftirfarandi línulegu ójöfnur.

$9y < 54$

Berðu saman svarið þitt:

Skref 1: Deildu í báðar hliðar með 9. Þar sem 9 er jákvæð tala helst ójöfnumerkið eins.

$9y/9 < 54/9$

Skref 2: Einfaldaðu.

$y < 6$

Skref 3: Sýndu lausnina á talnalínu.

Skref 4: Skrifaðu lausnina með biltáknum.

$(−∞, 6)$

$−13m ≥ 65$

Berðu saman svarið þitt:

Skref 1: Deildu í báðar hliðar með −13. Þar sem −13 er neikvæð tala snýst ójöfnumerkið við.

$−13m/−13 ≤ 65/−13$

Skref 2: Einfaldaðu.

$m ≤ −5$

Skref 3: Sýndu lausnina á talnalínu.

Skref 4: Skrifaðu lausnina með biltáknum.

$(−∞, −5]$

22.10 Ritun og lausn ójafna með einni breytistærð

2.10.5 Að leysa ójöfnur

2.10.5 • Að leysa ójöfnur

Verkefni

Í þessu verkefni leysirðu ójöfnur. Vinndu með félaga að því að leysa hverja ójöfnu og paraðu hana síðan við talnalínuritið sem sýnir lausnamengið.

Ræddu við félaga þinn hvernig hægt er að vita að hvert talnalínurit sýni lausn viðkomandi ójöfnu.

Þegar þú telur þig hafa fundið rétta talnalínuritið skaltu setja prufupunkt af litaða hluta talnalínunnar inn í ójöfnuna. Er staðhæfingin sönn?

Prófaðu líka punkt sem er ekki á litaða hlutanum. Verður ójafnan ósönn?

$x − 4 ≤ −6$

Graf A

$x + 6 ≥ 8$

Graf B

$4x ≤ 8$

Graf C

$−(1/2)x ≤ 1$

Graf D

Notaðu töfluna til að velja talnalínuritið sem passar við hverja ójöfnu.

$x − 4 ≤ −6$

Graf C.

$x ≤ −2$

$x + 6 ≥ 8$

Graf A.

$x ≥ 2$

$4x ≤ 8$

Graf D.

$x ≤ 2$

$−(1/2)x ≤ 1$

Graf B.

$x ≥ −2$

Paraðu hverja ójöfnu hér að ofan við regluna sem þú notaðir til að leysa hana.

5. x − 4 ≤ −6: samlagningarregla ójafna.

$x − 4 ≤ −6$

Ef 4 er lagt við báðar hliðar fæst x ≤ −2.

$x ≤ −2$

6. x + 6 ≥ 8: frádráttarregla ójafna.

$x + 6 ≥ 8$

Ef 6 er dregið frá báðum hliðum fæst x ≥ 2.

$x ≥ 2$

7. 4x ≤ 8: deilingarregla ójafna eða margföldunarregla ójafna.

$4x ≤ 8$

Það má deila báðum hliðum með 4 eða margfalda báðar hliðar með 1/4. Þar sem talan er jákvæð helst ójöfnumerkið eins.

$x ≤ 2$

8. −(1/2)x ≤ 1: deilingarregla ójafna eða margföldunarregla ójafna.

$−(1/2)x ≤ 1$

Þegar deilt er með neikvæðri tölu eða margfaldað með neikvæðri tölu snýst ójöfnumerkið við. Þess vegna verður lausnin x ≥ −2.

$x ≥ −2$

Er eitthvað sérstakt við aðferðina sem er notuð til að leysa −(1/2)x ≤ 1? Útskýrðu.

$≤$

$≥$

Sjálfspróf

Leystu ójöfnuna. Hvaða talnalínurit sýnir lausnina?

$−(1/3)m ≤ 5$

$m ≥ −15$

Ítarefni

Að leysa línulegar ójöfnur

Við getum lagt sömu stærð við báðar hliðar ójöfnu eða dregið sömu stærð frá báðum hliðum og ójöfnumerkið heldur sömu stefnu.

Þetta leiðir til samlagningarreglu og frádráttarreglu ójafna.

Samlagningarregla og frádráttarregla ójafna

Fyrir hvaða tölur a, b og c sem er: ef a < b, þá gildir einnig:

$a < b$

$a + c < b + c$

$a − c < b − c$

Fyrir hvaða tölur a, b og c sem er: ef a > b, þá gildir einnig:

$a > b$

$a + c > b + c$

$a − c > b − c$

Hvað gerist þegar báðar hliðar ójöfnu eru margfaldaðar eða þeim deilt með fastri tölu?

Ef margfaldað er eða deilt með jákvæðri tölu helst ójöfnumerkið eins.

Ef margfaldað er eða deilt með neikvæðri tölu snýst ójöfnumerkið við.

Margföldunarregla og deilingarregla ójafna

Fyrir hvaða tölur a, b og c sem er:

Margfaldað eða deilt með jákvæðri tölu:

$a < b$

$c > 0$

$ac < bc$

$a/c < b/c$

$a > b$

$ac > bc$

$a/c > b/c$

Margfaldað eða deilt með neikvæðri tölu:

$a < b$

$c < 0$

$ac > bc$

$a/c > b/c$

$a > b$

$ac < bc$

$a/c < b/c$

Þegar ójafna er margfölduð eða henni deilt með jákvæðri tölu helst ójöfnumerkið eins. Þegar margfaldað er eða deilt með neikvæðri tölu snýst ójöfnumerkið við.

Stundum endar breytan hægra megin þegar ójafna er leyst. Þá má umrita ójöfnuna í öfuga röð þannig að breytan standi vinstra megin.

$x > a$

$a < x$

Þetta má hugsa svona: Ef Xander er hærri en Andy, þá er Andy lægri en Xander.

Dæmi 1

$x − 3/8 ≤ 3/4$

Lausn

Skref 1: Leggðu 3/8 við báðar hliðar ójöfnunnar.

$x − 3/8 + 3/8 ≤ 3/4 + 3/8$

Skref 2: Einfaldaðu.

$x ≤ 9/8$

Skref 3: Sýndu lausnina á talnalínu.

$A number line with a closed bracket is graphed at the fractional value of nine-eighths. A bold arrowed line extending left, shades the numbers less than nine-eighths.$

Skref 4: Skrifaðu lausnina með biltáknum.

$(−∞, 9/8]$

Dæmi 2

$−15 < (3/5)z$

Lausn

Skref 1: Margfaldaðu báðar hliðar ójöfnunnar með 5/3. Þar sem 5/3 er jákvæð tala helst ójöfnumerkið eins.

$(5/3)(−15) < (5/3)((3/5)z)$

Skref 2: Einfaldaðu.

$−25 < z$

Skref 3: Umritaðu með breytuna vinstra megin.

$z > −25$

Skref 4: Sýndu lausnina á talnalínu.

Skref 5: Skrifaðu lausnina með biltáknum.

$(−25, ∞)$

Reyndu þetta

Að leysa línulegar ójöfnur

Leystu eftirfarandi línulegu ójöfnur.

$9y < 54$

Berðu saman svarið þitt:

Skref 1: Deildu í báðar hliðar með 9. Þar sem 9 er jákvæð tala helst ójöfnumerkið eins.

$9y/9 < 54/9$

Skref 2: Einfaldaðu.

$y < 6$

Skref 3: Sýndu lausnina á talnalínu.

Skref 4: Skrifaðu lausnina með biltáknum.

$(−∞, 6)$

$−13m ≥ 65$

Berðu saman svarið þitt:

Skref 1: Deildu í báðar hliðar með −13. Þar sem −13 er neikvæð tala snýst ójöfnumerkið við.

$−13m/−13 ≤ 65/−13$

Skref 2: Einfaldaðu.

$m ≤ −5$

Skref 3: Sýndu lausnina á talnalínu.

Skref 4: Skrifaðu lausnina með biltáknum.

$(−∞, −5]$