2.10.3 Mismunandi leiðir til að leysa ójöfnu

2.10.3 • Mismunandi leiðir til að leysa ójöfnu

Verkefni

Notaðu eftirfarandi aðstæður til að svara verkefnum 1-2.

Andre og Priya notuðu mismunandi aðferðir til að leysa eftirfarandi ójöfnu, en þau komust að sömu lausn.

Skoðaðu hvora aðferð fyrir sig þar til þú getur útskýrt hvað hvor nemandi gerði.

Aðferð Andre

Andre prófar hvort x = 4 sé lausn.

Ójafnan er ósönn, svo 4 er ekki lausn. Þar sem 3 er jaðargildið og tölur stærri en 3 gefa ósanna staðhæfingu, er lausnamengið x ≤ 3.

Aðferð Priyu

Í jöfnunni 4x + 3 = 18 − x er 4x vinstra megin og −x hægra megin.

Ef x er neikvæð tala getur 4x + 3 verið jákvætt eða neikvætt, en 18 − x er alltaf jákvætt.

Til að 4x + 3 < 18 − x sé sönn þarf lausnamengið að innihalda neikvæð gildi og gildi sem eru í mesta lagi 3.

1. Taktu saman aðferðina sem Andre notaði til að leysa ójöfnuna.

Berðu saman svarið þitt: Svarið getur verið mismunandi, en hér er dæmi. Andre leysti tengdu jöfnuna og fann 3 = x. Síðan prófaði hann tölu sem var stærri en 3. Það gaf ósanna stærðfræðilega staðhæfingu, svo hann dró þá ályktun að tölur stærri en 3 væru ekki lausnir.

2. Taktu saman aðferðina sem Priya notaði til að leysa ójöfnuna.

Berðu saman svarið þitt: Svarið getur verið mismunandi, en hér er dæmi. Priya leysti tengdu jöfnuna og fann x = 3. Síðan rökstuddi hún út frá stæðunum hvoru megin við ójöfnumerkið: 4x + 3 getur verið neikvætt eða jákvætt þegar x er neikvætt, en 18 − x er þá alltaf jákvætt. Lausnamengið þarf því að ná yfir neikvæð gildi og jaðargildið 3, svo lausnirnar eru x ≤ 3.

Skoðaðu fjórar ójöfnur:

Ójafna A

Ójafna B

Ójafna C

Ójafna D

Veldu að minnsta kosti tvær ójöfnur með félaga til að leysa. Leystu eina ójöfnu með aðferð Andre, með því að prófa gildi hvorum megin við lausn tengdu jöfnunnar. Félaginn beitir aðferð Priyu og rökstyður út frá hlutum ójöfnunnar. Skiptu síðan um aðferð fyrir hina ójöfnuna.

Berðu saman svarið þitt: Svarið getur verið mismunandi, en hér eru nokkur dæmi.

Ójafna A

Eftir að tengda jafnan (1/5)p = −10 er leyst fæst p = −50.

Með aðferð Andre má prófa gildi sem er stærra eða minna en −50 og athuga hvort það gefur sanna staðhæfingu í upphaflegu ójöfnunni.

Með aðferð Priyu má hugsa svona: ef p er neikvæð tala langt frá 0, til dæmis −100, þá er (1/5)p minna en −10, ekki stærra. Lausnirnar þurfa því að innihalda jákvæðar tölur, svo þær verða að vera stærri en −50.

Ójafna B

Dæmi um rökstuðning með aðferð Priyu: leystu fyrst tengdu jöfnuna 4(x + 7) = 4(2x + 8) og fáðu x = −1.

Eftir að báðum hliðum er deilt með 4 hefur vinstri hliðin x en hægri hliðin 2x. Vinstri hliðin er minni en sú hægri þegar x tekur jákvæð gildi, svo x þarf að vera stærra en eða jafnt og −1. Fyrir flest neikvæð gildi x er 2x minna en x og þá verður ójafnan ósönn.

Ójafna C

Dæmi um rökstuðning með aðferð Priyu: leystu fyrst tengdu jöfnuna −9n = 36 og fáðu n = −4.

Ef n tekur stór jákvæð gildi verður −9n minna en 36, svo lausnamengið þarf að innihalda jákvæðar tölur sem eru stærri en −4. Ef n er minna en −4, til dæmis −10, verður −9n jákvæð tala sem er stærri en 36 og ójafnan verður ósönn. Því gildir n > −4.

Ójafna D

Dæmi um rökstuðning með aðferð Priyu: leystu fyrst tengdu jöfnuna c/3 = −2(c − 7) og fáðu c = 6.

Hægri hlið ójöfnunnar hefur −2c en vinstri hliðin hefur (1/3)c. Ef c er stór jákvæð tala verður −2c minna en (1/3)c. Ef c er neikvæð tala verður −2c jákvætt og stærra en (1/3)c. Lausnamengið þarf því að innihalda neikvæðar tölur sem eru minni en 6, svo lausnin er c < 6.

Ítarefni fyrir lengra komna

Dýpkun

Notaðu jákvæðar heiltölur frá 1 til 9, hverja í mesta lagi einu sinni, og fylltu í reitina þannig að x = 7 sé eina heiltalan sem uppfyllir báðar skorðurnar samtímis.

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið mismunandi, en hér er dæmi.

Notaðu jákvæðar heiltölur frá 1 til 9, hverja í mesta lagi einu sinni, og fylltu í reitina þannig að x = 7 sé eina heiltalan sem uppfyllir báðar skorðurnar samtímis.

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið mismunandi, en hér er dæmi.

Sjálfspróf

Leystu eftirfarandi ójöfnu með því að leysa tengdu jöfnuna og rökstyðja út frá aðstæðunum.

Tengda jafnan er p = 4/3. Þar sem lausnamengið þarf að innihalda neikvæðar tölur verður p að vera minna en 4/3.

Tengda jafnan væri þá p = 3/4. Þar sem lausnamengið þarf að innihalda neikvæðar tölur væri p minna en 3/4.

Tengda jafnan hefur lausnina p = 12. Þar sem (1/3)p á að vera minna en 4 getur lausnamengið ekki innihaldið stórar jákvæðar tölur. Því geta tölur stærri en 12 ekki verið í lausnamenginu.

Tengda jafnan hefur lausnina p = 12. Til að (1/3)p sé minna en 4 þyrfti lausnamengið, samkvæmt þessari röngu ályktun, að innihalda stórar jákvæðar tölur.

Ítarefni

Rökstuðningur um lausnamengi línulegra ójafna

Hægt er að ráða margt um lausnamengi ójöfnu með því að skoða ójöfnuna sjálfa.

Skoðum ójöfnuna hér að neðan.

Vinstri hlið ójöfnunnar inniheldur 12x. Hægri hliðin inniheldur −3x.

Við getum spurt okkur: Hvaða gildi á x gera 12x stærra en −3x?

Ef x er stór jákvæð tala er 12x jákvætt. Þá er −3x neikvæð tala. Það gerir ójöfnuna sanna, svo lausnamengið þarf að innihalda stórar jákvæðar tölur.

Leysum tengdu jöfnuna.

Þar sem lausnamengið þarf að innihalda stórar jákvæðar tölur er lausn ójöfnunnar x > 3/15.

Reyndu þetta

Rökstuðningur um lausnamengi línulegra ójafna

Fyrir verkefni 1-2 skaltu leysa tengdu jöfnuna fyrir hverja ójöfnu. Notaðu það sem þú veist um ójöfnuna til að ákvarða lausnamengið.

1.

Berðu saman svarið þitt:

Tengda jafnan hefur lausnina y = −6. Sérhver jákvæð tala sem sett er í stað y gerir −5y neikvætt, svo lausnamengið getur ekki innihaldið jákvæðar tölur. Lausnin er því y ≤ −6.

2.

Berðu saman svarið þitt:

Tengda jafnan hefur lausnina p = −1. Sérhver jákvæð tala sem sett er í stað p gerir 4p jákvætt, svo lausnamengið getur ekki innihaldið jákvæðar tölur. Lausnin er því p < −1.