2.1.2 Að skrifa og teikna jöfnur

Verkefni

Notaðu aðstæðurnar úr fyrra verkefni til að svara spurningum 1-3.

Diego keypti rúsínur og valhnetur til að búa til hnetu- og rúsínublöndu. Rúsínur kosta 4 dollara fyrir hvert pund og valhnetur kosta 8 dollara fyrir hvert pund. Diego eyddi 15 dollurum í bæði hráefnin.

2.

Notaðu grafreiknitæki eða aðra tækni utan námskeiðsins. Teiknaðu graf jöfnunnar úr spurningu 1 sem lýsir þessum aðstæðum.

Lausn

Dæmigert svar er graf línunnar sem uppfyllir kostnaðarskorðuna.

Notaðu eftirfarandi nýju upplýsingar til að svara spurningum 4-6.

Diego keypti samtals 2 pund af rúsínum og valhnetum.

5.

Notaðu grafreiknitæki eða aðra tækni utan námskeiðsins. Teiknaðu graf jöfnunnar úr spurningu 4 sem lýsir þessum aðstæðum.

Lausn

Dæmigert svar er graf línunnar sem uppfyllir heildarmagnsskorðuna.

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara spurningum 7-9.

Diego eyddi 15 dollurum og keypti nákvæmlega 2 pund af rúsínum og valhnetum.

9.

Útskýrðu eða sýndu hvernig þú veist hversu mörg pund hann keypti af hvorri tegund.

Lausn

Svör geta verið mismunandi. Hér eru tvær mögulegar skýringar:

Þetta er eina gildaparið sem kemur fyrir í báðum töflunum.

Ef jöfnurnar tvær eru teiknaðar í sama hnitakerfi er þetta skurðpunktur grafanna. Gildaparið uppfyllir því báðar skorðurnar.

Ítarefni

Að leysa línuleg jöfnuhneppi

Í einingu 1 lærðir þú að leysa línulegar jöfnur með einni breytu. Nú vinnum við með tvær eða fleiri línulegar jöfnur sem eru settar saman í línulegt jöfnuhneppi.

Hér er dæmi um jöfnuhneppi með tveimur línulegum jöfnum. Slaufusvigi sýnir að jöfnurnar tvær mynda eitt jöfnuhneppi.

Línuleg jafna með tveimur breytum, til dæmis 2x + y = 7, hefur óendanlega margar lausnir. Graf hennar er lína. Hver punktur á línunni er lausn á jöfnunni og hver lausn jöfnunnar er punktur á línunni.

Til að kanna hvort röðuð tvennd sé lausn á jöfnuhneppi með tveimur jöfnum setjum við gildi breytanna inn í hvora jöfnu. Ef raðaða tvenndin gerir báðar jöfnurnar sannar er hún lausn á jöfnuhneppinu.

Til að leysa jöfnuhneppi með tveimur línulegum jöfnum leitum við að gildum breytanna sem leysa báðar jöfnurnar. Með öðrum orðum leitum við að röðuðum tvenndum (x, y) sem gera báðar jöfnurnar sannar. Þær kallast lausnir jöfnuhneppisins.

Að ákvarða hvort röðuð tvennd leysi jöfnuhneppi

• Skref 1: Settu gildi beggja breytanna inn í fyrri jöfnuna og einfaldaðu. Athugaðu hvort jafnan sé sönn.
• Skref 2: Settu gildi beggja breytanna inn í seinni jöfnuna og einfaldaðu. Athugaðu hvort jafnan sé sönn.
• Skref 3: Ef raðaða tvenndin gerir báðar jöfnurnar sannar er hún lausn á jöfnuhneppinu.

Dæmi 1: Ákvarðaðu hvort raðaða tvenndin (−2, −1) sé lausn á jöfnuhneppinu.

Við setjum x = −2 og y = −1 inn í báðar jöfnurnar.

Raðaða tvenndin (−2, −1) gerir ekki báðar jöfnurnar sannar og er því ekki lausn.

Dæmi 2: Ákvarðaðu hvort raðaða tvenndin (−4, −3) sé lausn á sama jöfnuhneppi.

Við setjum x = −4 og y = −3 inn í báðar jöfnurnar.

Raðaða tvenndin (−4, −3) gerir báðar jöfnurnar sannar. Hún er lausn.

Prófaðu: að leysa línuleg jöfnuhneppi

Ákvarðaðu hvort raðaða tvenndin sé lausn á jöfnuhneppinu.

Er (1, −3) lausn á jöfnuhneppinu? Já.

Þegar (1, −3) er sett inn í jöfnur jöfnuhneppisins gerir hún báðar jöfnurnar sannar.

Er (0, 0) lausn á jöfnuhneppinu? Nei.

Þegar (0, 0) er sett inn í jöfnur jöfnuhneppisins gerir hún aðeins aðra jöfnuna sanna, ekki báðar.

Að leysa línulegt jöfnuhneppi með grafi

Graf línulegrar jöfnu er lína. Hver punktur á línunni er lausn á jöfnunni. Fyrir jöfnuhneppi með tveimur jöfnum teiknum við tvær línur. Þá sjáum við punkta sem leysa hvora jöfnu og finnum lausn jöfnuhneppisins með því að finna það sem línurnar eiga sameiginlegt.

Dæmi: Leystu jöfnuhneppið með grafi.

Skref 1: Teiknaðu graf fyrri jöfnunnar. Til að teikna fyrri línuna er gagnlegt að skrifa jöfnuna á hallatöluformi.

Hallatalan er −2 og skurðpunkturinn við y-ás er 7.

Skref 2: Teiknaðu graf seinni jöfnunnar í sama hnitakerfi. Þessa línu getur verið auðveldara að teikna með skurðpunktum við ásana.

Skref 3: Ákvarðaðu hvort línurnar skerast, séu samsíða eða séu sama lína. Í þessu dæmi skerast línurnar.

Skref 4: Áætlaðu lausn jöfnuhneppisins. Ef línurnar skerast er skurðpunkturinn lausn jöfnuhneppisins. Ef línurnar eru samsíða hefur jöfnuhneppið enga lausn. Ef línurnar eru sama lína hefur jöfnuhneppið óendanlega margar lausnir.

Línurnar skerast í (4, −1).

Skref 5: Prófaðu lausnina í báðum jöfnum.

Aðferðin við að leysa línulegt jöfnuhneppi með grafi er:

• Teiknaðu graf fyrri jöfnunnar.
• Teiknaðu graf seinni jöfnunnar í sama hnitakerfi.
• Ákvarðaðu hvort línurnar skerast.
• Áætlaðu lausn jöfnuhneppisins. Ef línurnar skerast er skurðpunkturinn lausnin.
• Prófaðu lausnina í báðum jöfnum.

Prófaðu: að leysa jöfnuhneppi með grafi

Leystu jöfnuhneppið með grafi.

Svona má teikna jöfnuhneppið:

1. Teiknaðu graf fyrri jöfnunnar.
   
2. Teiknaðu graf seinni jöfnunnar í sama hnitakerfi.
   
3. Ákvarðaðu hvort línurnar skerast. Línurnar skerast í einum punkti.
4. Áætlaðu lausn jöfnuhneppisins. Línurnar skerast í (3, 2).
   $$(3,2)$$
5. Prófaðu lausnina í báðum jöfnum.
   $$\begin{array}{rcl}x-3y& =& -3\\ 3-3\left(2\right)& =& ?-3\\ 3-6& =& ?-3\\ -3& =& -3✓\end{array}$$
   $$\begin{array}{rcl}x+y& =& 5\\ 3+2& =& ?5\\ 5& =& 5✓\end{array}$$