11Hönnun námskeiðs

Kaflaröðun og efni

Röð eininga og úrræði

Röðun eininga

Í einingunum níu í þessum áfanga fara nemendur frá línulegum föllum yfir í veldisföll og síðan annars stigs föll, með því að skoða hvað aðgreinir föllin. Nemendur eru beðnir um að íhuga hvað gerist þegar mynstur verður til út frá tilteknu gildi sem er endurtekið lagt við eða dregið frá (línulegt). Síðan fást þeir við að hugsa um mynstur sem verða til út frá tilteknu gildi sem er endurtekið margfaldað eða deilt (veldisvöxtur). Innifalið í þessu ferli er að nemendur kanna jafnmunarunur og kvótarunur. Síðan, í seinni einingum, eru nemendur beðnir um að íhuga mynstur sem fylgja líkani sem bæði vex og minnkar með tímanum (annars stigs). Á hverju stigi námsins kynnast nemendur töflum, jöfnum, gröfum og munnlegum lýsingum á raunverulegum aðstæðum og stærðfræðilegum dæmum.

Einingarnar níu í þessum Algebra 1 áfanga eru:

1. eining - Línulegar jöfnur
2. eining - Línulegar ójöfnur og jöfnuhneppi
3. eining - Tölfræði tveggja breyta
Eining 4 - Föll
5. eining - Kynning á veldisföllum
6. eining - Vinna með margliður
7. eining - Kynning á annars stigs föllum
8. eining - Annars stigs jöfnur
9. eining - Fleiri annars stigs jöfnur

Hver eining fylgir uppbyggingu sem hefst á yfirliti og undirbúningsmati til að kanna færni nemenda í þeim forkröfum sem þarf til að ljúka einingunni með góðum árangri. Því næst hefur einingunni verið skipt í efnisþætti sem einblína á ákveðinn hluta af námsframvindu einingarinnar. Eining getur innihaldið allt frá 2 til 4 efnisþáttum og hún inniheldur mat á efnisþætti ásamt kennslustundunum sjálfum. Hverri einingu lýkur með verkefni einingar, prófi úr einingu, STAAR upprifjunarprófi og samantekt.

Kennaraleiðbeiningar fyrir einingar

Kennaraleiðbeiningar hefja hverja einingu kennslunnar. Á þessari síðu finna kennarar námsmarkmið einingarinnar ásamt stuttum lista yfir þá grunnfærni sem prófuð er í yfirlits- og undirbúningsmatinu. Einnig er á þessari síðu stutt kynningarmyndband sem veitir heildarsýn á efni einingarinnar.

Næst hafa kennarar aðgang að upplýsingum fyrir hvern tiltekinn efnisþátt einingarinnar. Þetta felur í sér yfirlitsmyndband af kennslustundum innan efnisþáttarins og lista yfir Grunnþekkingu og færni í Texas (Texas Essential Knowledge and Skills) [TEKS] sem kennd er í hverri kennslustund. Athugið að listinn inniheldur bæði ferlis- og efnis-TEKS staðla.

Neðst á þessari síðu gefa úrræði einingar kennurum hugmynd um hvar einingin passar inn í heildarnámsferðalag nemandans í stærðfræði. Hlekkur á lóðrétta samræmingartöflu menntamálastofnunar Texas (Texas Education Agency) TEKS fyrir 5. bekk til Algebra 1 og Algebra 2 er veittur ásamt myndbandi sem dregur fram TEKS einingarinnar innan lóðréttu samræmingartöflunnar. Þessi hluti veitir kennurum leiðbeiningar um frekari forkröfur sem nemendur þeirra gætu þurft á að halda. Til að styðja kennara við að takast á við áskoranir nemenda varðandi forkröfur, hafa tilteknar kennslustundir úr OpenStax PreAlgebra kennslubókinni verið valdar og gerðar aðgengilegar. Þessir PreAlgebra efnisþættir taka sérstaklega á TEKS úr 5. - 8. bekk sem tilgreind eru í lóðréttu samræmingartöflunni og hægt er að deila þeim beint með nemendum eða nota í litlum hópum.

Síðasta settið af úrræðum inniheldur námsmat sem kannar færni nemenda í námsmarkmiðum einingarinnar: Verkefni einingar, STAAR upprifjun og skipulag, próf úr einingu og samantekt einingar sem inniheldur sjálfsmatsverkfæri nemenda.

Með því að nota leiðsöguvalmyndina hægra megin geta kennarar nálgast frekari upplýsingar, þar á meðal lýsandi frásögn af námsframvindu einingarinnar, stuðningsefni fyrir fjölskyldur, staðla um færni í enskri tungu (English Language Proficiency Standards) [ELPS] sem eru innan einingarinnar, og tillögur að uppbyggingu verkfæra fyrir nemendur á vinnustað í hluta sem nefnist Uppbygging mannkosta.

Samræming staðla og kennslu

Efnið í þessum áfanga nær yfir allar væntingar til nemenda innan bæði Grunnþekkingar og færni í Texas (Texas Essential Knowledge and Skills) [TEKS] og Staðla um færni í enskri tungu (English Language Proficiency Standards) [ELPS].

Fyrir TEKS nær þessi umfjöllun bæði yfir ferlisstaðla og efnisstaðla. Munið að efnisstaðlarnir skilgreina hvað nemendur eiga að læra og ferlisstaðlarnir fjalla um hvernig nemendur gætu lært efnið og hvernig þeir geta sýnt fram á færni í efninu.

ELPS skilgreina hvað og hvernig tvítyngdir nemendur eiga að öðlast tungumálafærni innan námsefnisins.

Ferlisstaðlar (Grunnþekking og færni í Texas)

Tekið er á öllum ferlisstöðlum í hverri kennslustund og einingu, en þó hafa tilteknir ferlisstaðlar verið teknir með í TEKS töfluna til að auðkenna þær leiðir sem eru mest áberandi þegar nemendur læra stærðfræðihugtök og sýna skilning sinn. Þó að ferlisstaðlarnir sem eru á listanum yfir TEKS séu ekki tæmandi listi yfir þær leiðir sem nemendur nota til að öðlast og sýna stærðfræðilegan skilning í einingunni eða kennslustundinni, eru leiðbeiningar veittar í kennaraleiðbeiningunum svo kennarar geti notað alla ferlisstaðlana við kennslu í hverri kennslustund.

Lokaverkefni einingarinnar veitir nemendum tækifæri til að sýna færni sína í þessum ferlisstöðlum. Þessi raunverulegu verkefni eru hönnuð til að nemendur taki þátt í þrautalausnarferli þar sem þeir velja nauðsynleg verkfæri og miðla hugsun sinni og rökstuðningi með því að nota margvíslega framsetningu. Í kennaraleiðbeiningum fyrir hvert verkefni eru kennarar hvattir til að biðja nemendur um að ígrunda þær forsendur sem gefnar voru fyrir og á meðan á þrautalausnarferlinu stóð, sem og rökstuðninginn fyrir vali á lausnaraðferð. Tækifæri fyrir nemendur til að taka þátt í gallerígöngum eða halda kynningar gefa þeim færi á að sýna færni í nákvæmu stærðfræðimáli.

Staðlar um færni í enskri tungu

ELPS hlutinn í kennaraleiðbeiningum einingar veitir grunnúrtak af kennsluaðferðum sem samræmast stöðlum um færni í enskri tungu. Samræmingunni er ekki ætlað að vera tæmandi. Hún sýnir fremur sýnishorn af leiðum til að styðja við nemendur sem eru að læra ensku í stærðfræðistofunni. Hver kennslustund býður upp á ELPS sem samræmast að minnsta kosti þremur mismunandi sviðum og yfir alla eininguna eru öll fimm ELPS sviðin táknuð og samræmd. Þú getur nýtt þessar aðferðir fyrir nám (ELPS 1), hlustun (ELPS 2), tal (ELPS 3), lestur (ELPS 4) og ritun (ELPS 5) í hvaða kennslustund sem er. Til að sjá dæmi um kennsluenjur fyrir hvern staðal, vinsamlegast skoðið hlutann Stuðningur við alla nemendur í þessum áfanga.

Leitarbært samræmingarskjal fyrir TEKS og ELPS

Þróun stærðfræðilegrar færni innan einingarinnar

Samkvæmt Rannsóknarráði Bandaríkjanna (National Research Council) [NRC], krefst árangursríkt nám í stærðfræði þess að nemandi búi yfir stærðfræðilegri færni. Í Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics (2001), skilgreindi NRC stærðfræðilega færni sem samsetta af fimm þáttum.

Hugtakaskilningur - Skilningur á stærðfræðilegum hugtökum, aðgerðum og tengslum,
Aðferðafimi - Leikni í að framkvæma aðgerðir á sveigjanlegan, nákvæman, skilvirkan og viðeigandi hátt,
Aðferðafærni - Hæfni til að setja fram, tákna og leysa stærðfræðileg vandamál,
Aðlögunarhæf rökhugsun - Hæfileiki til rökrænnar hugsunar, ígrundunar, útskýringa og rökstuðnings, og
Jákvætt viðhorf - Vani að líta á stærðfræðina sem skynsamlega, nytsamlega og þess virði, ásamt trú á eljusemi og eigin getu (bls. 116).

Þessir þættir eru ofnir í TEKS og eru því mikilvægur hluti af þessum áfanga.

Hugtakaskilningur

Þessi þáttur stærðfræðilegrar færni lýsir getu nemanda til að tengja hugmyndir þvert á efnisflokka og nota tengslin til að skilja stærðfræðina. „Mikilvægur mælikvarði á hugtakaskilning er að geta sett fram stærðfræðilegar aðstæður á mismunandi vegu og vita hvernig mismunandi framsetning getur verið gagnleg í mismunandi tilgangi.“ (bls. 119)

Við sjáum hugtakaskilning endurspeglast í TEKS eins og:

A.1(F) greina stærðfræðileg tengsl til að tengja og miðla stærðfræðilegum hugmyndum.
A.7(B) lýsa sambandinu milli línulegra þátta annars stigs stæðna og núllstöðva tilheyrandi annars stigs falla.

Í þessum áfanga fá nemendur mörg tækifæri til að þróa eða sýna fram á hugtakaskilning.

Á meðfylgjandi mynd má sjá hvernig verkefnið byrjar á því að draga athygli nemenda að skurðpunktum grafsins við ása. Þessi kennslustund heldur áfram með því að þróa skilning nemenda á tengslunum milli skurðpunkta, línulegra þátta annars stigs fallsins og þeirra mismunandi forma sem hægt er að setja fallið fram á.

Tengslin sem nemendur mynda á milli þessara mismunandi framsetninga hjálpa þeim að ákvarða hvenær er hagkvæmast að nota hverja jöfnu, hvers vegna mismunandi algebrulegar framsetningar eru ákjósanlegar í tilteknum aðstæðum og hvernig á að teikna gröf annars stigs falla á skilvirkan hátt (leikni).

Aðferðafræðileg hæfni

Þessi þáttur stærðfræðilegrar hæfni fangar kjarna stærðfræðinnar í raunheimum. Oft fá nemendur endurtekið sömu tegundir af dæmum sem hægt er að leysa með sömu aðferð, en raunveruleg vandamál eru ekki þannig. Til að öðlast aðferðafræðilega hæfni (e. strategic competence) ættu nemendur að takast á við einstakar vandamálsaðstæður sem eru nýjar eða ókunnugar þeim. Markmiðið er að neyða þá til að greina vandamálið og prófa síðan mismunandi lausnaraðferðir, fínpússa nálgunina og reyna aftur.

Skoðið dæmið um yfirlit verkefnis í 5. hluta sem nemendum er látið í té. Takið eftir hvernig verkefnið krefst þess að nemendur afli viðbótargagna úr raunheimum og ákveði vandlega hvaða líkan á að nota fyrir spár sínar.

Þessi verkefnissviðsmynd er ekki dæmigert aðhvarfsgreiningardæmi. Í þessu verkefni munu nemendur rekast á stórar, „óreiðukenndar“ tölur og gögn sem benda ekki til neinnar sérstakrar „réttrar“ nálgunar.

Að verkefninu loknu er ætlast til að nemendur rökstyðji líkan sitt þegar þeir útskýra forsendurnar sem þeir gáfu sér, hvaða gögn þeir völdu að nota og hvaða afleiðingar spálíkön þeirra gætu haft.

Aðlögunarhæf rökhugsun

„Í stærðfræði er aðlögunarhæf rökhugsun (e. adaptive reasoning) límið sem heldur öllu saman.“ (bls. 129) Nemendur sem búa yfir aðlögunarhæfri rökhugsun geta sjálfir rökstutt hvort svör þeirra eða hugsun sé gild og rétt. Þessi þáttur stærðfræðilegrar hæfni þýðir að nemendur hafa getu til að skipuleggja staðreyndir, færni, verklag, hugtök, aðferðir og leiðir í eina rökrétta heildarhugsun.

Tækifæri fyrir nemendur til að byggja ofan á skilning sinn á framsetningum er ein leið til að þróa aðlögunarhæfa rökhugsun og rökrétta hugsun. Þessi áfangi biður nemendur oft um að sýna hugsun sína eða afurðir. Síðan, með leiðsögn kennarans, getur notkun skýringa hjálpað þeim að byggja upp tengslin (hugtakaskilning) sem mynda rökrétt safn sannprófunaraðferða.

Önnur leið til að þróa aðlögunarhæfa rökhugsun er stöðug notkun verkefna sem krefjast útskýringa og rökstuðnings fyrir lausnaraðferðum.

Þetta dæmi biður nemendur ekki aðeins um að finna svarið, heldur einnig að útskýra röksemdafærslu sína, sem er algeng vænting í þessum áfanga.

Jákvætt viðhorf

Sérhver stærðfræðikennari leitast við að hvetja til jákvæðs viðhorfs (e. productive disposition) og getu nemenda sinna til að „sjá skynsemi í stærðfræði, skynja hana sem bæði gagnlega og þess virði, trúa því að stöðug áreynsla í stærðfræðinámi skili árangri og sjá sjálfa sig sem virka nemendur og iðkendur stærðfræði.“ (bls. 131)

Í þessum áfanga er tekist á við og þróað jákvætt viðhorf á ýmsa vegu. Notkun markmiðasetningartækja og tillagna um persónuleikauppbyggingu hjálpar kennurum að efla trú nemenda á eigin getu og tilfinningu fyrir velgengni. Reynsla nemenda af þessum verkfærum býður þeim að þróa stærðfræðilega sjálfsmynd og sjá sjálfa sig sem stærðfræðinga.

Önnur leið til að þróa jákvætt viðhorf nemenda til stærðfræði og hjálpa þeim að sjá sjálfa sig sem stærðfræðinga er hvernig dæmin eru skipulögð innan hlutanna. Fyrstu kennslustundirnar í öllum hlutum leitast við að veita nemendum tækifæri til velgengni sem byggjast smám saman upp í flókin verkefni í lok hlutans.

Skoðið þetta dæmi úr fyrstu kennslustund 1. hluta þar sem nemendur eru beðnir um að skipuleggja pítsuveislu fyrir bekkjarfélaga sína. Spurningarnar byrja á því að taka á aðstæðum sem nemendur þekkja og leitast við að höfða til áhugasviðs þeirra.

Eftir því sem spurningarnar þróast í verkefnið og kennslustundina, byrja þær að færast yfir í að hugsa um veislusipulagið á sértækari, stærðfræðilegri hátt. Næstu tvö sýnishorn sýna þróunina í hugsun nemenda frá orðum og hugmyndum yfir í stærðfræðilegar stæður.

Verkefni og spurningar eins og þessar þróa ekki aðeins jákvætt viðhorf nemenda, heldur styðja þær einnig við og veita grunn fyrir aðra þætti stærðfræðilegrar hæfni.

Takið eftir spurningunum sem kennarar eru hvattir til að spyrja nemendur í samantekt kennslustundarinnar fyrir þetta verkefni.

Allir fimm þættir stærðfræðilegrar hæfni eru sýnilegir í lokaspurningum kennslustundarinnar. Hæfileikinn til að afla upplýsinga og íhuga aðrar nálganir við gagnaöflun er dæmi um aðferðafræðilega hæfni. Að íhuga áhrif mismunandi gagnaöflunaraðferða bendir til aðlögunarhæfrar rökhugsunar. Hugtakaskilningur og aðferðaleikni koma fram þegar nemendur gera áætlanir sínar, íhuga hvernig áætlunin gæti breyst með mismunandi gögnum og beita hugmyndinni um skorður á aðrar aðstæður. Að geta séð gildi stæðna, jafna og ójöfnu og notagildi þeirra dregur alla þættina saman og sýnir greinilega jákvætt viðhorf.

Lokaverkefni hlutans tekur alla byggingareiningarnar úr fyrstu kennslustundinni og þróar hugsun nemenda þannig að þeir séu tilbúnir til að sýna flóknari stærðfræðilíkön sem fela í sér stæður, jöfnur og skorður til að ná yfir línulegar aðstæður með tveimur breytistærðum.

Í dæminu um verkefni 1. hluta má sjá að nemendur eru aftur beðnir um að íhuga aðrar hugsunaraðferðir þegar þeir ræða vandamálin við félaga sinn. Þeir verða einnig að sýna leikni í getu sinni til að afla gagna úr ýmsum gröfum og finna samsvarandi jöfnur. Og að lokum skrifa þeir raunverulegar aðstæður fyrir eitt af gröfunum og útskýra hvernig eiginleikar grafsins tengjast jöfnu þeirra og raunverulegu samhengi.

Þessi lokasýning á leikni átti upphaf sitt í spurningum sem spurðu nemendur um uppáhaldspítsuna þeirra.

Þessi áfangi leggur áherslu á að þróa stærðfræðilega hæfni nemenda með því að veita þeim tækifæri til að takast á við sífellt krefjandi og flóknari stærðfræðiverkefni. Í verkefni, kannanir og lokaverkefni taka nemendur þátt í margvíslegum sýningum á leikni í markmiðinu TEKS og sýna í ferlinu stærðfræðilega hæfni sína.

Að styrkja sjálfvirkni til að öðlast leikni

„Sjálfvirkni er ekki bara upprifjun á einangruðum og smáum staðreyndabrotum, heldur krefst sjálfvirkni dýpri skilnings á hugtakalegri þekkingu um hvenær eigi að beita staðreyndaþekkingu sjálfkrafa og á viðeigandi hátt.“ (D. Williams, 2023, bls. 5)

Rannsókn frá 2008 á vegum National Mathematics Advisory Panel komst að þeirri niðurstöðu að nemendur þyrftu „leikni í grunnatriðum stærðfræði, þar með talið sjálfvirka upprifjun á samlagningu, frádrætti, margföldun og deilingu“ til að vera undirbúnir fyrir algebruáfanga. Leikni er lokamarkmiðið; sjálfvirkni er hvernig því lokamarkmiði er náð (Baker & Cuevas, 2018; Williams, 2023).

Menntamálastofnun Texas (Texas Education Agency) [TEA] heldur því fram að sjálfvirkni náist þegar „verklag er æft aftur og aftur“ svo „minni hugræn áreynsla sé nauðsynleg“ og „hægt sé að leysa flóknari verkefni vel ... Sjálfvirkni er þróuð með því að læra grunnstaðreyndir og skoða og nota tengsl milli staðreynda. Þetta er fyrsta byggingareiningin fyrir „algebrulega rökhugsun,“ þar með talið að taka hluti í sundur, vinna með þá, setja þá saman aftur, hugsa um merkingu aðgerða og þróa talnaskilning.“ (TEA, 2020)

Í tengslum við hugtakaskilning hjálpar sjálfvirkni í stærðfræðistaðreyndum nemendum að takast á við takmarkanir vinnsluminnis og getur stutt við jákvætt viðhorf þeirra til stærðfræði (McGee o.fl., 2017; Baker & Cuevas, 2018). Þannig innihalda OpenStax Algebra 1 námsefnin verkefni sem eru hönnuð til að byggja upp sjálfvirkni nemenda sem þarf til að ljúka verkefnum á þeirra skólastigi.

Þegar kennarar íhuga notkun eða þörf á sjálfvirknisþjálfun ættu þeir að spyrja: „Eru nemendur að nota blandaðar aðferðir til að leysa einföld stærðfræðidæmi, og ef svo er, eru þeir að leysa þau innan tímamarka sem gætu talist sjálfvirk?“ (Baker & Cuevas, 2018, bls. 16). Það eru margar leiðir til að nota RAISE sjálfvirknisúrræðin:

Látið nemendur fá myndefni, hlutbundnar framsetningar eða sögur til að hjálpa þeim að skilja grunninn að stærðfræðilegu staðreyndinni.
Einblínið á ákveðnar tölur eða tengsl til að hjálpa nemendum að tengja skilning sinn á einu talnasetti við annað.
Veitið endurtekna þjálfun þar til nemendur kalla fram svör úr minni frekar en með útreikningi.
Þegar tímatöku er beitt skal láta nemendur íhuga hvaða staðreyndir eru „sjálfvirkar“ fyrir þá og hverjar valda því að þeir hægja á sér eða stoppa. Notið þessar íhuganir til að hjálpa nemendum að finna ákveðin sjálfvirknikort til að læra.

Sjálfvirknisverkefni

Oft er litið á sjálfvirkni sem verkefni fyrir eldri bekki grunnskóla með æfingum, minniskortum eða tölvuleikjum. Hins vegar er mikilvægt fyrir framhaldsskólanemendur að vera skilvirkir í að leysa algebruverkefni með því að færa vitrænt álag frá reiknifærni yfir á erfiðari verkefni eins og að leysa flóknar ójöfnur, þátta margliður og teikna gröf annars stigs falla.

Hér að neðan er sýnishorn af sértækum stærðfræðistaðreyndum og hvernig sjálfvirkni í þeim mun hjálpa nemendum í RAISE Algebra 1 einingunum.

Algebra 1 Eining	Markfærni fyrir sjálfvirkni	Tenging við Algebra 1
Línulegar jöfnur	Samlagning (1 - 12) Frádráttur (1 - 12) Margföldun (1 - 12) Deiling (1 - 12) Núllpör Margföldunarandhverfur Einþátta línulegar jöfnur	Þegar nemendur leggja saman, draga frá, margfalda og deila til að reikna út stæður og leysa jöfnur, mun sjálfvirkni í notkun núllpara og margföldunarandhverfa hjálpa við lausnarferlið.
Línulegar ójöfnur og jöfnuhneppi	Samlagning (1 - 12) Frádráttur (1 - 12) Margföldun (1 - 12) Deiling (1 - 12) Núllpör Margföldunarandhverfur	Mörg sömu sjálfvirkniatriðin úr 1. einingu eru nauðsynleg til að leysa ójöfnur (samlagning, margföldun, margföldunarandhverfur). Að kunna að nota núllpör verður mikilvægara þegar nemendur læra að leysa jöfnuhneppi með eyðingu breytu.
Tölfræði tveggja breyta	Jafngild brot Margföldunarandhverfur	Þegar nemendur rannsaka hvernig á að ákvarða bestu línu, með og án tækni, er þörf á sjálfvirkum skilningi á jafngildum brotum. Sjálfvirkni með margföldunarandhverfur gæti einnig verið gagnleg við ritun jafna fyrir þessar línur.
Föll	Samlagning (1 - 12) Frádráttur (1 - 12) Margföldun (1 - 12) Deiling (1 - 12) Margföldunarandhverfur Jafngild brot	Nemendur byrja að endurrita línulegar jöfnur á mismunandi formum sem krefst sjálfvirkni í samlagningu, margföldun og margföldunarandhverfum. Einnig er ætlast til að nemendur rannsaki hallatölu nánar og þurfa því sjálfvirkni í jafngildum brotum.
Kynning á veldisvísisföllum	Samlagning (1 - 12) Frádráttur (1 - 12) Margföldun (1 - 12) Deiling (1 - 12) Jafngild brot Helmingun & Tvöföldun	Þegar nemendur bera saman mynstur endurtekinnar samlagningar við mynstur endurtekinnar margföldunar er sú færni afar mikilvæg. Auk þess fela margir útreikningar í sér raunveruleg notagildi eins og helmingunartíma, tvöföldun stofna o.s.frv., sem krefst sjálfvirkni í jafngildum brotum, helmingun og tvöföldun.
Vinna með margliður	Samlagning (1 - 12) Frádráttur (1 - 12) Margföldun (1 - 12) Deiling (1 - 12) Þáttapör Núllpör Ferningssléttur	Aðgerðir með margliður krefjast þess að nemendur geti einfaldað líka liði (samlagning), notað dreifiregluna (margföldun) og síðan þáttað (þáttapör). Núllpör eru innifalin sem nauðsynleg sjálfvirknifærni vegna þess að notkun algebruflísa og flokkunar krefst þess stundum að nemendur stækki margliður sínar með því að bæta við núllpörum. Auk þess eru núllpör og ferningssléttur mikilvægar fyrir sérstakar margliður (ferningssléttur og mismunur tveggja ferninga).
Kynning á annars stigs föllum	Samlagning (1 - 12) Frádráttur (1 - 12) Margföldun (1 - 12) Deiling (1 - 12) Þáttapör	Nemendur uppgötva að annars stigs föll fylgja ekki mynstrum endurtekinnar samlagningar eða margföldunar. Þeir þurfa einnig að hafa sjálfvirkni til að skipta á milli mismunandi forma annars stigs falla (þáttað form yfir í staðalform og öfugt).
Annars stigs jöfnur	Samlagning (1 - 12) Frádráttur (1 - 12) Margföldun (1 - 12) Deiling (1 - 12) Þáttapör Ferningssléttur Kvaðratrætur	Þegar nemendur leysa annars stigs jöfnur með kvaðratrótum og þáttun þurfa þeir sjálfvirkni í samlagningu, margföldun, þáttapörum, ferningssléttum og kvaðratrótum.
Fleiri annars stigs jöfnur	Helmingun og tvöföldun Ferningssléttur Kvaðratrætur Núllpör	Notkun á að fylla í ferninginn og lausnarformúlu annars stigs jöfnu krefst sjálfvirkni í helmingun, tvöföldun, ferningssléttum og kvaðratrótum. $„ - b “$ í lausnarformúlunni verður auðveldara ef nemendur þekkja það sjálfkrafa sem gagnstæðu töluna við $b$ .

Quizlet sjálfvirknikort

Quizlet kortastokkar hafa verið búnir til til að hjálpa nemendum að æfa ákveðna hópa staðreynda og má nota til að fylgjast með hraða sjálfvirkni eftir því hvernig þeir velja að nota spjöldin.

Minniskort (Flash Cards): Í upphafi gætu nemendur viljað nota kortastokkana sem minniskort til að rifja upp staðreyndirnar.
Læra (Learn): Lærdómshamurinn gerir nemendum kleift að setja sér eigin markmið áður en þeir rifja upp skilning sinn með nokkrum valkostum eins og fjölvalsspurningum.
Próf (Test): Þegar nemendur velja prófhaminn meta þeir skilning sinn á grunnstaðreyndum og hafa síðan möguleika á að læra aftur allt sem þeir svöruðu rangt.
Samsvörun (Match): Til að þróa meiri sjálfvirkni ættu einstakir nemendur að nota samsvörunarvalkostinn. Í þessum ham hafa nemendur tækifæri til að ljúka tímasettri æfingu endurtekið og deila stigum sínum með kennurum. Ef margir nemendur eru að þróa sjálfvirkni fyrir sömu færni geta kennarar látið þá æfa sig með því að nota Quizlet Live eða Blast valkostina.

Quizlet tenglar

Grunnfærni (Áhersla á ákveðnar tölur)	Blandin upprifjun (Áhersla á margar tölur)
Samlagning við 1 \| Samlagning við 2 \| Samlagning við 3 Samlagning við 4 \| Samlagning við 5 \| Samlagning við 6 Samlagning við 7 \| Samlagning við 8 \| Samlagning við 9 Samlagning við 10 \| Samlagning við 11 \| Samlagning við 12	Stærðfræðibýfluga (Math Bee): Samlagning & Frádráttur Blandin æfing Einþátta línulegar jöfnur Samlagning
Frádráttur með 1 \| Frádráttur með 2 Frádráttur með 3 \| Frádráttur með 4 Frádráttur með 5 \| Frádráttur með 6 Frádráttur með 7 \| Frádráttur með 8 Frádráttur með 9, 10, 11 og 12	Stærðfræðibýfluga (Math Bee): Samlagning & Frádráttur Blandin æfing Einþátta línulegar jöfnur Frádráttur
„Hugtaka“ settin innihalda myndefni. Margfalda með 1 \| Margföldunarhugtak með 1 Margfalda með 2 \| Margföldunarhugtak með 2 Margfalda með 3 \| Margföldunarhugtak með 3 Margfalda með 4 \| Margföldunarhugtak með 4 Margfalda með 5 \| Margföldunarhugtak með 5 Margfalda með 6 \| Margföldunarhugtak með 6 Margfalda með 7 \| Margföldunarhugtak með 7 Margfalda með 8 \| Margföldunarhugtak með 8 Margfalda með 9 \| Margföldunarhugtak með 9 Margfalda með 10 \| Margföldunarhugtak með 10 Margfalda með 11 \| Margföldunarhugtak með 11 Margfalda með 12 \| Margföldunarhugtak með 12	Þáttapör (1 til 30) Tvöföldun & Helmingun Stærðfræðibýfluga (Math Bee): Margföldun Blandin æfing Einþátta línulegar jöfnur Margföldun
Deiling með 1 \| Deiling með 2 \| Deiling með 3 Deiling með 4 \| Deiling með 5 \| Deiling með 8 Deiling með 10	Deiling & Margföldun Talnafjölskylduupprifjun Einþátta jafna (Deila & Margfalda) 2 Einþátta jafna (Deila & Margfalda)³
Ferningssléttur Quizlet (inniheldur myndefni) Kvaðratrætur Quizlet (inniheldur myndefni) Margföldunarandhverfur Quizlet Núllpör Quizlet	Ferningar & Kvaðratrætur Blandin æfing

Quizlet spjaldasettin einblína á samlagningarstaðreyndir fyrir heiltölur 1 til 12, og innihalda síðan eftirfylgnisett með blandinni æfingu. Á sama hátt einblína margföldunarspjaldasettin á margföldunarstaðreyndir fyrir heiltölur 1 til 12. Takið eftir að þessi sett innihalda sett sem hefur myndefni (Hugtakaupprifjunarsett) og sett sem gerir það ekki. Einnig eru innifalin spjaldasett til að æfa ferningssléttur, kvaðratrætur, gagnstæðar tölur og núllpör, jafngild brot, tvöföldun og helmingun, margföldunarandhverfur og einþátta línulegar jöfnur.

Stærðfræðitaktur (Math Beats)

Notið taktmæli eða taktmælisforrit til að gefa jafnt tímasettan takt fyrir nemendur til að svara röð stærðfræðilegra staðreynda eða algebraískra framsetninga. Þetta ferli getur hjálpað til við að auka sjálfvirkni og bæta vinnsluminni. Kennarar geta gefið fyrirmælin munnlega með handriti sem inniheldur lausnina eða nemendur geta notað spurningalista (quizlet) með fullgerðri jöfnu. Tímasetninguna má byrja á hægari hraða og auka smám saman upp í 40 slög á mínútu sem gefur 1,5 sekúndur fyrir hvert dæmi eða skref í lengri röð útreikninga. Markmið um 1,5 sekúndur er góður mælikvarði á að ná sjálfvirkni í útreikningum (Axtell, bls. 10-11). Takt-aðferðina má einnig nota til að þróa hugtakaskilning með því að nota orðaforðaspjöld.

Orðaforðaspurningar fyrir einingu (Dæmi: Eining 7)
Stærðfræðikeppni - Margföldun og deiling
Stærðfræðikeppni - Samlagning og frádráttur
Þáttatafla: Prentið út og látið nemendur merkja við hvert þáttapar sem borið er kennsl á í takt við slögin.

Stuðningur við trú nemenda á eigin getu

Þessi áfangi leitast við að veita nemendum tækifæri til að hugsa stærðfræðilega, sýna þrautseigju við lausn vandamála og skapa skilning á stærðfræði. Með því að biðja nemendur um að útskýra og rökstyðja hugsun sína með öðrum bekkjarfélögum öðlast þeir skilning á því að það geti verið margar leiðir til að leysa vandamál og ljúka verkefnum. Lokamarkmið þessarar nálgunar er að efla trú nemenda á eigin getu.

Hins vegar veitir þessi áfangi viðbótarstuðningstæki fyrir kennara og nemendur sem ná lengra en einfaldlega að gera, skrifa og ræða stærðfræði. Þegar kennarar leitast við að byggja upp trú nemenda sinna á eigin getu eru eftirfarandi úrræði í boði í öllum einingum til að hjálpa við verkefnið.

Markmiðasetning

Eins og nefnt er í rannsóknargrunni þessa áfanga hjálpar það að ná markmiðum við að þróa trú nemenda á eigin getu og námsmat er ein leið til að mæla framfarir í átt að markmiðunum.

Kennarar ættu að deila námsmarkmiðum og námsframvindu einingarinnar með nemendum áður en kennsla hefst. Síðan, til að hjálpa nemendum að þróa einstaklingsbundin námsmarkmið, skal nota yfirlit einingar og forpróf (Readiness pre-assessment) til að fá viðmið um skilning nemenda á fyrri þekkingu.

Leiðbeinið nemendum við að þróa markmið fyrir hvern hluta eða kennslustund svo þeir hafi smærri, nálæg markmið sem hjálpa þeim að ná langtímamarkmiði einingarinnar. Til að aðstoða við þetta ferli má nálgast sjálfsmatsverkfæri nemenda í samantekt einingarinnar (Unit Wrap Up).

Takið eftir hvernig verkfærið gefur nemendum tækifæri til að velja „ekki enn“ og „næstum því.“ Þessir valkostir styrkja þá hugmynd að námið sé viðvarandi og sönn framvinda í átt að leikni.

Þegar nemendur taka þátt í námsverkefnum skal hvetja þá til að lesa endurgjöfina sem veitt er fyrir hverja spurningu. Í aðalnámsverkefnunum getur endurgjöf styrkt hugsunarferli nemanda eða bent á aðra aðferð sem hann hafði ekki íhugað.

Æfingaspurningarnar eru annar staður þar sem nemendur eru hvattir til að sýna þrautseigju og einbeita sér að námsmarkmiðinu frekar en einkunn. Hver þessara spurninga veitir nemendum margar tilraunir. Þegar röngu svari er skilað veitir áfanginn endurgjöf sem beinir nemendum að fyrra verkefni sem þeir geta snúið aftur til og rifjað upp. Kennarar ættu ekki aðeins að styrkja og styðja nemendur í slíkt endurskoðunarferli, heldur hjálpa þeim að skilja hvernig það færir skilning þeirra áfram í námsframvindu einingarinnar.

Fyrir frekari upplýsingar um markmiðasetningu og gróskuhugarfar í þessum áfanga, vinsamlegast skoðið hlutann um hvatningu í kennslustofunni í „Rannsóknir í framkvæmd“ (Research in Practice).

Uppbygging persónuleika

Annar eiginleiki efnisins í þessum áfanga felur í sér tillögur um uppbyggingu persónuleika. Í hverja einingu fá kennarar úrræði til að stuðla að persónuleikaþroska nemenda eins og hann tengist stærðfræðilegri sjálfsmynd og trú á eigin getu. Þessi úrræði koma frá Character Lab og leikbókum þeirra.

Myndin úr 5. einingu gefur dæmi um þá tegund efnis sem kennurum er veitt í þessum hlutum.

Efni um uppbyggingu persónuleika er veitt kennurum í leiðbeiningum á einingastigi með viðbótarstuðningsverkefnum innfelldum í kennaraleiðbeiningum kennslustunda. Listinn yfir efni í hverri einingu inniheldur:

Eining 1 - Félagsgreind
Eining 2 - Gróskuhugarfar
Eining 3 - Tilgangur
Eining 4 - Sköpunargáfa
Eining 5 - Þrautseigja
Eining 6 - Dómgreind
Eining 7 - Frumkvæði
Eining 8 - Forvitni
Eining 9 - Vitsmunaleg auðmýkt

Efni eins og félagsgreind og dómgreind eru mikilvæg til að hjálpa nemendum að skilja hvernig á að vinna í samvinnuhópum og styrkja stærðfræðilega rödd sína í umræðum í kennslustofunni, á meðan sköpunargleði og forvitni eru grunnurinn að lausn vandamála. Og rannsóknir hafa sýnt að það að hafa gróskuhugarfar og seiglu styður ekki aðeins við trú nemenda á eigin getu heldur gegnir það einnig hlutverki í að þróa stærðfræðilega sjálfsmynd nemanda.

Nemendur munu einnig sjá innfelldar upplýsingar dreifðar um áfangann á aðalverkefnasíðum sínum.

Stuðningsefni fyrir fjölskyldur

Að búa til stuðningsteymi fyrir nemendur er önnur leið til að þróa trú þeirra á eigin getu. Að taka foreldra og forráðamenn með í námsferðalag nemenda tryggir að nemandinn geti fundið stuðning í skólanum og heima. Í rétta leiðsöguvalmynd í kennaraleiðbeiningum einingarinnar geta kennarar nálgast stuðningsefni fyrir fjölskyldur fyrir þennan áfanga.

Stuðningsefni fyrir fjölskyldur er samræmt hverri einingu og skipt í þrjá hluta. Fyrsti hlutinn dregur saman allt efni einingarinnar. Síðan, innan þessa hluta, er oft gefið raunverulegt dæmi. Þegar mögulegt er innihalda upplýsingarnar töflur og línurit til að sýna að fullu allar þær mismunandi leiðir sem nemendur munu mæta upplýsingunum.

Í næsta hluta, „Beiting“ (Apply), eru foreldrar beðnir um að ljúka verkefni með barni sínu. Verkefni þeirra er venjulega innfellt í aðra raunverulega atburðarás og inniheldur spurningar með svörum. Sum svörin innihalda útskýringar, eftir þörfum.

Að lokum, í síðasta hlutanum, fá foreldrar tækifæri til að rifja upp það sem þeir hafa lært eða halda áfram námi með nemendum sínum í myndbönd sem tengjast tilteknum kennslustundum í einingunni. Ef efnið er deilt með foreldrum stafrænt með tölvupósti eða vefsíðum eru myndböndin tengd í YouTube og geta stutt val á texta á viðkomandi tungumáli. Auk þess eru skjölin fáanleg bæði á ensku og spænsku.

Kennarar gætu einnig viljað sýna eða varpa upp efninu á stærðfræðikvöldum fjölskyldunnar, opnum húsum fyrir foreldra o.s.frv.

Að búa til stuðningsteymi fyrir nemendur er önnur leið til að þróa trú þeirra á eigin getu.

Af hverju ætti þetta að skipta mig máli? Stuðningshlutar

Hlutarnir „Af hverju ætti þetta að skipta mig máli?“ (Why Should I Care?) tengja stærðfræðilegt efni einingarinnar við grunngildi frjálsa markaðskerfisins í Bandaríkjunum. Hlutarnir einblína á raunverulega beitingu stærðfræði fyrir velgengni einstaklinga í starfi, fjárhagsáætlunargerð, stofnun fyrirtækja og hagfræði. Kennslustundirnar um efnahagslegar ákvarðanir og áhrif þeirra minna nemendur á efnahagsleg tækifæri í bandarísku viðskiptakerfi og hvetja nemendur til að taka ábyrgð á eigin framtíð.

Aukið mikilvægi sem fæst með þessum raunverulegu beitingum Algebra 1 styður ekki aðeins framtíðarvelgengni nemenda, heldur hefur einnig jákvæð áhrif á árangur nemenda í núverandi námi. Hvort sem nemendur stefna á feril í frumkvöðlastarfsemi eða landbúnaði munu hlutarnir „Af hverju ætti þetta að skipta mig máli?“ búa þá þeim verkfærum sem þeir þurfa til að ná árangri í framtíðinni.

Hlutarnir „Af hverju ætti þetta að skipta mig máli?“ veita stuðning bæði á einingastigi og kennslustundastigi.

Einingastig

Þessi úrræði eru staðsett í yfirliti hluta hverrar einingar fyrir kennara og í yfirlits- og undirbúningshlutum fyrir nemendur.

Númer einingar	„Af hverju ætti þetta að skipta mig máli?“ Efni
1	Fjárhagsáætlunargerð með borgarstjóranum Arthur Noriega
2	Markmiðasetning með frumkvöðlinum Nafy Flatley
3	Notkun tölfræði til að taka ákvarðanir með bændum
4	Beiting reglna um fjárhagsáætlunargerð á persónuleg fjárráð
5	Notkun veldisvísislíkana fyrir fjárhagsáætlunargerð
6	Notkun margliða til að mæla velgengni fyrirtækja
7	Líkanagerð fyrir raunverulegar atburðarásir annars stigs jafna eins og skothreyfingu
8	Notkun annars stigs jafna til að skilja heiminn
9	Notkun annars stigs jafna til að hjálpa fyrirtækjum að vera arðbær

Heimildir

National Research Council. 2001. Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. Washington, DC: The National Academies Press. https://doi.org/10.17226/9822

Axtell, P. K. (2006). Developing math automaticity using a classwide fluency building procedure for students of varying processing speeds (Order No. 3235463). Available from ProQuest Dissertations & Theses Global. (304982548). Retrieved from http://ezproxy.rice.edu/login?url=https://www.proquest.com/dissertations-theses/developing-math-automaticity-using-classwide/docview/304982548/se-2

Baker, Austin T. and Cuevas, Josh. (2018) "The Importance of Automaticity Development in Mathematics," Georgia Educational Researcher: Vol. 14 : Iss. 2 , Article 2. DOI: 10.20429/ger.2018.140202 Available at: https://digitalcommons.georgiasouthern.edu/gerjournal/vol14/iss2/2

McGee, D., Richardson, P., Brewer, M., Gonulates, F., Hodgson, T., & Weinel, R. (2017). A Districtwide Study of Automaticity When Included in Concept‐Based Elementary School Mathematics Instruction. School Science and Mathematics, 117(6), 259-268.

Texas Education Agency. (2020). The Revised Math TEKS (Grades 9–12): Achieving Fluency and Proficiency [Video]. Texas Gateway. https://www.texasgateway.org/binder/revised-math-teks-grades-9-12-achieving-fluency-and-proficiency

Williams, D. S. (2023). The influence of math fact automaticity on the algebra I end-of-course (Order No. 30417330). Available from ProQuest Dissertations & Theses Global. (2822173462). Retrieved from http://ezproxy.rice.edu/login?url=https://www.proquest.com/dissertations-theses/influence-math-fact-automaticity-on-algebra-i-end/docview/2822173462/se-2"