1.7.3 Að skilja jöfnur með enga lausn eða óendanlega margar lausnir

1.7.3 • Að skilja jöfnur með enga lausn eða óendanlega margar lausnir

Verkefni

Noah á í erfiðleikum með að leysa tvær jöfnur. Í báðum tilvikum notar hann aðgerðir sem hann telur leyfilegar, en endar með staðhæfingum sem eru greinilega ósannar eða með rangri ályktun.

Greinið vinnu Noahs við hverja jöfnu og aðgerðirnar sem hann notar. Eru aðgerðirnar leyfilegar? Hvers vegna endar hann með ranga niðurstöðu?

Ræðið athuganir ykkar í hópnum og verið tilbúin að segja frá niðurstöðum ykkar. Ef þið festist, reynið þá að leysa hverja jöfnu sjálf.

Þriðja jafnan

Noah reynir síðan að leysa þriðju jöfnuna og endar með sanna staðhæfingu án breyta.

1. Upphaflega jafnan.
   $$2(4+x)-2=2x+6$$
2. Dreifireglan er notuð.
   $$8+2x-2=2x+6$$
3. Líkir liðir eru dregnir saman.
   $$2x+6=2x+6$$
4. 6 er dregið frá báðum hliðum.
   $$2x=2x$$
5. 2x er dregið frá báðum hliðum.
   $$0=0$$

Þar sem engin breyta er eftir og staðhæfingin er sönn, er hvaða gildi á x sem er lausn á upphaflegu jöfnunni. Þessi jafna hefur því óendanlega margar lausnir.

Tilbúin í meira?

Dýpkun

Ekki er hægt að deila tölunni 100 með núlli, því deiling með núlli er óskilgreind. Prófið í staðinn að deila 100 með 10, síðan 1, 0,1 og 0,01. Hvað takið þið eftir þegar deilt er með sífellt minni tölum?

Lausn

Berið saman við sýnissvar: Kvótarnir eru 10, 100, 1.000 og 10.000. Þeir verða mjög stórir.

Prófið nú að deila tölunni −100 með 10, 1, 0,1 og 0,01. Hvað er eins og hvað er ólíkt miðað við fyrri spurninguna?

Berið saman við sýnissvar: Kvótarnir eru −10, −100, −1.000 og −10.000. Tölugildin eru þau sömu og áður, en formerkin eru gagnstæð.

Í grunnskóla notuðuð þið strikalíkön til að tákna deilingu. Slíkt líkan getur sýnt að 6 ÷ 2 = 3.

Teiknið strikalíkan sem sýnir hvers vegna þessi jafna er sönn:

$$6÷\frac{1}{2}=12$$

Reynið að teikna strikalíkan fyrir 6 ÷ 0. Útskýrið hvers vegna það er svo erfitt.

Berið saman við sýnissvar: Núll tekur ekkert pláss, þannig að sama hversu mörg eintök eru notuð ná þau aldrei upp í 6.

Ítarefni

Jöfnur án lausnar

Hvað gerist þegar við leysum þessa jöfnu?

1. Dragið 5z frá báðum hliðum til að safna z-liðunum öðrum megin.
   $$5z-5z=5z-5z-1$$
2. Einfaldið. z-liðirnir hverfa.
   $$0=-1$$

Þar sem 0 er ekki jafnt og −1 leiðir jafnan til ósannrar staðhæfingar. Þessi jafna hefur enga lausn.

Dæmi

Leysið jöfnuna.

1. Einfaldið hvora hlið eins mikið og hægt er. Notið dreifiregluna og dragið saman líka liði.
   $${\displaystyle \begin{array}{rcl}5m+27+9m& =& 14m-22\\ 14m+27& =& 14m-22\end{array}}$$
2. Safnið öllum breytuliðum á aðra hlið jöfnunnar.
   $${\displaystyle \begin{array}{rcl}14m-14m+27& =& 14m-14m-22\\ 27& =& -22\end{array}}$$
3. Prófið niðurstöðuna. Jafnan 27 = −22 er ósönn staðhæfing. Þess vegna hefur jafnan 5m + 3(9 + 3m) = 2(7m − 11) enga lausn.

Óendanlega margar lausnir

Hvað ef lausnarferlið endar með sannri staðhæfingu án breyta?

Þessar staðhæfingar eru sannar vegna þess að hliðarnar eru jafnar. Það þýðir að hvaða gildi sem er á breytunni í upphaflegu jöfnunni er lausn. Þegar þetta gerist í lokaskrefi jöfnu hefur jafnan óendanlega margar lausnir.

Dæmi

Leysið jöfnuna.

1. Einfaldið hvora hlið eins mikið og hægt er.
   $${\displaystyle \begin{array}{rcl}2y+6& =& 2(y+3)\\ 2y+6& =& 2y+6\end{array}}$$
2. Safnið breytuliðum á aðra hlið jöfnunnar.
   $${\displaystyle \begin{array}{rcl}2y-2y+6& =& 2y-2y+6\\ 6& =& 6\end{array}}$$
3. Prófið niðurstöðuna. Við segjum að lausnir jöfnunnar séu allar rauntölur. Jafna sem er sönn fyrir hvaða gildi breytunnar sem er kallast samsemd.

Lausnir samsemdar eru allar rauntölur.