11.7 Útskýring á skrefum við umritun jafna

1.7.2 Að útskýra leyfilegar aðgerðir til að leysa jöfnu

1.7.2 • Að útskýra leyfilegar aðgerðir til að leysa jöfnu

Verkefni

Hér eru nokkur pör af jöfnum. Á meðan annar félaginn hlustar ætti hinn að gera eftirfarandi:

Veljið par af jöfnum úr dálki A. Útskýrið hvers vegna tala sem gerir fyrri jöfnuna sanna gerir líka seinni jöfnuna sanna.
Veljið par af jöfnum úr dálki B. Útskýrið hvers vegna seinni jafnan er ekki lengur sönn fyrir gildi á x sem gerir fyrri jöfnuna sanna.

Skiptið síðan um hlutverk þar til tíminn er búinn eða þið hafið rætt öll jöfnupörin.

Reglur sem geta nýst í verkefninu eru meðal annars dreifireglan, víxlreglan, samlagningarandhverfa og reglur um jafnaðarmerki: að leggja við, draga frá, margfalda eða deila báðum hliðum með sömu tölu.

Jöfnupör

\begin{array}{ccc} A & B \\ 1. & \begin{array}{l} 16 = 4 (9 - x) \\ 16 = 36 - 4 x \end{array} & \begin{array}{l} 9 x = 5 x + 4 \\ 14 x = 4 \end{array} \\ 2. & \begin{array}{l} 5 x = 24 + 2 x \\ 3 x = 24 \end{array} & \begin{array}{l} \frac{1}{2} x - 8 = 9 \\ x - 8 = 18 \end{array} \\ 3. & \begin{array}{l} - 3 (2 x + 9) = 12 \\ 2 x + 9 = - 4 \end{array} & \begin{array}{l} 6 x - 6 = 3 x \\ x - 1 = 3 x \end{array} \\ 4. & \begin{array}{l} 5 x = 3 - x \\ 5 x = - x + 3 \end{array} & \begin{array}{l} - 11 (x - 2) = 8 \\ x - 2 = 8 + 11 \end{array} \\ 5. & \begin{array}{l} 18 = 3 x - 6 + x \\ 18 = 4 x - 6 \end{array} & \begin{array}{l} 4 - 5 x = 24 \\ 5 x = 20 \end{array} \end{array}

Eftir að þið hafið rætt jöfnurnar við félaga ykkar skulið þið svara spurningum 1 og 2.

Hvaða par af jöfnum völduð þið úr dálki A? Rökstyðjið svarið.

Lausn

Berið saman við sýnissvar. Svör geta verið mismunandi, en hér eru dæmi:

1. Með dreifireglunni er 4(9 − x) jafngilt 36 − 4x fyrir hvaða gildi á x sem er. Ef 4(9 − x) er jafnt 16, þá er 36 − 4x líka jafnt 16.

2. Ef báðar hliðar jöfnu eru jafnar haldast þær jafnar þegar sama stærð, hér 2x, er dregin frá báðum hliðum.

3. Ef báðum hliðum jöfnunnar −3(2x + 9) = 12 er deilt með −3 fæst 2x + 9 = −4, svo jöfnurnar eru jafngildar.

4. Að draga x frá er það sama og að leggja −x við. Víxlregla samlagningar leyfir okkur síðan að skrifa 3 + (−x) sem −x + 3.

5. Með víxlreglu má skrifa 3x − 6 + x sem 3x + x − 6. Þegar líkir liðir eru dregnir saman fæst jafngilda stæðan 4x − 6.

Hvaða par af jöfnum völduð þið úr dálki B? Rökstyðjið svarið.

Lausn

Berið saman við sýnissvar. Svör geta verið mismunandi, en hér eru dæmi:

1. Ef stæðurnar 9x og 5x + 4 eru jafnar, þá gerir það þær almennt ekki jafnar að leggja 5x við aðra stæðuna en draga 5x frá hinni.

2. Hægri hlið jöfnunnar er margfölduð með 2. Til að jafngildi haldist þarf öll vinstri hliðin líka að vera margfölduð með 2, en aðeins hluti hennar er tvöfaldaður.

3. Ef tvær stæður eru jafnar verður jafnan almennt ósönn ef annarri hliðinni er deilt með 6 en hinni ekki.

4. Vinstri hlið fyrri jöfnunnar er deilt með −11, en 11 er lagt við hægri hliðina. Mismunandi aðgerðir með mismunandi tölum varðveita jafnan ekki endilega.

5. Að draga 4 frá báðum hliðum varðveitir jafnaðarmerkið. Hér er vinstri hliðinni hins vegar líka breytt með margföldun eða deilingu með −1, en hægri hliðinni ekki, svo stæðurnar eru ekki lengur jafngildar.

Sjálfspróf

Veljið allar jöfnur sem eru jafngildar þessari jöfnu:

3(x − 2) = 18; 3x = 12; 3x − 6 = 18; 3x − 2 = 18; x − 18 = 6

Ítarefni

Að leysa jöfnur og búa til jafngildar jöfnur

Almenn aðferð við að leysa jöfnu:

Skref 1: Einfaldið hvora hlið eins mikið og hægt er. Notið dreifiregluna til að losna við sviga og dragið saman líka liði.

Skref 2: Safnið öllum liðum með breytu á aðra hliðina. Notið samlagningarreglu eða frádráttarreglu jafnaðarmerkis.

Skref 3: Safnið öllum föstum liðum á hina hliðina. Notið samlagningarreglu eða frádráttarreglu jafnaðarmerkis.

Skref 4: Gerið stuðul breytuliðarins að 1. Notið margföldunarreglu eða deilingarreglu jafnaðarmerkis og tilgreinið lausnina.

Skref 5: Prófið lausnina með því að setja hana inn í upphaflegu jöfnuna.

Dæmi 1

Leysið jöfnuna.

−6(x + 3) = 24

Skref 1: Einfaldið vinstri hliðina.

−6(x + 3) = 24; −6x − 18 = 24

Skref 2: Allir x-liðir eru þegar vinstra megin.

Skref 3: Leggið 18 við báðar hliðar.

−6x − 18 + 18 = 24 + 18; −6x = 42

Skref 4: Deilið báðum hliðum með −6.

(-6x)/(-6) = 42/(-6); x = −7

Skref 5: Prófið lausnina.

−6(x + 3) = 24; −6(−7 + 3) = 24; −6(−4) = 24; 24 = 24 ✓

Dæmi 2

Leysið jöfnuna.

3(4x − 1) − 2 = 8x + 3

Skref 1: Einfaldið hvora hlið.

3(4x − 1) − 2 = 8x + 3; 12x − 3 − 2 = 8x + 3; 12x − 5 = 8x + 3

Skref 2: Dragið 8x frá báðum hliðum.

12x − 5 − 8x = 8x + 3 − 8x; 4x − 5 = 3

Skref 3: Leggið 5 við báðar hliðar.

4x − 5 + 5 = 3 + 5; 4x = 8

Skref 4: Deilið báðum hliðum með 4.

(4x)/4 = 8/4; x = 2

Skref 5: Prófið lausnina.

3(4x − 1) − 2 = 8x + 3 ?; 3(4(2) − 1) − 2 = 8(2) + 3 ?; 3(8 − 1) − 2 = 16 + 3 ?; 3(7) − 2 = 19 ?; 21 − 2 = 19 ?; 19 = 19 ✓

Dæmi 3

Leysið jöfnuna.

12x + 3(x + 7) = 10x − 24

Skref 1: Einfaldið hvora hlið.

12x + 3(x + 7) = 10x − 24; 12x + 3x + 21 = 10x − 24; 15x + 21 = 10x − 24

Skref 2: Dragið 10x frá báðum hliðum.

15x + 21 − 10x = 10x − 24 − 10x; 5x + 21 = −24

Skref 3: Dragið 21 frá báðum hliðum.

5x + 21 − 21 = −24 − 21; 5x = −45

Skref 4: Deilið báðum hliðum með 5.

(5x)/5 = −45/5; x = −9

Skref 5: Prófið lausnina.

12x + 3(x + 7) = 10x − 24 ?; 12(−9) + 3(−9 + 7) = 10(−9) − 24 ?; −108 + 3(−2) = −90 − 24 ?; −108 + (−6) = −114 ?; −114 = −114 ✓

Myndband

Horfið á eftirfarandi myndband til að læra meira um leyfilegar aðgerðir.

Prófið þetta

Að leysa jöfnur og búa til jafngildar jöfnur

Skrifið tvær jöfnur sem eru jafngildar þessari jöfnu:

2(x + 4) = 12

Lausn

Berið saman við sýnissvar. Svör geta verið mismunandi, en hér eru nokkur rétt dæmi:

2x + 8 = 12; x + 4 = 6; 2x = 4

Leysið jöfnuna.

Lausn

2(x + 4) = 12

Einfaldið vinstri hliðina.
$2(x + 4) = 12; 2x + 8 = 12$
Allir x-liðir eru þegar vinstra megin.
Dragið 8 frá báðum hliðum.
$2x + 8 − 8 = 12 − 8; 2x = 4$
Deilið báðum hliðum með 2.
$(2x)/2 = 4/2; x = 2$
Prófið lausnina.
$2(x + 4) = 12; 2(2 + 4) = 12; 2(6) = 12; 12 = 12 ✓$

Leysið jöfnuna.

Lausn

−12 + 8(x − 5) = −4 + 3(5x − 2)

Einfaldið hvora hlið.
$−12 + 8(x − 5) = −4 + 3(5x − 2); −12 + 8x − 40 = −4 + 15x − 6; 8x − 52 = 15x − 10$
Dragið 15x frá báðum hliðum.
$8x − 52 − 15x = 15x − 10 − 15x; −7x − 52 = −10$
Leggið 52 við báðar hliðar.
$−7x − 52 + 52 = −10 + 52; −7x = 42$
Deilið báðum hliðum með −7.
$(-7x)/(-7) = 42/(-7); x = −6$
Prófið lausnina.
$−12 + 8(x − 5) = −4 + 3(5x − 2) ?; −12 + 8(−6 − 5) = −4 + 3(5(−6) − 2) ?; −12 + 8(−11) = −4 + 3(−30 − 2) ?; −12 + (−88) = −4 + 3(−32) ?; −100 = −4 + (−96) ?; −100 = −100 ✓$

Verkefni

Hér eru nokkur pör af jöfnum. Á meðan annar félaginn hlustar ætti hinn að gera eftirfarandi:

Veljið par af jöfnum úr dálki A. Útskýrið hvers vegna tala sem gerir fyrri jöfnuna sanna gerir líka seinni jöfnuna sanna.

Veljið par af jöfnum úr dálki B. Útskýrið hvers vegna seinni jafnan er ekki lengur sönn fyrir gildi á x sem gerir fyrri jöfnuna sanna.

Skiptið síðan um hlutverk þar til tíminn er búinn eða þið hafið rætt öll jöfnupörin.

Jöfnupör

\begin{array}{ccc} A & B \\ 1. & \begin{array}{l} 16 = 4 (9 - x) \\ 16 = 36 - 4 x \end{array} & \begin{array}{l} 9 x = 5 x + 4 \\ 14 x = 4 \end{array} \\ 2. & \begin{array}{l} 5 x = 24 + 2 x \\ 3 x = 24 \end{array} & \begin{array}{l} \frac{1}{2} x - 8 = 9 \\ x - 8 = 18 \end{array} \\ 3. & \begin{array}{l} - 3 (2 x + 9) = 12 \\ 2 x + 9 = - 4 \end{array} & \begin{array}{l} 6 x - 6 = 3 x \\ x - 1 = 3 x \end{array} \\ 4. & \begin{array}{l} 5 x = 3 - x \\ 5 x = - x + 3 \end{array} & \begin{array}{l} - 11 (x - 2) = 8 \\ x - 2 = 8 + 11 \end{array} \\ 5. & \begin{array}{l} 18 = 3 x - 6 + x \\ 18 = 4 x - 6 \end{array} & \begin{array}{l} 4 - 5 x = 24 \\ 5 x = 20 \end{array} \end{array}

Eftir að þið hafið rætt jöfnurnar við félaga ykkar skulið þið svara spurningum 1 og 2.

Hvaða par af jöfnum völduð þið úr dálki A? Rökstyðjið svarið.

Lausn

Berið saman við sýnissvar. Svör geta verið mismunandi, en hér eru dæmi:

1. Með dreifireglunni er 4(9 − x) jafngilt 36 − 4x fyrir hvaða gildi á x sem er. Ef 4(9 − x) er jafnt 16, þá er 36 − 4x líka jafnt 16.

2. Ef báðar hliðar jöfnu eru jafnar haldast þær jafnar þegar sama stærð, hér 2x, er dregin frá báðum hliðum.

3. Ef báðum hliðum jöfnunnar −3(2x + 9) = 12 er deilt með −3 fæst 2x + 9 = −4, svo jöfnurnar eru jafngildar.

4. Að draga x frá er það sama og að leggja −x við. Víxlregla samlagningar leyfir okkur síðan að skrifa 3 + (−x) sem −x + 3.

5. Með víxlreglu má skrifa 3x − 6 + x sem 3x + x − 6. Þegar líkir liðir eru dregnir saman fæst jafngilda stæðan 4x − 6.

Hvaða par af jöfnum völduð þið úr dálki B? Rökstyðjið svarið.

Lausn

Berið saman við sýnissvar. Svör geta verið mismunandi, en hér eru dæmi:

1. Ef stæðurnar 9x og 5x + 4 eru jafnar, þá gerir það þær almennt ekki jafnar að leggja 5x við aðra stæðuna en draga 5x frá hinni.

2. Hægri hlið jöfnunnar er margfölduð með 2. Til að jafngildi haldist þarf öll vinstri hliðin líka að vera margfölduð með 2, en aðeins hluti hennar er tvöfaldaður.

3. Ef tvær stæður eru jafnar verður jafnan almennt ósönn ef annarri hliðinni er deilt með 6 en hinni ekki.

4. Vinstri hlið fyrri jöfnunnar er deilt með −11, en 11 er lagt við hægri hliðina. Mismunandi aðgerðir með mismunandi tölum varðveita jafnan ekki endilega.

Sjálfspróf

Veljið allar jöfnur sem eru jafngildar þessari jöfnu:

3(x − 2) = 18; 3x = 12; 3x − 6 = 18; 3x − 2 = 18; x − 18 = 6

Ítarefni

Að leysa jöfnur og búa til jafngildar jöfnur

Almenn aðferð við að leysa jöfnu:

Skref 1: Einfaldið hvora hlið eins mikið og hægt er. Notið dreifiregluna til að losna við sviga og dragið saman líka liði.

Skref 2: Safnið öllum liðum með breytu á aðra hliðina. Notið samlagningarreglu eða frádráttarreglu jafnaðarmerkis.

Skref 3: Safnið öllum föstum liðum á hina hliðina. Notið samlagningarreglu eða frádráttarreglu jafnaðarmerkis.

Skref 4: Gerið stuðul breytuliðarins að 1. Notið margföldunarreglu eða deilingarreglu jafnaðarmerkis og tilgreinið lausnina.

Skref 5: Prófið lausnina með því að setja hana inn í upphaflegu jöfnuna.

Dæmi 1

Leysið jöfnuna.

−6(x + 3) = 24

Skref 1: Einfaldið vinstri hliðina.

−6(x + 3) = 24; −6x − 18 = 24

Skref 2: Allir x-liðir eru þegar vinstra megin.

Skref 3: Leggið 18 við báðar hliðar.

−6x − 18 + 18 = 24 + 18; −6x = 42

Skref 4: Deilið báðum hliðum með −6.

(-6x)/(-6) = 42/(-6); x = −7

Skref 5: Prófið lausnina.

−6(x + 3) = 24; −6(−7 + 3) = 24; −6(−4) = 24; 24 = 24 ✓

Dæmi 2

Leysið jöfnuna.

3(4x − 1) − 2 = 8x + 3

Skref 1: Einfaldið hvora hlið.

3(4x − 1) − 2 = 8x + 3; 12x − 3 − 2 = 8x + 3; 12x − 5 = 8x + 3

Skref 2: Dragið 8x frá báðum hliðum.

12x − 5 − 8x = 8x + 3 − 8x; 4x − 5 = 3

Skref 3: Leggið 5 við báðar hliðar.

4x − 5 + 5 = 3 + 5; 4x = 8

Skref 4: Deilið báðum hliðum með 4.

(4x)/4 = 8/4; x = 2

Skref 5: Prófið lausnina.

3(4x − 1) − 2 = 8x + 3 ?; 3(4(2) − 1) − 2 = 8(2) + 3 ?; 3(8 − 1) − 2 = 16 + 3 ?; 3(7) − 2 = 19 ?; 21 − 2 = 19 ?; 19 = 19 ✓

Dæmi 3

Leysið jöfnuna.

12x + 3(x + 7) = 10x − 24

Skref 1: Einfaldið hvora hlið.

12x + 3(x + 7) = 10x − 24; 12x + 3x + 21 = 10x − 24; 15x + 21 = 10x − 24

Skref 2: Dragið 10x frá báðum hliðum.

15x + 21 − 10x = 10x − 24 − 10x; 5x + 21 = −24

Skref 3: Dragið 21 frá báðum hliðum.

5x + 21 − 21 = −24 − 21; 5x = −45

Skref 4: Deilið báðum hliðum með 5.

(5x)/5 = −45/5; x = −9

Skref 5: Prófið lausnina.

12x + 3(x + 7) = 10x − 24 ?; 12(−9) + 3(−9 + 7) = 10(−9) − 24 ?; −108 + 3(−2) = −90 − 24 ?; −108 + (−6) = −114 ?; −114 = −114 ✓

Myndband

Horfið á eftirfarandi myndband til að læra meira um leyfilegar aðgerðir.

Prófið þetta

Að leysa jöfnur og búa til jafngildar jöfnur

Skrifið tvær jöfnur sem eru jafngildar þessari jöfnu:

2(x + 4) = 12

Lausn

Berið saman við sýnissvar. Svör geta verið mismunandi, en hér eru nokkur rétt dæmi:

2x + 8 = 12; x + 4 = 6; 2x = 4

Leysið jöfnuna.

Lausn

2(x + 4) = 12

Einfaldið vinstri hliðina.
$2(x + 4) = 12; 2x + 8 = 12$
Allir x-liðir eru þegar vinstra megin.
Dragið 8 frá báðum hliðum.
$2x + 8 − 8 = 12 − 8; 2x = 4$
Deilið báðum hliðum með 2.
$(2x)/2 = 4/2; x = 2$
Prófið lausnina.
$2(x + 4) = 12; 2(2 + 4) = 12; 2(6) = 12; 12 = 12 ✓$