A | Notkun stærðfræði í hagfræði

A | Notkun stærðfræði í hagfræði

(Lestu þennan viðauka eftir kaflann Velkomin í hagfræði!) Hagfræði er ekki stærðfræði, en stærðfræði og gröf geta gert forsendur, sambönd og niðurstöður hagfræðilíkana skýrari. Líkön einfalda raunveruleikann til að varpa ljósi á tiltekin viðfangsefni; stærðfræði er ein leið til að setja þau fram og vinna með þau.

Líkön má einnig setja fram með texta, frásögn eða myndum. Stærðfræði krefst nákvæmra skilgreininga og getur afhjúpað mótsagnir, en hún eyðir ekki óvissu og gerir niðurstöðu ekki sannari en forsendur og gögn leyfa. Frásögn getur varðveitt samhengi og blæbrigði sem einfalt jöfnulíkan sleppir. Í þessari bók þarf einkum algebru og gröf á framhaldsskólastigi. Þú þarft að kunna:

• Hvað fall er
• Hvernig túlka á jöfnu línu, það er hallatölu og skurðpunkt við ás
• Hvernig breyta á línu, það er hallatölu hennar eða skurðpunkti við ás
• Hvernig reikna og túlka á vaxtarhlutfall, það er prósentubreytingu
• Hvernig lesa á úr grafi og breyta því

Í þessum viðauka er farið yfir þá stærðfræði sem bókin notar. Snúðu aftur hingað þegar þú þarft að rifja upp fall, jöfnu, hallatölu, prósentubreytingu eða lestur grafs. Frekara nám í stærðfræðigreiningu, línulegri algebru, líkindafræði og tölfræði nýtist vel í framhaldsnámi í hagfræði; gildi þess ræðst af viðfangsefninu en ekki af einfaldri reglu um minnkandi ávinning.

Algebraísk líkön

Hagfræðilíkön, eða hlutar þeirra, eru oft sett fram með föllum. Fall tengir hvert leyfilegt inntak við eitt úttak. Sambandið getur verið skilgreining, reikniregla eða tilgáta um hegðun. Einfalt dæmi um skilgreiningu væri Kennari = tiltekinn einstaklingur eða Heildarútgjöld = útgjöld til bóka + útgjöld til tónlistar.

Í hagfræði er breytan vinstra megin oft sú sem líkanið á að skýra og breyturnar hægra megin skýribreytur. Jafnan ein og sér sannar þó ekki orsakatengsl; þau þurfa kenningu, rannsóknarsnið og gögn. Skoðum tilbúið reiknidæmi um meðaleinkunn:

Jafnan tengir meðaleinkunn við þrjár breytur: stig á bandaríska Scholastic Assessment Test (SAT), mætingu og námstíma. Til að stuðlarnir 0,25, 0,25 og 0,50 séu samanburðarhæfir þurfa breyturnar að vera mældar á samræmdum eða stöðluðum kvarða. Stuðullinn 0,50 segir þá hvernig spágildið breytist þegar námstími hækkar um eina einingu að öðru óbreyttu; hann sannar ekki að námstími sé tvöfalt mikilvægari eða að sambandið sé orsakasamband. Dæmið er kennslulíkan, ekki mat á raunverulegu námsárangurslíkani.

Hagfræðilíkön setja að sjálfsögðu fram sambönd milli hagstærða, til dæmis Fjárhagsáætlun = fé_varið_í_hagfræðibækur + fé_varið_í_tónlist, ef gert er ráð fyrir að þú kaupir ekkert annað en hagfræðibækur og tónlist.

Flest samböndin sem við notum í þessu námsefni eru sett fram sem línulegar jöfnur á forminu:

Myndræn framsetning jafna

Gröf þjóna tveimur megintilgöngum. Annars vegar sýna þau jöfnur myndrænt og hins vegar tölfræði eða gögn. Í þessum hluta er fjallað um myndræna framsetningu jafna.

Í stærðfræði og hagfræði er breyta heiti á stærð sem getur tekið ýmis gildi. Í jöfnu línunnar hér að framan eru x og y breyturnar; x er á lárétta ásnum og y á lóðrétta ásnum. Stafirnir b og m tákna þætti sem ákvarða lögun línunnar. Skoðum tölulegt dæmi til að sjá hvernig jafnan virkar:

Í þessari jöfnu fyrir tiltekna línu hefur b verið sett jafnt og 9 og m jafnt og 3. Tafla A1 sýnir gildi x og y samkvæmt jöfnunni. Mynd A1 sýnir sömu jöfnu og gildi á grafi. Taflan er gerð með því að setja inn nokkur mismunandi gildi fyrir x og reikna síðan samsvarandi gildi y. Punktarnir eru merktir inn á myndina og lína dregin í gegnum þá.

Dæmið sýnir hvernig liðirnir b og m í jöfnu beinnar línu ákvarða lögun hennar. Liðurinn b nefnist skurðpunktur við y-ás. Ástæðan er sú að þegar x = 0 sýnir b hvar línan sker y-ásinn. Í þessu dæmi sker línan lóðrétta ásinn í 9. Liðurinn m er hallatala línunnar. Hallatala er breyting á lóðrétta ásnum deilt með breytingu á lárétta ásnum. Í þessu dæmi hækkar y um þrjá í hvert sinn sem x hækkar um einn. Hallatala línunnar er því þrír. Þegar skurðpunktur við y-ás og hallatala eru tilgreind, það er b og m í jöfnu línunnar, er ein tiltekin lína ákvörðuð. Raungögn raðast sjaldan nákvæmlega á beina línu, en bein lína getur engu að síður oft verið sæmileg nálgun á gögnin.

Túlkun hallatölu

Jákvæð hallatala merkir að y hækkar þegar x hækkar eftir tiltekinni línu. Á grafi hallar línan upp frá vinstri til hægri. Samband lengdar og þyngdar á mynd A3 hefur jákvæða hallatölu. Í einföldu framboðslíkani tengjast verð og framboðsmagn einnig jákvætt að öðru óbreyttu, en það er líkanforsenda sem þarf að greina frá orsakasamhengi í gögnum.

Neikvæð hallatala merkir að y lækkar þegar x hækkar eftir tiltekinni línu. Á grafi hallar línan niður frá vinstri til hægri. Kennsludæmið um hæð og loftþéttleika á mynd A4 hefur neikvæða hallatölu. Í einföldu eftirspurnarlíkani tengjast verð og eftirspurnarmagn einnig neikvætt að öðru óbreyttu.

Hallatala núll merkir að y breytist ekki þegar x breytist eftir láréttri línu. Það sýnir ekkert línulegt samband á því bili en sannar ekki að breyturnar séu almennt óháðar. Tímaröð getur haft kafla með jákvæðri, neikvæðri eða nærri núll hallatölu án þess að eitt fast samband lýsi allri röðinni.

Hallatölu beinnar línu milli tveggja punkta má reikna tölulega. Merktu annan punktinn sem „upphafspunkt“ og hinn sem „endapunkt“ og reiknaðu síðan breytinguna á lóðrétta ásnum deilda með breytingunni á lárétta ásnum. Skoðum sem dæmi hallatölu loftþéttleikagrafsins milli punkta sem tákna 4.000 metra og 6.000 metra hæð:

Lóðrétt breyting: breyting breytunnar á lóðrétta ásnum (endapunktur mínus upphafspunktur)

Lárétt breyting: breyting breytunnar á lárétta ásnum (endapunktur mínus upphafspunktur)

Hallatala beinu línunnar milli punktanna segir því að frá 4.000 metra hæð upp í 6.000 metra minnki loftþéttleikinn um um það bil 0,1 kílógramm á rúmmetra fyrir hverja 1.000 metra hækkun.

Bratti línu ræðst af hallatölunni og kvörðum ásanna. Stærri jákvæð hallatala gefur brattari hækkun en stærra algildi neikvæðrar hallatölu brattari lækkun, að óbreyttum áskvörðum. Hallatala núll gefur lárétta línu. Hallatala lóðréttrar línu er óskilgreind, ekki óendanleg, vegna þess að lárétta breytingin er núll.

Ef skurðpunktur við y-ás breytist en hallatalan helst óbreytt færist öll línan samhliða upp eða niður. Breytist hallatalan jafnframt er færslan ekki samhliða.

Lausn líkana með algebru

Hagfræðingar nota líkön oft til að svara tiltekinni spurningu, svo sem: Hvert verður atvinnuleysið ef hagkerfið vex um 3% á ári? Til að svara slíkri spurningu þarf að leysa það jöfnukerfi sem lýsir líkaninu.

Gerum ráð fyrir að eftirspurn eftir einstaklingspítsum sé gefin með eftirfarandi jöfnu:

þar sem Qd er eftirspurnarmagn einstaklingspítsa og P er verð þeirra. Gerum ráð fyrir að framboð einstaklingspítsa sé:

þar sem Qs er framboðsmagn einstaklingspítsa.

Gerum að lokum ráð fyrir að markaður fyrir einstaklingspítsur sé í jafnvægi þar sem framboð er jafnt eftirspurn, eða

Við höfum nú þrjár jöfnur með þremur óþekktum stærðum (Qd, Qs og P) sem við getum leyst með algebru:

Þar sem $\text{Qd}=\text{Qs}$ getum við sett eftirspurnar- og framboðsjöfnurnar jafnar:

Drögum 2 frá báðum hliðum og leggjum 2P við báðar hliðar:

Verð hverrar einstaklingspítsu verður með öðrum orðum 2 dalir. Hversu margar pítsur kaupa neytendur?

Setjum verðið 2 dali inn í eftirspurnarjöfnuna:

Þegar verðið er 2 dalir kaupa neytendur því 12 pítsur. Hversu margar bjóða framleiðendur? Setjum verðið 2 dali inn í framboðsjöfnuna:

Þegar verðið er 2 dalir bjóða framleiðendur því 12 einstaklingspítsur. Útreikningurinn er réttur þar sem $\text{Qd}=\text{Qs}$.

Lausn líkana með gröfum

Ef algebra er ekki þín sterka hlið geturðu fengið sama svar með gröfum. Teiknaðu jöfnurnar fyrir Qd og Qs á sama hnitakerfi eins og á mynd A2. Þar sem P er á lóðrétta ásnum er einfaldast að leysa hvora jöfnu fyrir P. Eftirspurnarferillinn verður þá P = 8 − 0,5Qd og framboðsferillinn P = −0,4 + 0,2Qs. Skurðpunktarnir við lóðrétta ásinn eru 8 og −0,4 og hallatölurnar −0,5 fyrir eftirspurn og 0,2 fyrir framboð. Ef gröfin eru teiknuð nákvæmlega sést að þar sem ferlarnir skerast ($\text{Qs}=\text{Qd}$) er verðið 2 dalir og magnið 12, rétt eins og algebran gaf til kynna.

Við notum gröf oftar en algebru í þessari bók, en nú þekkirðu stærðfræðina að baki gröfunum.

Vaxtarhlutföll

Hagvöxtur og annar vöxtur eru oft mældir með vaxtarhlutfalli. Vaxtarhlutfall er einfaldlega prósentubreyting einhverrar stærðar. Stærðin gæti verið tekjur þínar, sala fyrirtækis eða verg landsframleiðsla ríkis. Formúlan fyrir vaxtarhlutfall er einföld:

Gerum ráð fyrir að þú fáir 10 dali á klukkustund í laun. Yfirmaður þinn er svo ánægður með vinnuna að þú færð 2 dala launahækkun á klukkustund. Prósentubreytingin, eða vaxtarhlutfall launanna, er 2/10 = 0,20 eða 20%.

Venjuleg prósentubreyting milli tveggja tímapunkta notar upphafsgildið í nefnara. Ef verg landsframleiðsla (VLF) hækkar úr 1,00 billjón dala árið 2005 í 1,03 billjónir árið 2006 er vöxturinn (1,03 − 1,00)/1,00 = 0,03 eða 3%. Fyrir mörg tímabil er meðalársvöxtur reiknaður sem samsettur ársvöxtur, þannig að upphafsgildið margfaldað með (1 + g) í veldinu n gefi lokagildið. Miðpunktsnefnari gefur samhverfan prósentumun, sem getur nýst við samanburð en er ekki hefðbundin vaxtarprósenta.

Í dæminu er ársvöxturinn því 3,00%. Samhverfur prósentumunur með meðalgildi áranna í nefnara væri 2,96%; það er önnur mælistærð og á ekki að nefna nákvæmari útgáfu af sama vaxtarhlutfalli. Tilgreindu ávallt hvaða skilgreiningu þú notar.

Jákvætt vaxtarhlutfall merkir að stærðin vex og neikvætt að hún minnkar. Minna jákvætt hlutfall merkir hægari vöxt, ekki samdrátt. Berðu saman tímabil með sömu skilgreiningu, einingum og verðgrunni.

Sama tölulega hækkun gefur lægra prósentuhlutfall þegar upphafsgildið er hærra. Hækkun um 2 dali úr 10 í 12 dali er 20%, en úr 12 í 14 dali 16,7% og úr 14 í 16 dali 14,3%. Til að halda jákvæðu vaxtarhlutfalli föstu þarf tölulega hækkunin að vaxa í hlutfalli við grunninn.

Myndræn framsetning gagna og túlkun grafa

Gröf þjappa tölulegum upplýsingum og gera mynstur og samanburð sýnilegri. Mannfjöldi ríkja er til dæmis fljótlesnari á vel merktu grafi en í löngum talnalista. Grafið velur þó alltaf ákveðnar breytur, kvarða og flokka; það kemur því ekki í stað skilgreininga, heimilda eða óvissumats.

Þrjár gerðir grafa eru notaðar í þessari bók: línurit, kökurit og stöplarit. Hér á eftir er fjallað um hverja gerð. Einnig er varað við því hvernig hægt er að breyta gröfum þannig að þau hafi áhrif á skynjun lesenda á samböndum í gögnunum.

Línurit

Gröfin sem við höfum fjallað um hingað til nefnast línurit því þau sýna samband tveggja breyta: önnur er mæld á lárétta ásnum og hin á lóðrétta ásnum.

Tafla A2 og mynd A3 sýna sögulegt bandarískt viðmiðunarsafn um lengd og miðgildi þyngdar barna fyrstu þrjú æviárin. Miðgildi skiptir hópnum í tvo jafnstóra hluta. Ásarnir nota tommur og pund; 28 tommur eru um 71,1 cm og 19 pund um 8,6 kg. Slík viðmiðunargögn lýsa hópi og tímabili og eru ekki greining á heilsu einstaks barns.

Mynd A4 og tafla A3 eru stílfært kennsludæmi um neikvæða hallatölu: hæð yfir sjávarmáli hækkar en gefið loftþéttleikagildi lækkar. Tölurnar eiga ekki að nota sem staðlaðar lofthjúpsmælingar; raunverulegur loftþéttleiki ræðst meðal annars af hitastigi, þrýstingi og raka. Dæmið sýnir hvernig sveigð tengsl má setja fram á línuriti.

Samband lengdar og þyngdar og samband hæðar og loftþéttleika á þessum tveimur myndum sýna meðaltöl. Raunmælingar á loftþrýstingi í mismunandi hæð sýndu lítillega ólíkan loftþéttleika í sömu hæð eftir staðsetningu, meðal annars vegna fjarlægðar frá miðbaug, veðurs og rakastigs. Á sama hátt væru börn af tiltekinni hæð misþung, sum yfir meðaltali og önnur undir því. Slíkur breytileiki er algengur í raunverulegum gögnum. Verkefni rannsakanda er að skipuleggja gögnin þannig að þau auðveldi skilning á dæmigerðum mynstrum. Tölfræði, einkum með tölfræðiforritum og töflureiknum, gagnast vel við að skipuleggja slík gögn, teikna línurit og leita að undirliggjandi dæmigerðum samböndum. Flestir nemendur í hagfræði og félagsvísindum þurfa því einhvern tíma að taka námskeið í tölfræði.

Tímaröð sýnir gildi breytu yfir tíma. Mynd A5 er sögulegt bandarískt atvinnuleysisgraf sem nær yfir árin í upprunalega gagnasafninu og á ekki að lesa sem núverandi yfirlit. Punktarnir sýna ársgildi og tengilínan auðveldar samanburð á hækkunum, lækkunum og kyrrstæðum köflum. Skilgreining, tíðni og tímabil gagna þurfa alltaf að fylgja túlkun.

Kökurit

Kökurit sýnir hvernig heild skiptist í hluta. Hringur táknar heildina og sneiðar þessarar hringlaga „köku“ sýna hlutfallslega stærð undirhópanna.

Tafla A4 og mynd A6 bera saman mannfjölda Bandaríkjanna 1970 og 2000 við eldri spá fyrir 2030. Spáin er sögulegt kennslugagn, ekki núverandi mannfjöldamat. Dálkarnir sýna heildarfjölda og þrjá aldurshópa; tala í sviga er hlutfall hópsins af heildinni.

Hver sneið kökurits táknar hlutdeild af heild. Helmingur er 50% og fimmtungur 20%. Mynd A6 gerir skiptingu aldurshópa í sögulegu gagnasafninu fljótlesna, en nákvæm gildi og óvissa spárinnar sjást betur í töflunni. Kökurit henta helst þegar flokkar eru fáir, gagnkvæmt útilokandi og saman mynda þeir 100%.

Stöplarit

Tafla A5 og mynd A7 sýna sögulegt mannfjöldasafn frá 2015. Hæð hvers stöpuls samsvarar skráðum mannfjölda ríkis það ár; röðunina á ekki að túlka sem núverandi stöðu. Dæmið sýnir hversu auðvelt er að bera saman stærðir með sameiginlegum kvarða.

Mynd A8 endurtekur sögulegu gögnin og 2030-spána úr töflu A4 á þrjá vegu. Aðgreindir stöplar sýna fjölda eftir aldurshópi, staflaðir stöplar fjölda og 100% staflaðir stöplar hlutföll. Síðasta framsetningin auðveldar samanburð á samsetningu en felur mun á heildarmannfjölda.

Myndir A7 og A8 sýna að stöplar geta táknað ríki eða ár og að lóðrétti ásinn getur sýnt tölugildi eða prósentuhlutfall. Stöplarit geta einnig borið saman stærð, magn, hlutföll, vegalengdir og aðra mælanlega flokka.

Samanburður línurita, kökurita og stöplarita

Nú þegar þú þekkir kökurit, stöplarit og línurit, hvernig velurðu rétta gerð fyrir gögnin? Kökurit henta oft betur en línurit til að sýna hvernig heild skiptist. Ef sneiðarnar eru of margar getur kökuritið þó orðið erfitt í túlkun.

Stöplarit henta sérstaklega vel til að bera saman stærðir. Ef mannfjöldi ólíkra ríkja er til skoðunar, eins og á mynd A7, sýna stöplarnir sambandið milli mannfjölda margra ríkja. Þeir geta auk þess sýnt skiptingu mannfjöldans í ólíka hópa.

Línurit er oft áhrifaríkasta leiðin til að sýna samband tveggja breyta sem báðar breytast. Tímaraðir geta til dæmis sýnt mynstur yfir tíma, svo sem þróun atvinnuleysis. Línurit eru mikið notuð í hagfræði til að sýna samfelld gögn um verð, laun, keypt og selt magn og stærð hagkerfisins.

Hvernig gröf geta verið villandi

Gröf sýna ekki aðeins mynstur heldur geta þau einnig breytt því hvernig við skynjum mynstrin. Skoðum línuritin á myndum A9, A10 og A11 til að sjá hvernig það getur gerst. Öll sýna þau atvinnuleysi en frá ólíkum sjónarhornum.

Gerum ráð fyrir að þú viljir að graf gefi til kynna að aukning atvinnuleysis árið 2009 hafi hvorki verið mjög mikil né óvenjuleg í sögulegu samhengi. Þá gætirðu sett gögnin fram eins og á mynd A9(a). Hún inniheldur að miklu leyti sömu gögn og mynd A5 en lárétti ásinn er lengdur miðað við þann lóðrétta. Breitt og flatt graf lætur aukninguna virðast minni og svipaða fyrri hækkunum. Ef þú vildir hins vegar leggja áherslu á að atvinnuleysi hafi rokið upp árið 2009 gætirðu notað sömu gögn en lengt lóðrétta ásinn miðað við þann lárétta, eins og á mynd A9(b). Þá virðast allar hækkanir og lækkanir atvinnuleysis meiri.

Svipuð áhrif má fá án þess að breyta lengd ásanna, einfaldlega með því að breyta kvarðanum á lóðrétta ásnum. Á mynd A10(c) nær kvarðinn frá 0% til 30% en á mynd A10(d) frá 3% til 10%. Á mynd A5 nær hann frá 0% til 12%. Í samanburði við hana lætur mynd A10(c) sveiflur atvinnuleysis virðast minni en mynd A10(d) lætur þær virðast stærri.

Einnig má draga úr sýnilegum breytileika með því að fækka punktunum sem teiknaðir eru á grafið. Mynd A10(e) sýnir atvinnuleysi sem fimm ára meðaltöl. Þegar hluti breytinganna milli ára er jafnaður út verður línan sléttari og hæðir og lægðir færri. Atvinnuleysi er í raun birt mánaðarlega og mynd A11(f) sýnir mánaðartölur frá 1960, sem sveiflast meira en fimm ára meðaltölin. Myndin sýnir einnig skýrt hvernig graf getur þjappað miklu gagnamagni. Hún nær yfir tæplega 50 ár og inniheldur því nærri 600 mánaðarlega gagnapunkta. Það væri svæfandi að lesa talnalista með 600 punktum, en grafið veitir skjótt og gott innsæi í sömu gögn.

Val á upphafs- og lokatíma getur breytt sögu sem graf virðist segja. Mynd A11(g) hefst við hátt atvinnuleysi um 1975 og getur því gefið til kynna langa lækkun fram að samdrættinum 2009. Lengra tímabil sýnir fleiri upp- og niðursveiflur. Lesandi ætti að kanna hvort valið tímabil sé rökstutt og hvort niðurstaðan haldist við önnur mörk.

Slík brögð, eða það sem mætti einfaldlega kalla „val við framsetningu“, takmarkast ekki við línurit. Þegar kökurit hefur margar litlar sneiðar og eina stóra þarf einhver fyrst að ákveða hvaða flokkar mynda sneiðarnar og það getur látið sumar þeirra virðast stærri en aðrar. Á stöplariti má hafa lóðrétta ásinn lengri eða styttri og láta þannig mun á hæð stöplanna virðast meiri eða minni.

Færni í að lesa gröf er nauðsynleg bæði í hagfræði og daglegu lífi. Graf sýnir aðeins eitt sjónarhorn sem mótast af ákvörðunum á borð við þær sem hér hefur verið fjallað um. Treystu því ekki alltaf fyrstu og hröðu hughrifunum af grafi; skoðaðu það með gagnrýnum augum.

Lykilhugtök og samantekt

Stærðfræði er eitt verkfæri til að setja fram hagfræðileg sambönd. Bein lína hefur jöfnuna y = b + mx, þar sem b er skurðpunktur við y-ás og m hallatala. Hallatalan er föst á beinni línu og lýsir breytingu y fyrir hverja einingu x; hún sýnir ekki ein og sér orsök eða almennt samband utan líkansins.

Línurit sýnir samband breyta eða þróun yfir tíma, kökurit skiptingu heildar og stöplarit samanburð flokka. Val á grafgerð ræðst af spurningunni, gerð gagna og því hvort sýna á magn, hlutfall eða samfellda breytingu. Merkingar, kvarðar, heimildir og óvissa þurfa að fylgja myndrænni framsetningu.

Graf er sjónarhorn mótað af vali gagna, tímabils, flokka, ásahlutfalla og kvarða. Skertur ás þarf ekki að vera villandi ef hann er skýrt merktur, en getur ýkt sjónrænan mun. Metið því bæði grafið og undirliggjandi gögn, skilgreiningar og heimildir.

Upprifjunarspurningar