Svarlykill

Kafli 5

Stöðumat

5.1.

$a_{n} = \frac{{(−1)}^{n + 1}}{3 + 2 n}$

5.2.

$a_{n} = 6 n - 10$

5.3.

Runan er samleitin og markgildi hennar er $0 .$

5.4.

Runan er samleitin og markgildi hennar er $\sqrt{2 / 3} .$

5.5.

$2$

5.6.

$0 .$

5.7.

Röðin er ósamleitin vegna þess að $k -ta$ hlutsumman uppfyllir $S_{k} > k .$

5.8.

$10 .$

5.9.

$5 / 7$

5.10.

$475 / 90$

5.11.

$e - 1$

5.12.

Röðin er ósamleitin.

5.13.

Röðin er ósamleitin.

5.14.

Röðin er samleitin.

5.15.

$S_{5} \approx 1.09035,$ $R_{5} < 0.00267$

5.16.

Röðin er samleitin.

5.17.

Röðin er ósamleitin.

5.18.

Röðin er samleitin.

5.19.

$0.04762$

5.20.

Röðin er alsamleitin.

5.21.

Röðin er samleitin.

5.22.

Röðin er samleitin.

5.23.

Samanburðarprófið, því að $2^{n} / (3^{n} + n) < 2^{n} / 3^{n}$ fyrir allar jákvæðar heiltölur $n .$ Einnig mætti nota samanburð með markgildi.

Æfingar í undirkafla 5.1

$a_{n} = 0$ ef $n$ er oddatala og $a_{n} = 2$ ef $n$ er slétt tala

${a_{n}} = {1, 3, 6, 10, 15, 21,…}$

$a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$

$a_{n} = 4 n - 7$

$a_{n} = {3.10}^{1 - n} = {30.10}^{− n}$

11.

$a_{n} = 2^{n - 1} - 1$

13.

$a_{n} = \frac{{(−1)}^{n - 1}}{2 n - 1}$

15.

$f (n) = 2^{n}$

17.

$f (n) = n! / 2^{n - 2}$

19.

Liðirnir sveiflast fyrir ofan og neðan $5 / 3$ og virðast stefna á $5 / 3 .$

21.

Liðirnir sveiflast fyrir ofan og neðan $y \approx 1.57 ...$ og virðast stefna á markgildi.

Þetta er graf sveiflukenndu rununnar. Liðirnir sveiflast fyrir ofan og neðan y = 1.57 og virðast stefna á 1.57.

23.

$7$

25.

$0$

27.

$0$

29.

$1$

31.

takmörkuð, minnkandi þegar $n \geq 2$

33.

takmörkuð, ekki einhalla

35.

takmörkuð, minnkandi

37.

ekki einhalla, ekki takmörkuð

39.

$a_{n}$ er minnkandi og takmörkuð að neðan með $2 .$ Markgildið $a$ verður að uppfylla $a = \sqrt{2 a}$ og því er $a = 2,$ óháð upphafsgildinu.

41.

$0$

43.

$0 : | sin x | \leq | x |$ og $| sin x | \leq 1$ og því $- \frac{1}{n} \leq a_{n} \leq \frac{1}{n}) .$

45.

Grafið sveiflast og bendir til þess að ekkert markgildi sé til.

Þetta er graf sem sveiflast milli 1 og -1 frá 0 til 25 á x-ásnum. Ekkert markgildi virðist vera til.

47.

$n^{1 / n} \to 1$ og $2^{1 / n} \to 1,$ og því $a_{n} \to 0$

49.

Þar sem ${(1 + 1 / n)}^{n} \to e,$ fæst ${(1 - 2 / n)}^{n} \approx {(1 + k)}^{−2 k} \to e^{−2}$ þegar $k \to \infty .$

51.

$2^{n} + 3^{n} \leq 2 \cdot 3^{n}$ og $3^{n} / 4^{n} \to 0$ þegar $n \to \infty,$ og því $a_{n} \to 0$ þegar $n \to \infty .$

53.

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = n! / (n + 1) (n + 2) ⋯ (2 n)$ $= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 ⋯ n}{(n + 1) (n + 2) ⋯ (2 n)} < 1 / 2^{n} .$ Sér í lagi gildir $a_{n + 1} / a_{n} \leq 1 / 2,$ og því $a_{n} \to 0$ þegar $n \to \infty .$

55.

$x_{n + 1} = x_{n} - ({(x_{n} - 1)}^{2} - 2) / 2 (x_{n} - 1);$ $x = 1 + \sqrt{2},$ $x \approx 2.4142,$ $n = 5$

57.

$x_{n + 1} = x_{n} - x_{n} (ln (x_{n}) - 1);$ $x = e,$ $x \approx 2.7183,$ $n = 5$

59.

a. Án affalla myndi stofninn fylgja $P_{n} = 1.06 P_{n - 1} .$ Frádrátturinn $150$ samsvarar afföllum fiskistofnsins. b. Eftir $12$ mánuði fæst $P_{12} \approx 1494 .$

61.

a. Námsmaðurinn skuldar $$ 9383$ eftir $12$ mánuði. b. Lánið verður að fullu greitt eftir $139$ mánuði, eða ellefu og hálft ár.

63.

$b_{1} = 0,$ $x_{1} = 2 / 3,$ $b_{2} = 1,$ $x_{2} = 4 / 3 - 1 = 1 / 3,$ mynstrið endurtekur sig því og $1 / 3 = 0.010101 … .$

65.

Fyrir upphafsgildin $a_{1} = 1,$ $a_{2} = 2,…,$ $a_{1} = 10,$ eru samsvarandi bitameðaltöl sem reiknuð eru með tilgreindri aðferð $0.5220,$ $0.5000,$ $0.4960,$ $0.4870,$ $0.4860,$ $0.4680,$ $0.5130,$ $0.5210,$ $0.5040,$ og $0.4840 .$ Hér er dæmi um tíu samsvarandi meðaltöl strengja með $1000$ bitum sem slembitölugjafi framleiðir: $0.4880,$ $0.4870,$ $0.5150,$ $0.5490,$ $0.5130,$ $0.5180,$ $0.4860,$ $0.5030,$ $0.5050,$ $0.4980 .$ Hvorug tegund meðaltala sýnir greinilegt mynstur. Meðaltölin úr slembitölugjafanum eru á bilinu $0.4860$ til $0.5490,$ sem spannar $0.0630,$ en reiknuðu bitameðaltöl sýndarslembitölugjafans eru á bilinu $0.4680$ til $0.5220,$ sem spannar $0.0540 .$

Æfingar í undirkafla 5.2

67.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$

69.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n - 1}}{n}$

71.

$1, 3, 6, 10$

73.

$1, 1, 0, 0$

75.

$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} .$ Röðin hefur summuna $S = 1 .$

77.

$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = \sqrt{n} - \sqrt{n - 1} = \frac{1}{\sqrt{n - 1} + \sqrt{n}} .$ Röðin er ósamleitin vegna þess að hlutsummurnar eru ótakmarkaðar.

79.

$S_{1} = 1 / 3,$ $S_{2} = 1 / 3 + 2 / 4 > 1 / 3 + 1 / 3 = 2 / 3,$ $S_{3} = 1 / 3 + 2 / 4 + 3 / 5 > 3 \cdot (1 / 3) = 1 .$ Almennt gildir $S_{k} > k / 3 .$ Röðin er ósamleitin.

81.

$\begin{array}{l} S_{1} = 1 / (2.3) = 1 / 6 = 2 / 3 - 1 / 2, \\ S_{2} = 1 / (2.3) + 1 / (3.4) = 2 / 12 + 1 / 12 = 1 / 4 = 3 / 4 - 1 / 2, \\ S_{3} = 1 / (2.3) + 1 / (3.4) + 1 / (4.5) = 10 / 60 + 5 / 60 + 3 / 60 = 3 / 10 = 4 / 5 - 1 / 2, \\ S_{4} = 1 / (2.3) + 1 / (3.4) + 1 / (4.5) + 1 / (5.6) = 10 / 60 + 5 / 60 + 3 / 60 + 2 / 60 = 1 / 3 = 5 / 6 - 1 / 2 . \end{array}$

Mynstrið er $S_{k} = (k + 1) / (k + 2) - 1 / 2$ og röðin hefur summuna $1 / 2 .$

83.

$0$

85.

$−3$

87.

ósamleitin, $\sum_{n = 1001}^{\infty} \frac{1}{n}$

89.

samleitin geómetrísk röð, $r = 1 / 10 < 1$

91.

samleitin geómetrísk röð, $r = π / e^{2} < 1$

93.

$\sum_{n = 1}^{\infty} 5 \cdot {(−1 / 5)}^{n},$ hefur summuna $−5 / 6$

95.

$\sum_{n = 1}^{\infty} 100 \cdot {(1 / 10)}^{n},$ hefur summuna $100 / 9$

97.

$x \sum_{n = 0}^{\infty} {(− x)}^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n - 1} x^{n}$

99.

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} {sin}^{2 n} (x)$

101.

$S_{k} = 2 - 2^{1 / (k + 1)} \to 1$ þegar $k \to \infty .$

103.

$S_{k} = 1 - \sqrt{k + 1}$ er ósamleitin

105.

$\sum_{n = 1}^{\infty} ln n - ln (n + 1), S_{k} = − ln (k + 1)$

107.

$a_{n} = \frac{1}{ln n} - \frac{1}{ln (n + 1)}$ og $S_{k} = \frac{1}{ln (2)} - \frac{1}{ln (k + 1)} \to \frac{1}{ln (2)}$

109.

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = f (1) - f (2)$

111.

$c_{0} + c_{1} + c_{2} + c_{3} + c_{4} = 0$

113.

$\frac{2}{n^{3} - 1} = \frac{1}{n - 1} - \frac{2}{n} + \frac{1}{n + 1},$ $S_{n} = (1 - 1 + 1 / 3) + (1 / 2 - 2 / 3 + 1 / 4)$ $+ (1 / 3 - 2 / 4 + 1 / 5) + (1 / 4 - 2 / 5 + 1 / 6) + ⋯ = 1 / 2$

115.

$t_{k}$ er samleitin að $0.57721 … t_{k}$ og er summa rétthyrninga með hæðina $1 / k$ yfir bilinu $[k, k + 1]$ sem liggja ofan við graf $1 / x .$

Þetta er graf runu í fyrsta fjórðungi sem hefst nálægt 0 og virðist stefna á 0.57721.

117.

$N = 22,$ $S_{N} = 6.1415$

119.

$N = 3,$ $S_{N} = 1.559877597243667 ...$

121.

a. Líkurnar á sérhverri tiltekinni raðaðri útkomurunu í $n$ myntköstum eru $1 / 2^{n} .$ b. Líkurnar á að skjaldarmerki komi fyrst upp í $n$ . kasti eru líkurnar á rununni $T T … T H$ , það er $1 / 2^{n} .$ Líkurnar á að skjaldarmerki komi fyrst upp í kasti með sléttri raðtölu eru $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / 2^{2 n}$ eða $1 / 3 .$

123.

$5 / 9$

125.

$E = \sum_{n = 1}^{\infty} n / 2^{n + 1} = 1,$ eins og sýna má með hlutsummun

127.

Sá hluti fyrsta skammtsins sem er eftir $n$ klukkustundir er $d r^{n},$ sá hluti annars skammtsins er $d r^{n - N},$ og almennt er eftirstandandi hluti $m -ta$ skammtsins $d r^{n - m N},$ og því

$A (n) = \sum_{l = 0}^{m} d r^{n - l N} = \sum_{l = 0}^{m} d r^{k + (m - l) N} = \sum_{q = 0}^{m} d r^{k + q N} = d r^{k} \sum_{q = 0}^{m} r^{N q} = d r^{k} \frac{1 - r^{(m + 1) N}}{1 - r^{N}}, n = k + m N .$

129.

$S_{N + 1} = a_{N + 1} + S_{N} \geq S_{N}$

131.

Þar sem $S > 1,$ $a_{2} > 0,$ og þar sem $k < 1,$ $S_{2} = 1 + a_{2} < 1 + (S - 1) = S .$ Ef $S_{n} > S$ fyrir eitthvert n, þá er til minnsta slíkt n. Fyrir þetta n er $S > S_{n - 1},$ og því $S_{n} = S_{n - 1} + k (S - S_{n - 1})$ $= k S + (1 - k) S_{n - 1} < S,$ sem er mótsögn. Því er $S_{n} < S$ og $a_{n + 1} > 0$ fyrir öll n, svo $S_{n}$ er vaxandi og takmörkuð að ofan með $S .$ Látum $S_{∗} = lim S_{n} .$ Ef $S_{∗} < S,$ þá er $δ = k (S - S_{∗}) > 0,$ en finna má n þannig að $S_{*} - S_{n} < δ / 2,$ sem leiðir til $S_{n + 1} = S_{n} + k (S - S_{n})$ $> S_{*} + δ / 2,$ sem stangast á við að $S_{n}$ stefni á $S_{∗} .$ Því er $S_{n} \to S .$

133.

Látum $S_{k} = \sum_{n = 1}^{k} a_{n}$ og $S_{k} \to L .$ Þá verður $S_{k}$ að lokum eins nálægt $L,$ og óskað er, sem merkir að $L - S_{N} = \sum_{n = N + 1}^{\infty} a_{n}$ verður eins lítið og óskað er þegar $N \to \infty .$

135.

$L = (1 + \frac{1}{2}) \sum_{n = 1}^{\infty} 1 / 2^{n} = \frac{3}{2} .$

137.

Á fyrsta stigi er fjarlægður ferningur með flatarmálið $1 / 9$ ; á stigi $2$ eru fjarlægðir $8$ ferningar, hver með flatarmálið $1 / 9^{2},$ á þriðja stigi eru fjarlægðir $8^{2}$ ferningar, hver með flatarmálið $1 / 9^{3},$ og þannig áfram. Heildarflatarmálið sem hefur verið fjarlægt eftir $N$ stig er $\sum_{n = 0}^{N - 1} 8^{N} / 9^{N + 1} = \frac{1}{8} (1 - {(8 / 9)}^{N}) / (1 - 8 / 9) \to 1$

þegar $N \to \infty .$ Heildarummálið er $4 + 4 \sum_{n = 0} 8^{N} / 3^{N + 1} \to \infty .$

Æfingar í undirkafla 5.3

139.

$lim_{n \to \infty} a_{n} = 0 .$ Sundurleitniprófið á ekki við.

141.

$lim_{n \to \infty} a_{n} = 2 .$ Röðin er ósamleitin.

143.

$lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$ (er ekki til). Röðin er ósamleitin.

145.

$lim_{n \to \infty} a_{n} = 1 .$ Röðin er ósamleitin.

147.

$lim_{n \to \infty} a_{n}$ er ekki til. Röðin er ósamleitin.

149.

$lim_{n \to \infty} a_{n} = 1 / e^{2} .$ Röðin er ósamleitin.

151.

$lim_{n \to \infty} a_{n} = 0 .$ Sundurleitniprófið á ekki við.

153.

Röðin er samleitin, $p > 1 .$

155.

Röðin er samleitin, $p = 4 / 3 > 1 .$

157.

Röðin er samleitin, $p = 2 e - π > 1 .$

159.

Röðin er ósamleitin samkvæmt samanburði við $\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{{(x + 5)}^{1 / 3}} .$

161.

Röðin er ósamleitin samkvæmt samanburði við $\int_{1}^{\infty} \frac{x}{1 + x^{2}} d x .$

163.

Röðin er samleitin samkvæmt samanburði við $\int_{1}^{\infty} \frac{2 x}{1 + x^{4}} d x .$

165.

$2^{− ln n} = 1 / n^{ln 2} .$ Þar sem $ln 2 < 1,$ er röðin ósamleitin samkvæmt samanburði við $p$ -röð.

167.

$2^{−2 ln n} = 1 / n^{2 ln 2} .$ Þar sem $2 ln 2 - 1 < 1,$ er röðin ósamleitin samkvæmt samanburði við $p$ -röð.

169.

$R_{1000} \leq \int_{1000}^{\infty} \frac{d t}{t^{2}} = - \frac{1}{t} |_{1000}^{\infty} = 0.001$

171.

$R_{1000} \leq \int_{1000}^{\infty} \frac{d t}{1 + t^{2}} = {tan}^{−1} \infty - {tan}^{−1} (1000) = π / 2 - {tan}^{−1} (1000) \approx 0.000999$

173.

$R_{N} < \int_{N}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}} = 1 / N, N > 10^{4}$

175.

$R_{N} < \int_{N}^{\infty} \frac{d x}{x^{1.01}} = 100 N^{−0.01}, N > 10^{600}$

177.

$R_{N} < \int_{N}^{\infty} \frac{d x}{1 + x^{2}} = π / 2 - {tan}^{−1} (N), N > tan (π / 2 - 10^{−3}) \approx 1000$

179.

$R_{N} < \int_{N}^{\infty} \frac{d x}{e^{x}} = e^{− N}, N > 5 ln (10),$ nægir ef $N = 12; \sum_{n = 1}^{12} e^{− n} = 0.581973... .$ Matið samsvarar $1 / (e - 1)$ með fimm aukastöfum.

181.

$R_{N} < \int_{N}^{\infty} d x / x^{4} = 1 / 3 N^{3}, N > {(10^{4} / 3)}^{1 / 3},$ nægir ef $N = 15;$

$\sum_{n = 1}^{15} 1 / n^{4} = 1.08226 … .$ Matið samsvarar summunni með þremur aukastöfum.

183.

$ln (2)$

185.

$T = 0.5772 ...$

187.

Væntur fjöldi slembiinsetninga sem þarf til að færa $B$ efst er $n + n / 2 + n / 3 + ⋯ + n / (n - 1) .$ Þá setur ein viðbótarinnsetning $B$ aftur inn á slembinn stað. Væntur fjöldi stokkunaraðgerða sem þarf til að slembiraða stokknum er því $n (1 + 1 / 2 + ⋯ + 1 / n) .$

189.

Látum $b_{n} = a_{n + N}$ og $g (t) = f (t + N)$ þannig að $f$ sé minnkandi á $[t, \infty) .$

191.

Röðin er samleitin þegar $p > 1$ samkvæmt heildisprófinu með breytuskiptum.

193.

$N = e^{e^{100}} \approx e^{10^{43}}$ liðir eru nauðsynlegir.

Æfingar í undirkafla 5.4

195.

Samleitin samkvæmt samanburði við $1 / n^{2} .$

197.

Summan er hálf harmonísk röð, sem er ósamleitin.

199.

$a_{n} = 1 / (n + 1) (n + 2) < 1 / n^{2} .$ Samleitin samkvæmt samanburði við p-röðina $p = 2 .$

201.

$sin (1 / n) \leq 1 / n,$ og er því samleitin samkvæmt samanburði við p-röðina $p = 2 .$

203.

$sin (1 / n) \leq 1,$ og er því samleitin samkvæmt samanburði við p-röðina $p = 3 / 2 .$

205.

Þar sem $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = 1 / (\sqrt{n + 1 / 2} + \sqrt{n}) \leq 2 / \sqrt{n},$ er röðin samleitin samkvæmt samanburði við p-röð þegar $p = 1.5.$

207.

Samleitin samkvæmt samanburði með markgildi við p-röð þegar $p > 1 .$

209.

Samleitin samkvæmt samanburði með markgildi við p-röðina $p = 2 .$

211.

Samleitin samkvæmt samanburði með markgildi við $4^{− n} .$

213.

Samleitin samkvæmt samanburði með markgildi við $1 / e^{1.1 n} .$

215.

Ósamleitin samkvæmt samanburði með markgildi við harmonísku röðina.

217.

Samleitin samkvæmt samanburði með markgildi við p-röðina $p = 3 .$

219.

Samleitin samkvæmt samanburði með markgildi við p-röðina $p = 2 .$

221.

Ósamleitin samkvæmt samanburði með markgildi við $1 / n .$

223.

Samleitin þegar $p > 1$ samkvæmt samanburði við $p$ -röð með örlítið minna $p .$

225.

Samleitin fyrir allar $p > 0 .$

227.

Samleitin fyrir allar $r > 1 .$ Ef $r > 1$ , þá er $r^{n} > 4,$ segjum, þegar $n > ln (2) / ln (r)$ , og þá er röðin samleitin samkvæmt samanburði með markgildi við geómetrísku röðina með hlutfallstöluna $1 / 2 .$

229.

Teljarinn er $1$ þegar $n$ er oddatala og $0$ þegar $n$ er slétt tala. Því má endurrita röðina sem $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 n + 1},$ sem er ósamleitin samkvæmt samanburði með markgildi við harmonísku röðina.

231.

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ eða $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b,$ og því leiðir samleitnin af samanburði $2 a_{n} b_{n}$ við $a^{2}_{n} + b^{2}_{n} .$ Þar sem hlutsummurnar vinstra megin eru takmarkaðar af hlutsummunum hægra megin gildir ójafnan einnig fyrir óendanlegu raðirnar.

233.

${(ln n)}^{− ln n} = e^{− ln (n) ln ln (n)} .$ Ef $n$ er nægilega stórt, þá er $ln ln n > 2,$ og því ${(ln n)}^{− ln n} < 1 / n^{2},$ og röðin er samleitin samkvæmt samanburði við $p - röð .$

235.

$a_{n} \to 0,$ og því $a^{2}_{n} \leq | a_{n} |$ fyrir stór $n .$ Samleitnin leiðir af samanburði með markgildi. $\sum 1 / n^{2}$ er samleitin en $\sum 1 / n$ er það ekki, svo samleitni $\sum_{n = 1}^{\infty} a^{2}_{n}$ felur ekki í sér samleitni $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ .

237.

Nei. $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n$ er ósamleitin. Látum $b_{k} = 0$ nema $k = n^{2}$ fyrir eitthvert $n .$ Þá er $\sum_{k} b_{k} / k = \sum 1 / k^{2}$ samleitin.

239.

$| sin t | \leq | t |,$ og niðurstaðan leiðir því af samanburðarprófinu.

241.

Samkvæmt samanburðarprófinu er $x = \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} / 2^{n} \leq \sum_{n = 1}^{\infty} 1 / 2^{n} = 1.$

243.

Ef $b_{1} = 0,$ þá fæst samkvæmt samanburði $x \leq \sum_{n = 2}^{\infty} 1 / 2^{n} = 1 / 2 .$

245.

Já. Bætið við $1 -kg$ lóðum þar til vogin sígur að lóðahliðinni. Ef vogin er í fullkomnu jafnvægi með Robert hinum megin skal hætta. Annars skal fjarlægja eitt af $1 -kg$ lóðunum og bæta við $0.1 -kg$ lóðum einu í einu. Ef jafnvægi næst eftir að nokkrum þeirra hefur verið bætt við skal hætta. Ef vogin sígur að lóðunum skal annars fjarlægja síðasta $0.1 -kg$ lóðið. Byrjið að bæta við $0.01 -kg$ lóðum. Ef jafnvægi næst skal hætta. Ef vogin sígur að lóðahliðinni skal fjarlægja síðasta $0.01 -kg$ lóðið sem var bætt við. Haldið þannig áfram með $0.001 -kg$ lóðin og síðan koll af kolli. Eftir endanlegan fjölda skrefa fæst endanleg röð á forminu $A + \sum_{n = 1}^{N} s_{n} / 10^{n}$ , þar sem $A$ er fjöldi heilla kílógrammalóða og $d_{n}$ er fjöldi $1 / 10^{n} -kg$ lóða sem bætt var við. Ef röðin er á einhverju stigi nákvæm þyngd Roberts stöðvast ferlið. Annars táknar hún $N -ta$ hlutsummu óendanlegrar raðar sem gefur nákvæma þyngd Roberts, og skekkja summunnar er í mesta lagi $1 / 10^{N} .$

247.

a. $10^{d} - 10^{d - 1} < 10^{d}$ b. $h (d) < 9^{d}$ c. $m (d) = 10^{d - 1} + 1$ d. Flokkið liði skertu harmonísku raðarinnar eftir fjölda tölustafa. $h (d)$ takmarkar fjölda liða og hver liður er í mesta lagi $1 / m (d) .$ $\sum_{d = 1}^{\infty} h (d) / m (d) \leq \sum_{d = 1}^{\infty} 9^{d} / {(10)}^{d - 1} \leq 90.$ Í raun má nota samanburð til að meta gildið sem minna en $80 .$ Raungildið er minna en $23 .$

249.

Ef ábendingunni er fylgt áfram fæst $S_{N} = (1 + 1 / N^{2}) (1 + 1 / {(N - 1)}^{2} … (1 + 1 / 4)) .$ Þá er $ln (S_{N}) = ln (1 + 1 / N^{2}) + ln (1 + 1 / {(N - 1)}^{2}) + ⋯ + ln (1 + 1 / 4) .$ Þar sem $ln (1 + t)$ er takmarkað að ofan með föstu margfeldi af $t,$ þegar $0 < t < 1$ , fæst $ln (S_{N}) \leq C \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n^{2}},$ sem er samleitin samkvæmt samanburði við p-röð þegar $p = 2 .$

Æfingar í undirkafla 5.5

251.

Ekki samleitin samkvæmt sundurleitniprófinu. Liðirnir stefna ekki á núll.

253.

Skilyrt samleitin samkvæmt prófi fyrir víxlmerkjaraðir, þar sem $\sqrt{n + 3} / n$ er minnkandi. Ekki alsamleitin samkvæmt samanburði við p-röðina $p = 1 / 2 .$

255.

Alsamleitin samkvæmt samanburði með markgildi við til dæmis $3^{n} / 4^{n},$

257.

Ósamleitin samkvæmt sundurleitniprófinu þar sem $lim_{n \to \infty} | a_{n} | = e .$

259.

Ekki samleitin. Liðirnir stefna ekki á núll.

261.

$lim_{n \to \infty} {cos}^{2} (1 / n) = 1 .$ Ósamleitin samkvæmt sundurleitniprófinu.

263.

Samleitin samkvæmt prófi fyrir víxlmerkjaraðir.

265.

Skilyrt samleitin samkvæmt prófi fyrir víxlmerkjaraðir. Ekki alsamleitin samkvæmt samanburði með markgildi við p-röðina $p = π - e$

267.

Ósamleitin; liðirnir stefna ekki á núll.

269.

Samleitin samkvæmt prófi fyrir víxlmerkjaraðir. Ekki alsamleitin samkvæmt samanburði með markgildi við harmonísku röðina.

271.

Alsamleitin samkvæmt samanburði með markgildi við p-röðina $p = 3 / 2,$ eftir að ábendingunni hefur verið beitt.

273.

Samleitin samkvæmt prófi fyrir víxlmerkjaraðir þar sem $n ({tan}^{−1} (n + 1) − {tan}^{−1} n)$ minnkar að núlli fyrir stór $n .$ Ekki alsamleitin samkvæmt samanburði með markgildi við harmonísku röðina eftir að ábendingunni hefur verið beitt.

275.

Alsamleitin þar sem $a_{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ eru liðir kíkisraðar.

277.

Liðirnir stefna ekki á núll. Röðin er ósamleitin samkvæmt sundurleitniprófinu.

279.

Samleitin samkvæmt prófi fyrir víxlmerkjaraðir. Ekki alsamleitin samkvæmt samanburði með markgildi við harmonísku röðina.

281.

$ln (N + 1) > 10,$ $N + 1 > e^{10},$ $N \geq 22026;$ $S_{22026} = –0.9743 …$

283.

$2^{N + 1} > 10^{6}$ eða $N + 1 > 6 ln (10) / ln (2) = 19.93 .$ eða $N \geq 19;$ $S_{19} = 0.333333969 …$

285.

${(N + 1)}^{2} > 10^{6}$ eða $N > 999;$ $S_{1000} \approx 0.822466 .$

287.

Satt. $b_{n}$ þarf ekki að stefna á núll því að ef $c_{n} = b_{n} - lim b_{n},$ þá er $c_{2 n - 1} - c_{2 n} = b_{2 n - 1} - b_{2 n} .$

289.

Satt. $b_{3 n - 1} - b_{3 n} \geq 0,$ og því leiðir samleitni $\sum b_{3 n - 2}$ af samanburðarprófinu.

291.

Satt. Ef önnur röðin er samleitin verður hin einnig að vera það, sem felur í sér alsamleitni.

293.

Já. Látum $b_{n} = 1$ ef $a_{n} \geq 0$ og $b_{n} = 0$ ef $a_{n} < 0 .$ Þá er $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n} = \sum_{n : a_{n} \geq 0} a_{n}$ samleitin. Á sama hátt má sýna að $\sum_{n : a_{n} < 0} a_{n}$ sé samleitin. Þar sem báðar raðirnar eru samleitnar verður röðin að vera alsamleitin.

295.

Ekki minnkandi. Ekki alsamleitin.

297.

Ekki víxlmerkjaröð. Má rita sem $\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{3 n - 2} + \frac{1}{3 n - 1} - \frac{1}{3 n}),$ sem er ósamleitin samkvæmt samanburði við $\sum \frac{1}{3 n - 2} .$

299.

Látum $a^{+}_{n} = a_{n}$ ef $a_{n} \geq 0$ og $a^{+}_{n} = 0$ ef $a_{n} < 0 .$ Þá er $a^{+}_{n} \leq | a_{n} |$ fyrir öll $n$ , svo runa hlutsummanna fyrir $a^{+}_{n}$ er vaxandi og takmörkuð að ofan með runu hlutsummanna fyrir $| a_{n} |,$ sem er samleitin. Því er $\sum_{n = 1}^{\infty} a^{+}_{n}$ samleitin.

301.

Fyrir $N = 5$ er $| R_{N} | b_{6} = θ^{10} / 10! .$ Þegar $θ = 1,$ er $R_{5} \leq 1 / 10! \approx 2.75 \times 10^{−7} .$ Þegar $θ = π / 6,$ er $R_{5} \leq {(π / 6)}^{10} / 10! \approx 4.26 \times 10^{−10} .$ Þegar $θ = π,$ er $R_{5} \leq π^{10} / 10! = 0.0258 .$

303.

Látum $b_{n} = 1 / (2 n - 2)! .$ Þá er $R_{N} \leq 1 / (2 N)! < 0.00001$ þegar $(2 N)! > 10^{5}$ eða $N = 5$ og $1 - \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{6!} + \frac{1}{8!} = 0.540325 …,$ en $cos 1 = 0.5403023 …$

305.

Látum $T = \sum \frac{1}{n^{2}} .$ Þá er $T - S = \frac{1}{2} T,$ og því $S = T / 2 .$ $\sqrt{6 \times \sum_{n = 1}^{1000} 1 / n^{2}} = 3.140638 …;$ $\sqrt{12 \times \sum_{n = 1}^{1000} {(−1)}^{n - 1} / n^{2}} = 3.141591 …;$

$π = 3.141592 … .$ Víxlmerkjaröðin er nákvæmari fyrir $1000$ liði.

307.

$N = 6,$ $S_{N} = 0.9068$

309.

$ln (2) .$ $3 n -ta$ hlutsumman er sú sama og fyrir víxlmerktu harmonísku röðina.

311.

Hlutsummurnar breytast snögglega nálægt endapunktunum. Fyrir $x$ fjarri endapunktunum líkist grafið $π (1 / 2 - x) .$

Þetta sýnir fall í fjórðungum 1 og 4 sem hefst í (0, 0), vex hratt upp að rétt neðan við 1.5 nálægt y-ásnum, minnkar línulega, sker x-ásinn við 0.5, heldur áfram að minnka línulega og vex síðan hratt rétt fyrir 1 upp í 0.

313.

Hér er dæmigerð niðurstaða. Efri ferillinn sýnir hlutsummur harmonísku raðarinnar. Neðri ferillinn sýnir hlutsummur slembinnar harmonískrar raðar.

Þetta sýnir tvo ferla. Sá efri er vaxandi og kúptur niður. Neðra grafið er óreglulegt graf slembinnar harmonískrar raðar sem helst nálægt 0.

315.

Samkvæmt prófi fyrir víxlmerkjaraðir er $| S_{n} - S | \leq b_{n + 1},$ og því þarf $10^{4}$ liði víxlmerktu harmonísku raðarinnar til að meta $ln (2)$ með skekkju minni en $0.0001 .$ Fyrstu $10$ hlutsummur raðarinnar $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}}$ eru, með fjögurra aukastafa nákvæmni, $0.5000, 0.6250, 0.6667, 0.6823, 0.6885, 0.6911, 0.6923, 0.6928, 0.6930, 0.6931$ , og tíunda hlutsumman víkur minna en $0.0001$ frá $ln (2) = 0.6931 … .$

Æfingar í undirkafla 5.6

317.

$a_{n + 1} / a_{n} \to 0 .$ Samleitin.

319.

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{1}{2} {(\frac{n + 1}{n})}^{2} \to 1 / 2 < 1 .$ Samleitin.

321.

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \to 1 / 27 < 1 .$ Samleitin.

323.

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \to 4 / e^{2} < 1 .$ Samleitin.

325.

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \to 1 .$ Kvótaprófið gefur enga niðurstöðu.

327.

$\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} \to 1 / e^{2} .$ Samleitin.

329.

${(a_{k})}^{1 / k} \to 2 > 1 .$ Ósamleitin.

331.

${(a_{n})}^{1 / n} \to 1 / 2 < 1 .$ Samleitin.

333.

${(a_{k})}^{1 / k} \to 1 / e < 1 .$ Samleitin.

335.

$a_{n}^{1 / n} = \frac{1}{e} + \frac{1}{n} \to \frac{1}{e} < 1 .$ Samleitin.

337.

$a_{n}^{1 / n} = \frac{(ln (1 + ln n))}{(ln n)} \to 0$ samkvæmt reglu l’Hôpitals. Samleitin.

339.

$\frac{a_{k + 1}}{a_{k}} = \frac{1}{2 k + 1} \to 0 .$ Samleitin samkvæmt kvótaprófinu.

341.

${(a_{n})}^{1 / n} \to 1 / e .$ Samleitin samkvæmt rótarprófinu.

343.

$a_{k}^{1 / k} \to ln (3) > 1 .$ Ósamleitin samkvæmt rótarprófinu.

345.

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} =$ $\frac{3^{2 n + 1}}{2^{3 n^{2} + 3 n + 1}} \to 0 .$ Röðin er samleitin.

347.

Samleitin samkvæmt rótarprófinu og samanburði með markgildi þar sem $x_{n} \to \sqrt{2} .$

349.

Alsamleitin samkvæmt samanburði með markgildi við $p - röð,$ $p = 2 .$

351.

$lim_{n \to \infty} a_{n} = 1 / e^{2} \neq 0 .$ Röðin er ósamleitin.

353.

Liðirnir stefna ekki á núll: $a_{k} \geq 1 / 2,$ þar sem ${sin}^{2} x \leq 1 .$

355.

$a_{n} = \frac{2}{(n + 1) (n + 2)},$ sem er samleitin samkvæmt samanburði við $p - röð$ þegar $p = 2 .$

357.

$a_{k} = \frac{2^{k} 1 \cdot 2 ⋯ k}{(2 k + 1) (2 k + 2) ⋯ 3 k} \leq {(2 / 3)}^{k}$ er samleitin samkvæmt samanburði við geómetrísku röðina.

359.

$a_{k} \approx e^{− ln k^{2}} = 1 / k^{2} .$ Röðin er samleitin samkvæmt samanburði með markgildi við $p - röð,$ $p = 2 .$

361.

Ef $b_{k} = c^{1 - k} / (c - 1)$ og $a_{k} = k,$ þá er $b_{k + 1} - b_{k} = − c^{− k}$ og $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{k}{c^{k}} = a_{1} b_{1} + \frac{1}{c - 1} \sum_{k = 1}^{\infty} c^{− k} = \frac{c}{{(c - 1)}^{2}} .$

363.

$6 + 4 + 1 = 11$

365.

$| x | \leq 1$

367.

$| x | < \infty$

369.

Öll raungildi $p$ samkvæmt kvótaprófinu.

371.

$r < 1 / p$

373.

$0 < r < 1 .$ Athugið að kvóta- og rótarprófin gefa enga niðurstöðu. Samkvæmt ábendingunni eru $2 k$ liðir $r^{\sqrt{n}}$ þegar $k^{2} \leq n < {(k + 1)}^{2},$ og þegar $r < 1$ er hver liður að minnsta kosti $r^{k} .$ Því er $\sum_{n = 1}^{\infty} r^{\sqrt{n}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \sum_{n = k^{2}}^{{(k + 1)}^{2} - 1} r^{\sqrt{n}}$ $\geq \sum_{k = 1}^{\infty} 2 k r^{k},$ sem er samleitin samkvæmt kvótaprófinu þegar $r < 1 .$ Þegar $r \geq 1$ er röðin ósamleitin samkvæmt sundurleitniprófinu.

375.

Hér gildir $a_{1} = 1,$ $a_{2} = a_{3} = 1 / 2,… a_{2 n} = a_{2 n + 1} = 1 / 2^{n} .$ Kvótaprófið á ekki við þar sem $a_{n + 1} / a_{n} = 1$ ef $n$ er slétt tala. Hins vegar er $a_{n + 2} / a_{n} = 1 / 2,$ og því er röðin samleitin samkvæmt verkefninu á undan. Röðin er auðvitað aðeins tvítekin geómetrísk röð.

377.

$a_{2 n} / a_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n + 1}{n + 1 + x} \frac{n + 2}{n + 2 + x} ⋯ \frac{2 n}{2 n + x} .$ Andhverfa $k -ta$ þáttarins er $(n + k + x) / (n + k) > 1 + x / (2 n)$ og því er margfeldið minna en ${(1 + x / (2 n))}^{− n} \approx e^{− x / 2} .$ Fyrir $x > 0,$ er því $\frac{a_{2 n}}{a_{n}} \leq \frac{1}{2} e^{− x / 2} .$ Röðin er samleitin þegar $x > 0 .$

Upprifjunaræfingar

379.

Ósatt

381.

Satt

383.

ótakmörkuð, ekki einhalla, ósamleitin

385.

takmörkuð, einhalla, samleitin, $0$

387.

ótakmörkuð, ekki einhalla, ósamleitin

389.

ósamleitin

391.

samleitin

393.

samleitin en ekki alsamleitin

395.

alsamleitin

397.

alsamleitin

399.

$\frac{1}{2}$

401.

$\infty,$ $0,$ $x_{0}$

403.

$S_{10} \approx 383,$ $lim_{n \to \infty} S_{n} = 400$