Svarlykill

Kafli 4

Stöðumat

4.2.

$5$

4.3.

$y = 2 x^{2} + 3 x + 2$

4.5.

$y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6 e^{x} + 14$

4.6.

$v (t) = −9.8 t$

4.7.

Graf stefnuviðs deildajöfnunnar y’ = x ^ 2 – y ^ 2. Meðfram y = x og y = -x eru línustrikin lárétt. Beggja vegna y = x og y = -x hallast línustrikin og beina lausnum eftir þessum tveimur föllum. Önnur línustrik eru lóðrétt. Lausnin sem fer um (-1, 2) er sýnd. Hún sveigir niður frá um það bil (-2.75, 10), fer um (-1, 2) og um það bil (0, 1.5) og sveigir síðan upp eftir hornalínunni að (10, 10).

4.8.

Stefnuvið með örvum sem vísa til hægri við y = -4 og y = 4. Örvarnar vísa upp þegar y > -4 og niður þegar y < -4. Nálægt y = 4 eru örvarnar láréttari en verða lóðréttari eftir því sem fjær dregur.

Jafnvægislausnirnar eru $y = −2$ og $y = 2 .$ Fyrir þessa jöfnu er $y = −2$ óstöðug jafnvægislausn en $y = 2$ hálfstöðug jafnvægislausn.

4.9.

n	$x n$	y n = y n − 1 + h f ( x n − 1 , y n − 1 )
0	1	−2
1	1.1	y 1 = y 0 + h f ( x 0 , y 0 ) = −1.5
2	1.2	y 2 = y 1 + h f ( x 1 , y 1 ) = −1.1419
3	1.3	y 3 = y 2 + h f ( x 2 , y 2 ) = −0.8387
4	1.4	y 4 = y 3 + h f ( x 3 , y 3 ) = −0.5487
5	1.5	y 5 = y 4 + h f ( x 4 , y 4 ) = −0.2442
6	1.6	y 6 = y 5 + h f ( x 5 , y 5 ) = 0.0993
7	1.7	y 7 = y 6 + h f ( x 6 , y 6 ) = 0.5099
8	1.8	y 8 = y 7 + h f ( x 7 , y 7 ) = 1.0272
9	1.9	y 9 = y 8 + h f ( x 8 , y 8 ) = 1.7159
10	2	y 10 = y 9 + h f ( x 9 , y 9 ) = 2.6962

4.10.

$y = 2 + C e^{x^{2} + 3 x}$

4.11.

$y = \frac{4 + 14 e^{x^{2} + x}}{1 - 7 e^{x^{2} + x}}$

4.12.

Upphafsgildisverkefni:

$\frac{d u}{d t} = 2.4 - \frac{2 u}{25}, u (0) = 3$

$Solution: u (t) = 30 - 27 e^{− 2 t / 25}$
$Concentration: 30 - 27 e^{\frac{- 2 t}{25}}$

4.13.

Upphafsgildisverkefni
$\frac{d T}{d t} = k (T - 70), T (0) = 450$
$T (t) = 70 + 380 e^{k t}$
Um það bil $114$ mínútur.

4.14.

$\frac{d P}{d t} = 0.04 (1 - \frac{P}{750}), P (0) = 200$
$P (t) = \frac{3000 e^{.04 t}}{11 + 4 e^{.04 t}}$
Eftir $12$ mánuði verður stofninn $P (12) \approx 278$ kanínur.

4.15.

$y' + \frac{15}{x + 3} y = \frac{10 x - 20}{x + 3}; p (x) = \frac{15}{x + 3}$ og $q (x) = \frac{10 x - 20}{x + 3}$

4.16.

$y = \frac{x^{3} + x^{2} + C}{x - 2}$

4.17.

$y = - 2 x - \frac{5}{2} + \frac{1}{2} e^{2 x}$

4.18.

$\begin{matrix} \frac{d v}{d t} & = & − v - 9.8 \\ v (0) & = & 0 \end{matrix}$
$v (t) = 9.8 (e^{− t} - 1)$
$lim_{t \to \infty} v (t) = lim_{t \to \infty} (9.8 (e^{− t} - 1)) = −9.8 m/s \approx - 21.922 mph$

4.19.

Upphafsgildisverkefni:

$8 q^{'} + \frac{1}{0.02} q = 20 sin 5 t, q (0) = 4$

$q (t) = \frac{10 sin 5 t - 8 cos 5 t + 172 e^{−6.25 t}}{41}$

Æfingar í kafla 4.1

$1$

$3$

$1$

19.

$y = 4 + \frac{3 x^{4}}{4}$

21.

$y = \frac{1}{2} e^{x^{2}}$

23.

$y = 2 e^{− 1 / x}$

25.

$u = {sin}^{−1} (e^{−1 + t})$

27.

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{1 - x}} - 1$

29.

$y = C - x + x ln x - ln (cos x)$

31.

$y = C + \frac{4^{x}}{ln (4)}$

33.

$y = \frac{2}{3} \sqrt{t^{2} + 16} (t^{2} + 16) + C$

35.

$x = \frac{2}{15} \sqrt{4 + t} (3 t^{2} + 4 t - 32) + C$

37.

$y = C x$

39.

$y = 1 - \frac{t^{2}}{2}, y = - \frac{t^{2}}{2} - 1$

41.

$y = e^{− t}, y = − e^{− t}$

43.

$y = 2 (t^{2} + 5), t = 3 \sqrt{5}$

45.

$y = 10 e^{−2 t}, t = - \frac{1}{2} ln (\frac{1}{10})$

47.

$y = \frac{1}{4} (41 - e^{−4 t}),$ aldrei

49.

Lausnin breytist úr vaxandi í minnkandi þegar $y (0) = 0$

51.

Lausnin breytist úr vaxandi í minnkandi þegar $y (0) = 0$

53.

$v (t) = −32 t + a$

55.

$0$ fet/s

57.

$52.354$ metrar

59.

$x = 50 t - \frac{15}{π^{2}} cos (π t) + \frac{3}{π^{2}}, 2$ klukkustundir og $1$ mínúta

61.

$y = 4 e^{3 t}$

63.

$y = 3 - 2 t + t^{2}$

65.

$y = \frac{1}{k} (e^{k t} - 1)$ og $y = x$

Æfingar í kafla 4.2

67.

Graf gefna stefnuviðsins með láréttri línu á ásnum. Örvarnar vísa upp þegar y < 0 og niður þegar y > 0. Því nær x-ásnum sem þær eru, þeim mun láréttari eru þær, og því fjær sem þær eru, þeim mun lóðréttari verða þær.

69.

$y = 0$ er stöðug jafnvægislausn

71.

Stefnuvið með láréttum örvum við y = 0 og y = 2. Örvarnar vísa upp þegar y > 2 og þegar y < 0. Þær vísa niður þegar 0 < y < 2. Því nær þessum línum sem örvarnar eru, þeim mun láréttari eru þær, og því fjær sem þær eru, þeim mun lóðréttari verða þær. Lausn er teiknuð sem fylgir línunni y = 2 í öðrum fjórðungi, fer um (0, 1) og fylgir síðan x-ásnum.

73.

$y = 0$ er stöðug jafnvægislausn en $y = 2$ er óstöðug jafnvægislausn

75.

Almenna lausnin er $y = e^{t} + C$ .

Stefnuvið yfir fjórum fjórðungum. Þegar t vex frá 0 og stefnir á óendanlegt verða örvarnar sífellt lóðréttari eftir að hafa verið láréttari nálægt x = 0.

77.

Almenna lausnin er $y = e^{t} (t - 1) + C$ .

Stefnuvið á bilinu [-2, 2] á báðum ásum. Örvarnar vísa lítillega niður og til hægri yfir [-2, 0] og verða smám saman lóðréttar yfir [0, 2].

79.

Stefnuvið með láréttum örvum sem vísa til hægri við y = 1 og y = -1. Örvarnar vísa upp þegar y < -1 og y > 1. Þær vísa niður þegar -1 < y < 1. Því nær þessum línum sem örvarnar eru, þeim mun láréttari eru þær, og því fjær sem þær eru, þeim mun lóðréttari verða þær.

81.

Stefnuvið þar sem örvarnar vísa niður og til hægri í nær öllum punktum á bilinu [-2, 2] á x- og y-ásunum. Nálægt upphafspunktinum verða örvarnar láréttari, vísa upp og til hægri, verða aftur láréttari og vísa síðan niður og til hægri á ný.

83.

Stefnuvið með láréttum örvum sem vísa til hægri á x-ásnum og við x = -3. Fyrir ofan x-ásinn og þegar x < -3 vísa örvarnar niður. Þegar x > -3 vísa þær upp. Fyrir neðan x-ásinn og þegar x < -3 vísa örvarnar upp. Þegar x > -3 vísa þær niður. Því fjær x-ásnum og x = -3 sem örvarnar eru, þeim mun lóðréttari verða þær, og því nær sem þær eru, þeim mun láréttari verða þær.

85.

87.

89.

91.

93.

95.

$2.24,$ nákvæmt gildi: $2$

97.

$7.739264,$ nákvæmt gildi: $5 (e - 1)$

99.

$−0.2535$ nákvæmt gildi: $0$

101.

$1.345,$ nákvæmt gildi: $\frac{1}{ln (2)}$

103.

$−4,$ nákvæmt gildi: $− 1 / 2$

105.

Stefnuvið með láréttum örvum sem vísa til hægri á x-ásnum og við y = 4. Örvarnar fyrir neðan x-ásinn og ofan y = 4 vísa niður og til hægri. Örvarnar milli x-ássins og y = 4 vísa upp og til hægri.

107.

$y' = 2 e^{t^{2} / 2}$

109.

$2$

111.

$3.2756$

113.

$2 \sqrt{e}$

Skrefstærð	Hlutfallsleg skekkja
h = 0.1	0.3935
h = 0.01	0.06163
h = 0.001	0.006612
h = 0.0001	0.0006661

115.

Stefnuvið með láréttum örvum sem vísa til hægri á x-ásnum. Fyrir ofan x-ásinn vísa örvarnar niður og til hægri. Fyrir neðan x-ásinn vísa þær upp og til hægri. Því nær x-ásnum sem örvarnar eru, þeim mun láréttari eru þær, og því fjær honum sem þær eru, þeim mun lóðréttari verða þær.

117.

$4.0741 e^{−10}$

Æfingar í kafla 4.3

119.

$y = e^{t} - 1$

121.

$y = 1 + C e^{− t}$

123.

$y = C x e^{−1 / x}$

125.

$y = \frac{1}{C - x^{2}}$

127.

$y = - \frac{2}{C + ln x}$

129.

$y = C e^{x} (x + 1) + 1$

131.

$y = sin (ln t + C)$

133.

$y = − ln (e^{− x})$

135.

$y = \frac{1}{\sqrt{2 - e^{x^{2}}}}$

137.

$y = {tanh}^{−1} (\frac{x^{2}}{2})$

139.

$x = sin (1 - t + t ln t)$

141.

$y = ln (ln (5)) - ln (2 - 5^{x})$

143.

$y = C e^{−2 x} + \frac{1}{2}$

Stefnuvið með láréttum örvum sem vísa til hægri við y = 0.5. Fyrir ofan 0.5 hallast örvarnar niður og til hægri og verða lóðréttari eftir því sem þær fjarlægjast y = 0.5. Fyrir neðan 0.5 hallast örvarnar upp og til hægri og verða lóðréttari eftir því sem þær fjarlægjast y = 0.5.

145.

$y = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{C - e^{x}}}$

Stefnuvið með örvum sem vísa til hægri. Þær eru láréttar á y-ásnum. Því fjær ásnum sem örvarnar eru, þeim mun lóðréttari verða þær. Þær vísa upp fyrir ofan x-ásinn og niður fyrir neðan hann.

147.

$y = C e^{− x} x^{x}$

Stefnuvið með örvum sem vísa til hægri. Örvarnar eru láréttar á y = 1. Því fjær línunni sem örvarnar eru, þeim mun meiri er halli þeirra. Þær vísa upp fyrir ofan línuna og niður fyrir neðan hana.

149.

$y = \frac{r}{d} (1 - e^{− d t})$

151.

$y (t) = 10 - 9 e^{− x / 50}$

153.

$134.3$ kílógrömm

155.

$720$ sekúndur

157.

$24$ klukkustundir og $57$ mínútur

159.

$T (t) = 20 + 50 e^{−0.125 t}$

161.

$T (t) = 20 + 38.5 e^{−0.125 t}$

163.

$y = (c + \frac{b}{a}) e^{a x} - \frac{b}{a}$

165.

$y (t) = c L + (I - c L) e^{− r t / L}$

167.

$y = 40 (1 - e^{−0.1 t}), 40$ g/cm²

Æfingar í kafla 4.4

169.

Stefnuvið með örvum sem vísa til hægri. Örvarnar eru láréttar eftir x-ásnum. Þær vísa niður bæði fyrir ofan og neðan x-ásinn. Því fjær x-ásnum sem örvarnar eru, þeim mun lóðréttari verða línustrikin.

$P = 0$ er hálfstöðug jafnvægislausn

171.

$P = \frac{10 e^{10 x}}{e^{10 x} + 4}$

173.

$P (t) = \frac{10000 e^{0.02 t}}{150 + 50 e^{0.02 t}}$

175.

$69$ klukkustundir og $5$ mínútur

177.

$8$ ár og $11$ mánuðir

179.

Stefnuvið þar sem örvarnar vísa niður þegar P < 1,000, upp þegar 1,000 < P < 8,500 og niður þegar P > 8,500. Rétt fyrir ofan P = 8,500 vísa örvarnar niður og til hægri.

181.

Stefnuvið með örvum sem vísa niður og til hægri. Umhverfis y = 4,000 eru örvarnar láréttari. Því fjær þessari línu sem örvarnar eru, þeim mun lóðréttari verða þær.

$P_{1}$ er hálfstöðug jafnvægislausn

183.

Stefnuvið með örvum sem vísa upp þegar P < 10,000 og niður þegar P > 10,000.

$P_{2} > 0$ er stöðug jafnvægislausn

185.

Stefnuvið með örvum sem vísa til hægri við P = 0. Fyrir neðan 0 vísa örvarnar niður og til hægri. Fyrir ofan 0 vísa þær niður og til hægri. Því fjær 0 sem örvarnar eru, þeim mun lóðréttari verða þær.

$P_{1} = 0$ er hálfstöðug jafnvægislausn

187.

$P (t) = \frac{3500}{(4 + 3 e^{- 035 t})}$

189.

Stefnuvið með láréttum örvum sem vísa til hægri á línunum y = 2 og y = 10. Þegar P < 2 vísa örvarnar niður og til hægri. Þegar 2 < P < 10 vísa þær upp og til hægri. Þegar P > 10 vísa þær niður og til hægri. Því fjær 2 og 10 sem örvarnar eru, þeim mun meiri verður halli þeirra, og því nær 2 og 10 sem þær eru, þeim mun láréttari verða þær.

191.

$P (t) = \frac{850 + 500 e^{0.009 t}}{85 + 5 e^{0.009 t}}$

193.

$13$ ár

195.

Stefnuvið með örvum sem vísa niður og til hægri þegar P < 0, upp þegar 0 < P < 1,000 og niður þegar P > 1,000. Því fjær P = 0 og P = 1,000 sem örvarnar eru, þeim mun lóðréttari verða þær, og því nær sem þær eru, þeim mun láréttari eru þær.

197.

$31.465$ dagar

199.

september $2008$

201.

$\frac{K + T}{2}$

203.

$r = 0.0405$

205.

$α = 0.0081$

207.

Lógistísk jafna: $361,$ Lógistísk jafna með þröskuldsstofni: $436,$ Gompertz-jafna: $309 .$

Æfingar í kafla 4.5

209.

Já

211.

Já

213.

$y' - x^{3} y = sin x$

215.

$y' + \frac{(3 x + 2)}{x} y = − e^{x}$

217.

$\frac{d y}{d t} - y x (x + 1) = 0$

219.

$e^{(e^{x})}$

221.

$− ln (cosh x)$

223.

$y = C e^{3 x} - \frac{2}{3}$

225.

$y = C x^{3} + 6 x^{2}$

227.

$y = C e^{x^{2} / 2} - 3$

229.

$y = C tan (\frac{x}{2}) - 2 x + 4 tan (\frac{x}{2}) ln (sin (\frac{x}{2}))$

231.

$y = C x^{3} - x^{2}$

233.

$y = C {(x + 2)}^{2} + \frac{1}{2}$

235.

$y = \frac{C}{\sqrt{x}} + 2 sin (3 t)$

237.

$y = C {(x + 1)}^{3} - x^{2} - 2 x - 1$

239.

$y = C e^{{sinh}^{−1} x} - 2$

241.

$y = x + 4 e^{–x} - 1$

243.

$y = - \frac{3 x}{2} (x^{2} - 1)$

245.

$y = 1 - e^{{tan}^{−1} x}$

247.

$y = (x + 2) ln (\frac{x + 2}{2})$

249.

$y = 2 e^{2 \sqrt{x}} - 2 x - 2 \sqrt{x} - 1$

251.

$v (t) = \frac{g m}{k} (1 - e^{− k t / m})$

253.

$40.451$ sekúndur

255.

$\sqrt{\frac{g m}{k}}$

257.

$y = C e^{x} - a (x + 1)$

259.

$y = C e^{x^{2} / 2} - a$

261.

$y = \frac{e^{k t} - e^{t}}{k - 1}$

Upprifjunaræfingar

263.

265.

267.

$y (x) = \frac{2^{x}}{ln (2)} + x {cos}^{−1} x - \sqrt{1 - x^{2}} + C$

269.

$y (x) = ln (C - cos x)$

271.

$y (x) = e^{e^{C + x}}$

273.

$y (x) = 4 + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x - sin x$

275.

$y (x) = - \frac{2}{1 + 3 (x^{2} + 2 sin x)}$

277.

$y (x) = −2 x^{2} - 2 x - \frac{1}{3} - \frac{2}{3} e^{3 x}$

279.

Stefnuvið með örvum sem vísa upp og til hægri eftir lograferli sem stefnir á neikvætt óendanlegt þegar x stefnir á núll og vex þegar x stefnir á óendanlegt.

$y (x) = C e^{− x} + ln x$

281.

Aðferð Eulers: $0.6939,$ nákvæm lausn: $y (x) = \frac{3^{x} - e^{−2 x}}{2 + ln (3)}$

283.

$\frac{40}{49}$ úr sekúndu

285.

$x (t) = 5000 + \frac{245}{9} - \frac{49}{3} t - \frac{245}{9} e^{− 5 / 3 t}, t = 307.8$ sekúndur

287.

$T (t) = 200 (1 - e^{− t / 1000})$

289.

$P (t) = \frac{1600000 e^{0.02 t}}{9840 + 160 e^{0.02 t}}$