Svarlykill

Kafli 2

Stöðumat

2.1.

$12$ einingar ²

2.2.

$\frac{3}{10}$ eining ²

2.3.

$2 + 2 \sqrt{2}$ einingar ²

2.4.

$\frac{5}{3}$ einingar ²

2.5.

$\frac{5}{3}$ einingar ²

2.7.

$\frac{π}{2}$

2.8.

$8 π$ einingar ³

2.9.

$21 π$ einingar ³

2.10.

$\frac{10 π}{3}$ einingar ³

2.11.

$60 π$ einingar ³

2.12.

$\frac{15 π}{2}$ einingar ³

2.13.

$8 π$ einingar ³

2.14.

$12 π$ einingar ³

2.15.

$\frac{11 π}{6}$ einingar ³

2.16.

$\frac{π}{6}$ einingar ³

2.17.

Notið hringkragaaðferðina; $V = \int_{−1}^{1} π [{(2 - x^{2})}^{2} - {(x^{2})}^{2}] d x$

2.18.

$\frac{1}{6} (5 \sqrt{5} - 1) \approx 1.697$

2.19.

$Bogalengd \approx 3.8202$

2.20.

$Bogalengd = 3.15018$

2.21.

$\frac{π}{6} (5 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}) \approx 3.133$

2.22.

$12 π$

2.23.

$70 / 3$

2.24.

$24 π$

2.25.

$8$ ft-lb

2.26.

Um það bil $43,255.2$ ft-lb

2.27.

$156,800$ N

2.28.

Um það bil 7,164,520,000 lb eða 3,582,260 t

2.29.

$M = 24, \bar{x} = \frac{2}{5} m$

2.30.

$(−1, −1)$ m

2.31.

Þungamiðja svæðisins er $(3 / 2, 6 / 5) .$

2.32.

Þungamiðja svæðisins er $(1, 13 / 5) .$

2.33.

Þungamiðja svæðisins er $(0, 2 / 5) .$

2.34.

$6 π^{2}$ einingar ³

2.35.

$\frac{d}{d x} ln (2 x^{2} + x) = \frac{4 x + 1}{2 x^{2} + x}$
$\frac{d}{d x} {(ln (x^{3}))}^{2} = \frac{6 ln (x^{3})}{x}$

2.36.

$\int \frac{x^{2}}{x^{3} + 6} d x = \frac{1}{3} ln | x^{3} + 6 | + C$

2.37.

$4 ln 2$

2.38.

$\frac{d}{d x} (\frac{e^{x^{2}}}{e^{5 x}}) = e^{x^{2} - 5 x} (2 x - 5)$
$\frac{d}{d t} {(e^{2 t})}^{3} = 6 e^{6 t}$

2.39.

$\int \frac{4}{e^{3 x}} d x = - \frac{4}{3} e^{−3 x} + C$

2.40.

$\frac{d}{d t} 4^{t^{4}} = 4^{t^{4}} (ln 4) (4 t^{3})$
$\frac{d}{d x} {log}_{3} (\sqrt{x^{2} + 1}) = \frac{x}{(ln 3) (x^{2} + 1)}$

2.41.

$\int x^{2} 2^{x^{3}} d x = \frac{1}{3 ln 2} 2^{x^{3}} + C$

2.42.

Í stofninum eru $81,377,396$ bakteríur eftir $4$ klukkustundir. Stofninn nær $100$ milljónum baktería eftir $244.12$ mínútur.

2.43.

Við $5 %$ vexti þarf hún að fjárfesta $$ 223,130.16 .$ Við $6 %$ vexti þarf hún að fjárfesta $$ 165,298.89 .$

2.44.

$38.90$ mánuðir

2.45.

Kaffið hefur fyrst kólnað nægilega til framreiðslu um $3.5$ mínútum eftir að því er hellt upp á. Það verður of kalt til að bera það fram um $7$ mínútum eftir að því er hellt upp á.

2.46.

Alls eru $94.13$ g af kolefni eftir. Gripurinn er um það bil $13,300$ ára gamall.

2.47.

$\frac{d}{d x} (tanh (x^{2} + 3 x)) = ({sech}^{2} (x^{2} + 3 x)) (2 x + 3)$
$\frac{d}{d x} (\frac{1}{{(sinh x)}^{2}}) = \frac{d}{d x} {(sinh x)}^{−2} = −2 {(sinh x)}^{−3} cosh x$

2.48.

$\int {sinh}^{3} x cosh x d x = \frac{{sinh}^{4} x}{4} + C$
$\int {sech}^{2} (3 x) d x = \frac{tanh (3 x)}{3} + C$

2.49.

$\frac{d}{d x} ({cosh}^{−1} (3 x)) = \frac{3}{\sqrt{9 x^{2} - 1}}$
$\frac{d}{d x} {({coth}^{−1} x)}^{3} = \frac{3 {({coth}^{−1} x)}^{2}}{1 - x^{2}}$

2.50.

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x = {cosh}^{−1} (\frac{x}{2}) + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} d x = − {sech}^{−1} (e^{x}) + C$

2.51.

$52.95 ft$

Æfingar í kafla 2.1

$\frac{32}{3}$

$\frac{13}{12}$

$36$

Myndin sýnir gröf fallanna f(x) = x^2 og g(x) = −x^2 + 18x. Svæðið milli grafanna er skyggt; það afmarkast að ofan af g(x) og að neðan af f(x) og liggur í fyrsta fjórðungi.

243 flatarmálseiningar

Myndin sýnir gröf fallanna y = cos(x) og y = cos²(x). Gröfin eru lotubundin og bylgjulaga. Skurðpunktar ferlanna mynda fjögur skyggð svæði.

11.

Myndin sýnir gröf fallanna f(x) = e^x og g(x) = e^(−x). Tvö svæði eru skyggð. Í öðrum fjórðungi afmarkast svæðið af x = −1, g(x) að ofan og f(x) að neðan. Seinna svæðið er í fyrsta fjórðungi og afmarkast af f(x) að ofan, g(x) að neðan og x = 1.

$\frac{2 {(e - 1)}^{2}}{e}$

13.

Myndin sýnir gröf fallanna f(x) = x^2 og g(x) = algildi x. Tvö svæði eru skyggð. Fyrra svæðið er í öðrum fjórðungi, milli g(x) að ofan og f(x) að neðan. Seinna svæðið er í fyrsta fjórðungi og afmarkast að ofan af g(x) og að neðan af f(x).

$\frac{1}{3}$

15.

Myndin sýnir gröfin f(x) = kvaðratrót x, y=12 − x og y=1. Skyggða svæðið afmarkast að ofan og vinstra megin af f(x), að ofan og hægra megin af línunni y=12 − x og að neðan af línunni y=1. Svæðið liggur í fyrsta fjórðungi.

$\frac{34}{3}$

17.

Myndin sýnir gröf fallanna f(x) = x^3 og g(x) = x^2 − 2x. Tvö svæði milli grafanna eru skyggð. Fyrra svæðið afmarkast vinstra megin af línunni x = −2, að ofan af g(x) og að neðan af f(x). Seinna svæðið afmarkast að ofan af f(x), að neðan af g(x) og hægra megin af línunni x=2.

$\frac{5}{2}$

19.

Myndin sýnir gröf fallanna f(x) = x^3 + 3x og g(x) = 4x. Tvö svæði milli grafanna eru skyggð. Fyrra svæðið afmarkast að ofan af f(x) og að neðan af g(x). Seinna svæðið afmarkast að ofan af g(x) og að neðan af f(x).

$\frac{1}{2}$

21.

Myndin sýnir gröf jafnanna x = 2y og x = y³ − y. Gröfin skerast í þriðja og fyrsta fjórðungi og mynda tvö lokuð svæði á milli sín.

$\frac{9}{2}$

23.

Myndin sýnir gröf jafnanna x=y + 2 og y^2 = x. Gröfin skerast og mynda afmarkað svæði á milli sín.

$\frac{9}{2}$

25.

Myndin sýnir gröf jafnanna x=cos(y) og x=sin(y). Gröfin skerast og mynda tvö svæði sem afmarkast að ofan af línunni y=π/2 og að neðan af línunni y = −π/2.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

27.

Myndin sýnir gröf jafnanna y = xe^x og y = e^x. Gröfin skerast og mynda afmarkað svæði á milli sín í fyrsta fjórðungi.

$e −2$

29.

Myndin sýnir gröf jafnanna x = −y² + 1 og x = y³ + 2y². Gröfin skerast og mynda tvö afmörkuð svæði á milli sín.

$\frac{27}{4}$

31.

Myndin sýnir gröf jafnanna y=4 − 3x og y=1/x. Gröfin skerast og svæðið milli þeirra er skyggt. Svæðið liggur í fyrsta fjórðungi.

$\frac{4}{3} - ln (3)$

33.

Myndin sýnir gröf jafnanna y = x² − 3x + 2 og y = x³ − 2x² − x + 2. Gröfin skerast og svæðið á milli þeirra er skyggt.

$\frac{1}{2}$

35.

Myndin sýnir gröf jafnanna 2y = x og y + y³ = x. Gröfin skerast og mynda tvö skyggð svæði.

$\frac{1}{2}$

37.

Myndin sýnir gröf jafnanna y=arccos(x) og y=arcsin(x). Gröfin skerast og mynda tvö skyggð svæði. Fyrra svæðið afmarkast vinstra megin af x = −1 og seinna svæðið hægra megin af x=1.

$−2 (\sqrt{2} - π)$

39.

$1.067$

41.

$1.605$

43.

$7.523$

45.

$\frac{3 π - 4}{12}$

47.

$1.429$

49.

$$ 33,333.33$ í heildarhagnað af sölu $200$ farsíma

51.

$3.32$ mílur tákna hversu langt hérinn er kominn fram úr skjaldbökunni

53.

$\frac{343}{24}$

55.

$4 \sqrt{3}$

57.

$π - \frac{32}{25}$

Æfingar í kafla 2.2

63.

8 einingar ³

65.

$\frac{32}{3 \sqrt{2}}$ einingar ³

67.

$\frac{7}{24} π r^{2} h$ einingar ³

69.

Myndin sýnir x- og y-ás og línustrik sem hefst á x-ásnum í (1,0) og endar á y-ásnum í (0,1). Hornrétt á xy-sléttuna standa 4 skyggðir hálfhringir. Þvermál þeirra liggja frá x-ásnum að línustrikinu og hálfhringirnir minnka eftir því sem fjær dregur upphafspunktinum.

$\frac{π}{24}$ einingar ³

71.

Myndin sýnir x- og y-ás í þrívíðu fjarvíddarsniði. Ofan x-ássins er fleygbogi með topppunkt í (0,1) og skurðpunkta við x-ásinn í (−1,0) og (1,0). Hornrétt á xy-sléttuna standa 3 skyggðir ferningar sem snerta fleygbogann báðum megin og minnka eftir því sem fjær dregur upphafspunktinum.

$2$ einingar ³

73.

Myndin sýnir graf með x- og y-ásana skásetta til að gefa þrívítt sjónarhorn. Í fyrsta fjórðungi eru línan y = x og fleygboginn y = x². Þau skerast í upphafspunktinum og í (1, 1). Nokkur skyggð hálfhringlaga þversnið standa hornrétt á xy-sléttuna, ná frá fleygboganum að línunni og eru hornrétt á línuna.

$\frac{π}{240}$ einingar ³

75.

Myndin sýnir skyggt svæði í fyrsta fjórðungi. Það afmarkast að ofan af ferlinum y = 2x², að neðan af x-ásnum og hægra megin af línunni x = 4.

$\frac{4096 π}{5}$ einingar ³

77.

Myndin sýnir skyggt svæði í fyrsta fjórðungi. Það afmarkast að ofan af línunni y = 1, að neðan af ferlinum y = x⁴ og vinstra megin af y-ásnum.

$\frac{8 π}{9}$ einingar ³

79.

Myndin sýnir skyggt svæði sem afmarkast að ofan af ferlinum y=cos(x), að neðan vinstra megin af y-ásnum og að neðan hægra megin af y=sin(x). Svæðið liggur í fyrsta fjórðungi.

$\frac{π}{2}$ einingar ³

81.

Myndin sýnir skyggt svæði í fyrsta fjórðungi. Það afmarkast að ofan af línunni x + y = 9, að neðan af x-ásnum, vinstra megin af y-ásnum og hægra megin af ferlinum x^2 − y^2 = 9.

$207 π$ einingar ³

83.

Myndin sýnir skyggt svæði í fyrsta fjórðungi. Það afmarkast að ofan af ferlinum y = 2x³, að neðan af x-ásnum og hægra megin af línunni x = 1.

$\frac{4 π}{5}$ einingar ³

85.

Myndin sýnir fyrsta fjórðung og hringfjórðung með miðju í upphafspunktinum og geisla 2. Hringfjórðungurinn er skyggður.

$\frac{16 π}{3}$ einingar ³

87.

Myndin sýnir skyggt svæði í fyrsta fjórðungi. Það afmarkast að ofan af línunni y=π/4, hægra megin af ferlinum x=sec(y), að neðan af x-ásnum og vinstra megin af y-ásnum.

$π$ einingar ³

89.

Myndin sýnir skyggðan þríhyrning í fyrsta fjórðungi. Hann afmarkast að ofan af línunni y=4 − x, að neðan af línunni y=x og vinstra megin af y-ásnum.

$\frac{16 π}{3}$ einingar ³

91.

Myndin sýnir skyggt svæði ofan x-ássins sem afmarkast að ofan af línunni y = x + 2 og að neðan af fleygboganum y = x².

$\frac{72 π}{5}$ einingar ³

93.

Myndin sýnir skyggt svæði sem afmarkast að ofan af ferlinum y=4 − x^2 og að neðan af línunni y=2 − x.

$\frac{108 π}{5}$ einingar ³

95.

Myndin sýnir skyggt svæði í fyrsta fjórðungi sem afmarkast að ofan af ferlinum y = √x og að neðan af ferlinum y = x².

$\frac{3 π}{10}$ einingar ³

97.

Myndin sýnir skyggt svæði sem afmarkast að ofan af ferlinum y = √(4 − x²) og að neðan af ferlinum y = √(1 + x²).

$2 \sqrt{6} π$ einingar ³

99.

Myndin sýnir skyggt svæði í fyrsta fjórðungi. Það afmarkast að ofan af línunni y=x + 2, að neðan af línunni y = 2x − 1 og vinstra megin af y-ásnum.

$9 π$ einingar ³

101.

Myndin sýnir skyggt svæði í fyrsta fjórðungi. Það afmarkast að ofan af ferlinum y = ln(2), að neðan af x-ásnum, vinstra megin af ferlinum x = y² og hægra megin af ferlinum x = e^(2y).

$\frac{π}{20} (75 - 4 {ln}^{5} (2))$ einingar ³

103.

$\frac{m^{2} π}{3} (b^{3} - a^{3})$ einingar ³

105.

$\frac{4 a^{2} b π}{3}$ einingar ³

107.

$2 π^{2}$ einingar ³

109.

$\frac{2 a b^{2} π}{3}$ einingar ³

111.

$V = \frac{2 π}{3} (2 r + h) {(r - h)}^{2}$ einingar ³

113.

$\frac{π}{3} (h + R) {(h - 2 R)}^{2}$ einingar ³

Æfingar í kafla 2.3

115.

Myndin sýnir línuna y = 3x í fyrsta fjórðungi. Svæðið undir línunni og ofan x-ássins er skyggt og afmarkast hægra megin við x=3.

$54 π$ einingar ³

117.

$81 π$ einingar ³

119.

Myndin sýnir vaxandi ferilinn y = 2x³ í fyrsta fjórðungi. Svæðið undir ferlinum og ofan x-ássins er skyggt og afmarkast hægra megin af x = 2.

$\frac{512 π}{7}$ einingar ³

121.

$2 π$ einingar ³

123.

$\frac{2 π}{3}$ einingar ³

125.

$2 π$ einingar ³

127.

$\frac{4 π}{5}$ einingar ³

129.

$\frac{64 π}{3}$ einingar ³

131.

$\frac{32 π}{5}$ einingar ³

133.

$\frac{7 π}{6}$

135.

$48 π$

137.

$\frac{308 π}{5}$

139.

$\frac{512 π}{7}$

141.

$\frac{8 π}{5}$

143.

$\frac{28 π}{15}$ einingar ³

145.

$\frac{3 π}{10}$ einingar ³

147.

$π (\frac{6 \cdot 2^{2 / 3}}{5} - \frac{11}{10}) = \frac{π}{10} (12 \cdot 2^{2 / 3} - 11) \approx 2.5286$ einingar ³

149.

$0.9876$ einingar ³

151.

Myndin sýnir tvo lotubundna, bylgjulaga ferla, y=cos(πx) og y=sin(πx). Ferillarnir skerast í fyrsta og fjórða fjórðungi og svæðið milli skurðpunktanna er skyggt.

$3 \sqrt{2}$ einingar ³

153.

Myndin sýnir fleygbogann y = x² − 2x í fyrsta fjórðungi. Svæðið undir ferlinum og ofan x-ássins er skyggt frá x = 2 til x = 4.

$\frac{496 π}{15}$ einingar ³

155.

Myndin sýnir ferlana y = 3x² − 2 og y = x í fyrsta fjórðungi. Svæðið milli ferlanna er skyggt frá x = 1 til x = 2.

$\frac{398 π}{15}$ einingar ³

157.

Myndin sýnir tvo fleygboga sem opnast til hægri, x = y² − 2y + 1 og x = y². Svæðið milli ferlanna er skyggt og afmarkast hægra megin af x = 2.

$15.9074$ einingar ³

159.

$\frac{1}{3} π r^{2} h$ einingar ³

161.

$π r^{2} h$ einingar ³

163.

$π a^{2}$ einingar ³

Æfingar í kafla 2.4

165.

$2 \sqrt{26}$

167.

$2 \sqrt{17}$

169.

$\frac{π}{6} (17 \sqrt{17} - 5 \sqrt{5})$

171.

$\frac{13 \sqrt{13} - 8}{27}$

173.

$\frac{4}{3}$

175.

$2.0035$

177.

$\frac{123}{32}$

179.

$10$

181.

$\frac{20}{3}$

183.

$\frac{1}{675} (229 \sqrt{229} - 8)$

185.

$\frac{1}{8} (4 \sqrt{5} + ln (9 + 4 \sqrt{5}))$

187.

$1.201$

189.

$15.2341$

191.

$\frac{49 π}{3}$

193.

$70 π \sqrt{2}$

195.

$8 π$

197.

$120 π \sqrt{26}$

199.

$\frac{π}{6} (17 \sqrt{17} - 1)$

201.

$9 \sqrt{2} π$

203.

$\frac{10 \sqrt{10} π}{27} (73 \sqrt{73} - 1)$

205.

$25.645$

207.

$π (2 + π)$

209.

$10.5017$

211.

$24$ fet

213.

$2$

215.

Svör eru breytileg.

217.

Frekari upplýsingar má finna með því að leita að lúðri Gabríels.

Æfingar í kafla 2.5

219.

$150$ ft-lb

221.

$200 J$

223.

$1$ J

225.

$\frac{39}{2}$

227.

$ln (243)$

229.

$\frac{332 π}{15}$

231.

$100 π$

233.

$20 π \sqrt{15}$

235.

$6$ J

237.

$5$ cm

239.

$36$ J

241.

$18,750$ ft-lb

243.

Þyngd $= \frac{32}{3} \times 10^{9} lb$

Vinna $= \frac{4}{3} \times 10^{12} ft-lb$

245.

$9.71 \times 10^{8} N m$

247.

a. $3,000,000$ lb, b. $750,000$ lb

249.

$23.25 π$ milljón ft-lb

251.

$\frac{A ρ H^{2}}{2}$

253.

Svör eru breytileg.

Æfingar í kafla 2.6

255.

$\frac{5}{4}$

257.

$(\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

259.

$(\frac{7}{4}, \frac{3}{2})$

261.

$\frac{3 L}{4}$

263.

$\frac{π}{2}$

265.

$\frac{e^{2} + 1}{e^{2} - 1}$

267.

$\frac{π^{2} - 4}{π}$

269.

$\frac{1}{4} (1 + e^{2})$

271.

$(\frac{a}{3}, \frac{b}{3})$

273.

$(0, \frac{π}{8})$

275.

$(0, 3)$

277.

$(0, \frac{4}{π})$

279.

$(\frac{5}{8}, \frac{1}{3})$

281.

$\frac{2 m π}{3}$

283.

$π a^{2} b$

285.

$(\frac{4}{3 π}, \frac{4}{3 π})$

287.

$(\frac{1}{2}, \frac{2}{5})$

289.

$(0, \frac{28}{9 π})$

291.

Massamiðja: $(\frac{3 a}{8}, \frac{2 a^{2}}{5}),$ rúmmál: $\frac{π a^{4}}{2}$

293.

Rúmmál: $2 π^{2} a^{2} (b + a)$

Æfingar í kafla 2.7

295.

$\frac{1}{x}$

297.

$- \frac{1}{x {(ln x)}^{2}}$

299.

$ln (x + 1) + C$

301.

$ln (x) + 1$

303.

$cot (x)$

305.

$\frac{7}{x}$

307.

$csc (x) sec x$

309.

$−2 tan x$

311.

$\frac{1}{2} ln (\frac{5}{3})$

313.

$2 - \frac{1}{2} ln (5)$

315.

$\frac{1}{ln (2)} - 1$

317.

$\frac{1}{2} ln (2)$

319.

$\frac{1}{3} {(ln x)}^{3}$

321.

$\frac{2 x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} - 1}}$

323.

$x^{−2 - (1 / x)} (ln x - 1)$

325.

$e x^{e - 1}$

327.

$1$

329.

$- \frac{1}{x^{2}}$

331.

$π - ln (2)$

333.

$\frac{1}{x}$

335.

$e^{5} - 6 {einingar}^{2}$

337.

$ln (4) - 1 {einingar}^{2}$

339.

$2.8656$

341.

$3.1502$

Æfingar í kafla 2.8

349.

Satt

351.

Satt; $k = \frac{ln (2)}{t}$

353.

$20$ klukkustundir

355.

Nei. Minjagripurinn er um það bil $871$ ára gamall.

357.

$73$ ár

359.

$5$ dagar, $6$ klukkustundir og $27$ mínútur

361.

$12$

363.

$8.618 %$

365.

$$ 6766.76$

367.

$9$ klukkustundir og $13$ mínútur

369.

$239,179$ ár

371.

$P' (t) = 43 e^{0.01604 t} .$ Stofninn stækkar stöðugt.

373.

Mannfjöldinn nær $10$ milljörðum árið $2032 .$

375.

$P' (t) = 2.259 e^{0.06407 t} .$ Stofninn stækkar stöðugt.

Æfingar í kafla 2.9

377.

$e^{x} og e^{− x}$

379.

Svör eru breytileg.

381.

Svör eru breytileg.

383.

Svör eru breytileg.

385.

$3 sinh (3 x + 1)$

387.

$− tanh (x) sech (x)$

389.

$4 cosh (x) sinh (x)$

391.

$\frac{x {sech}^{2} (\sqrt{x^{2} + 1})}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

393.

$6 {sinh}^{5} (x) cosh (x)$

395.

$\frac{1}{2} sinh (2 x + 1) + C$

397.

$\frac{1}{2} sinh (x^{2}) + C$

399.

$\frac{1}{3} {cosh}^{3} (x) + C$

401.

$ln (1 + cosh (x)) + C$

403.

$cosh (x) + sinh (x) + C$

405.

$\frac{4}{1 - 16 x^{2}}$

407.

$\frac{sinh (x)}{\sqrt{{cosh}^{2} (x) + 1}}$

409.

$− csc (x)$

411.

$- \frac{1}{(x^{2} - 1) {tanh}^{−1} (x)}$

413.

$\frac{1}{a} {tanh}^{−1} (\frac{x}{a}) + C$

415.

$\sqrt{x^{2} + 1} + C$

417.

${cosh}^{−1} (e^{x}) + C$

419.

Svör eru breytileg.

421.

$37.30$

423.

$y = \frac{1}{c} cosh (c x)$

425.

$−0.521095$

427.

$10$

Upprifjunaræfingar

435.

Ósatt

437.

Ósatt

439.

$16 \sqrt{3} {einingar}^{3}$

441.

$\frac{162 π}{5}$

443.

a. $4,$ b. $\frac{128 π}{7},$ c. $\frac{64 π}{5}$

445.

a. $1.949,$ b. $21.952,$ c. $17.099$

447.

a. $\frac{31}{6},$ b. $\frac{452 π}{15},$ c. $\frac{31 π}{6}$

449.

$π ln 17$

451.

Massi: $\frac{1}{2},$ massamiðja: $(\frac{18}{35}, \frac{9}{22})$

453.

$\sqrt{17} + \frac{1}{8} ln (33 + 8 \sqrt{17})$

455.

Rúmmál: $\frac{3 π}{4},$ yfirborðsflatarmál: $π (\sqrt{2} - {sinh}^{−1} (1) + {sinh}^{−1} (16) - \frac{\sqrt{257}}{16})$

457.

11:02 a.m.

459.

$π (1 + sinh (1) cosh (1))$

Svarlykill

Kafli 2

Stöðumat

2.1.

$12$ einingar ²

2.2.

$\frac{3}{10}$ eining ²

2.3.

$2 + 2 \sqrt{2}$ einingar ²

2.4.

$\frac{5}{3}$ einingar ²

2.5.

$\frac{5}{3}$ einingar ²

2.7.

$\frac{π}{2}$

2.8.

$8 π$ einingar ³

2.9.

$21 π$ einingar ³

2.10.

$\frac{10 π}{3}$ einingar ³

2.11.

$60 π$ einingar ³

2.12.

$\frac{15 π}{2}$ einingar ³

2.13.

$8 π$ einingar ³

2.14.

$12 π$ einingar ³

2.15.

$\frac{11 π}{6}$ einingar ³

2.16.

$\frac{π}{6}$ einingar ³

2.17.

Notið hringkragaaðferðina; $V = \int_{−1}^{1} π [{(2 - x^{2})}^{2} - {(x^{2})}^{2}] d x$

2.18.

$\frac{1}{6} (5 \sqrt{5} - 1) \approx 1.697$

2.19.

$Bogalengd \approx 3.8202$

2.20.

$Bogalengd = 3.15018$

2.21.

$\frac{π}{6} (5 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}) \approx 3.133$

2.22.

$12 π$

2.23.

$70 / 3$

2.24.

$24 π$

2.25.

$8$ ft-lb

2.26.

Um það bil $43,255.2$ ft-lb

2.27.

$156,800$ N

2.28.

Um það bil 7,164,520,000 lb eða 3,582,260 t

2.29.

$M = 24, \bar{x} = \frac{2}{5} m$

2.30.

$(−1, −1)$ m

2.31.

Þungamiðja svæðisins er $(3 / 2, 6 / 5) .$

2.32.

Þungamiðja svæðisins er $(1, 13 / 5) .$

2.33.

Þungamiðja svæðisins er $(0, 2 / 5) .$

2.34.

$6 π^{2}$ einingar ³

2.35.

$\frac{d}{d x} ln (2 x^{2} + x) = \frac{4 x + 1}{2 x^{2} + x}$
$\frac{d}{d x} {(ln (x^{3}))}^{2} = \frac{6 ln (x^{3})}{x}$

2.36.

$\int \frac{x^{2}}{x^{3} + 6} d x = \frac{1}{3} ln | x^{3} + 6 | + C$

2.37.

$4 ln 2$

2.38.

$\frac{d}{d x} (\frac{e^{x^{2}}}{e^{5 x}}) = e^{x^{2} - 5 x} (2 x - 5)$
$\frac{d}{d t} {(e^{2 t})}^{3} = 6 e^{6 t}$

2.39.

$\int \frac{4}{e^{3 x}} d x = - \frac{4}{3} e^{−3 x} + C$

2.40.

$\frac{d}{d t} 4^{t^{4}} = 4^{t^{4}} (ln 4) (4 t^{3})$
$\frac{d}{d x} {log}_{3} (\sqrt{x^{2} + 1}) = \frac{x}{(ln 3) (x^{2} + 1)}$

2.41.

$\int x^{2} 2^{x^{3}} d x = \frac{1}{3 ln 2} 2^{x^{3}} + C$

2.42.

Í stofninum eru $81,377,396$ bakteríur eftir $4$ klukkustundir. Stofninn nær $100$ milljónum baktería eftir $244.12$ mínútur.

2.43.

Við $5 %$ vexti þarf hún að fjárfesta $$ 223,130.16 .$ Við $6 %$ vexti þarf hún að fjárfesta $$ 165,298.89 .$

2.44.

$38.90$ mánuðir

2.45.

2.46.

Alls eru $94.13$ g af kolefni eftir. Gripurinn er um það bil $13,300$ ára gamall.

2.47.

$\frac{d}{d x} (tanh (x^{2} + 3 x)) = ({sech}^{2} (x^{2} + 3 x)) (2 x + 3)$
$\frac{d}{d x} (\frac{1}{{(sinh x)}^{2}}) = \frac{d}{d x} {(sinh x)}^{−2} = −2 {(sinh x)}^{−3} cosh x$

2.48.

$\int {sinh}^{3} x cosh x d x = \frac{{sinh}^{4} x}{4} + C$
$\int {sech}^{2} (3 x) d x = \frac{tanh (3 x)}{3} + C$

2.49.

$\frac{d}{d x} ({cosh}^{−1} (3 x)) = \frac{3}{\sqrt{9 x^{2} - 1}}$
$\frac{d}{d x} {({coth}^{−1} x)}^{3} = \frac{3 {({coth}^{−1} x)}^{2}}{1 - x^{2}}$

2.50.

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x = {cosh}^{−1} (\frac{x}{2}) + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} d x = − {sech}^{−1} (e^{x}) + C$

2.51.

$52.95 ft$

Æfingar í kafla 2.1

$\frac{32}{3}$

$\frac{13}{12}$

$36$

243 flatarmálseiningar

11.

$\frac{2 {(e - 1)}^{2}}{e}$

13.

$\frac{1}{3}$

15.

$\frac{34}{3}$

17.

$\frac{5}{2}$

19.

$\frac{1}{2}$

21.

$\frac{9}{2}$

23.

$\frac{9}{2}$

25.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

27.

$e −2$

29.

$\frac{27}{4}$

31.

$\frac{4}{3} - ln (3)$

33.

$\frac{1}{2}$

35.

$\frac{1}{2}$

37.

$−2 (\sqrt{2} - π)$

39.

$1.067$

41.

$1.605$

43.

$7.523$

45.

$\frac{3 π - 4}{12}$

47.

$1.429$

49.

$$ 33,333.33$ í heildarhagnað af sölu $200$ farsíma

51.

$3.32$ mílur tákna hversu langt hérinn er kominn fram úr skjaldbökunni

53.

$\frac{343}{24}$

55.

$4 \sqrt{3}$

57.

$π - \frac{32}{25}$

Æfingar í kafla 2.2

63.

8 einingar ³

65.

$\frac{32}{3 \sqrt{2}}$ einingar ³

67.

$\frac{7}{24} π r^{2} h$ einingar ³

69.

$\frac{π}{24}$ einingar ³

71.

$2$ einingar ³

73.

$\frac{π}{240}$ einingar ³

75.

$\frac{4096 π}{5}$ einingar ³

77.

$\frac{8 π}{9}$ einingar ³

79.

$\frac{π}{2}$ einingar ³

81.

$207 π$ einingar ³

83.

$\frac{4 π}{5}$ einingar ³

85.

$\frac{16 π}{3}$ einingar ³

87.

$π$ einingar ³

89.

$\frac{16 π}{3}$ einingar ³

91.

$\frac{72 π}{5}$ einingar ³

93.

$\frac{108 π}{5}$ einingar ³

95.

$\frac{3 π}{10}$ einingar ³

97.

$2 \sqrt{6} π$ einingar ³

99.

$9 π$ einingar ³

101.

$\frac{π}{20} (75 - 4 {ln}^{5} (2))$ einingar ³

103.

$\frac{m^{2} π}{3} (b^{3} - a^{3})$ einingar ³

105.

$\frac{4 a^{2} b π}{3}$ einingar ³

107.

$2 π^{2}$ einingar ³

109.

$\frac{2 a b^{2} π}{3}$ einingar ³

111.

$V = \frac{2 π}{3} (2 r + h) {(r - h)}^{2}$ einingar ³

113.

$\frac{π}{3} (h + R) {(h - 2 R)}^{2}$ einingar ³

Æfingar í kafla 2.3

115.

$54 π$ einingar ³

117.

$81 π$ einingar ³

119.

$\frac{512 π}{7}$ einingar ³

121.

$2 π$ einingar ³

123.

$\frac{2 π}{3}$ einingar ³

125.

$2 π$ einingar ³

127.

$\frac{4 π}{5}$ einingar ³

129.

$\frac{64 π}{3}$ einingar ³

131.

$\frac{32 π}{5}$ einingar ³

133.

$\frac{7 π}{6}$

135.

$48 π$

137.

$\frac{308 π}{5}$

139.

$\frac{512 π}{7}$

141.

$\frac{8 π}{5}$

143.

$\frac{28 π}{15}$ einingar ³

145.

$\frac{3 π}{10}$ einingar ³

147.

$π (\frac{6 \cdot 2^{2 / 3}}{5} - \frac{11}{10}) = \frac{π}{10} (12 \cdot 2^{2 / 3} - 11) \approx 2.5286$ einingar ³

149.

$0.9876$ einingar ³

151.

$3 \sqrt{2}$ einingar ³

153.

$\frac{496 π}{15}$ einingar ³

155.

$\frac{398 π}{15}$ einingar ³

157.

$15.9074$ einingar ³

159.

$\frac{1}{3} π r^{2} h$ einingar ³

161.

$π r^{2} h$ einingar ³

163.

$π a^{2}$ einingar ³

Æfingar í kafla 2.4

165.

$2 \sqrt{26}$

167.

$2 \sqrt{17}$

169.

$\frac{π}{6} (17 \sqrt{17} - 5 \sqrt{5})$

171.

$\frac{13 \sqrt{13} - 8}{27}$

173.

$\frac{4}{3}$

175.

$2.0035$

177.

$\frac{123}{32}$

179.

$10$

181.

$\frac{20}{3}$

183.

$\frac{1}{675} (229 \sqrt{229} - 8)$

185.

$\frac{1}{8} (4 \sqrt{5} + ln (9 + 4 \sqrt{5}))$

187.

$1.201$

189.

$15.2341$

191.

$\frac{49 π}{3}$

193.

$70 π \sqrt{2}$

195.

$8 π$

197.

$120 π \sqrt{26}$

199.

$\frac{π}{6} (17 \sqrt{17} - 1)$

201.

$9 \sqrt{2} π$

203.

$\frac{10 \sqrt{10} π}{27} (73 \sqrt{73} - 1)$

205.

$25.645$

207.

$π (2 + π)$

209.

$10.5017$

211.

$24$ fet

213.

$2$

215.

Svör eru breytileg.

217.

Frekari upplýsingar má finna með því að leita að lúðri Gabríels.

Æfingar í kafla 2.5

219.

$150$ ft-lb

221.

$200 J$

223.

$1$ J

225.

$\frac{39}{2}$

227.

$ln (243)$

229.

$\frac{332 π}{15}$

231.

$100 π$

233.

$20 π \sqrt{15}$

235.

$6$ J

237.

$5$ cm

239.

$36$ J

241.

$18,750$ ft-lb

243.

Þyngd $= \frac{32}{3} \times 10^{9} lb$

Vinna $= \frac{4}{3} \times 10^{12} ft-lb$

245.

$9.71 \times 10^{8} N m$

247.

a. $3,000,000$ lb, b. $750,000$ lb

249.

$23.25 π$ milljón ft-lb

251.

$\frac{A ρ H^{2}}{2}$

253.

Svör eru breytileg.

Æfingar í kafla 2.6

255.

$\frac{5}{4}$

257.

$(\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

259.

$(\frac{7}{4}, \frac{3}{2})$

261.

$\frac{3 L}{4}$

263.

$\frac{π}{2}$

265.

$\frac{e^{2} + 1}{e^{2} - 1}$

267.

$\frac{π^{2} - 4}{π}$

269.

$\frac{1}{4} (1 + e^{2})$

271.

$(\frac{a}{3}, \frac{b}{3})$

273.

$(0, \frac{π}{8})$

275.

$(0, 3)$

277.

$(0, \frac{4}{π})$

279.

$(\frac{5}{8}, \frac{1}{3})$

281.

$\frac{2 m π}{3}$

283.

$π a^{2} b$

285.

$(\frac{4}{3 π}, \frac{4}{3 π})$

287.

$(\frac{1}{2}, \frac{2}{5})$

289.

$(0, \frac{28}{9 π})$

291.

Massamiðja: $(\frac{3 a}{8}, \frac{2 a^{2}}{5}),$ rúmmál: $\frac{π a^{4}}{2}$

293.

Rúmmál: $2 π^{2} a^{2} (b + a)$

Æfingar í kafla 2.7

295.

$\frac{1}{x}$

297.

$- \frac{1}{x {(ln x)}^{2}}$

299.

$ln (x + 1) + C$

301.

$ln (x) + 1$

303.

$cot (x)$

305.

$\frac{7}{x}$

307.

$csc (x) sec x$

309.

$−2 tan x$

311.

$\frac{1}{2} ln (\frac{5}{3})$

313.

$2 - \frac{1}{2} ln (5)$

315.

$\frac{1}{ln (2)} - 1$

317.

$\frac{1}{2} ln (2)$

319.

$\frac{1}{3} {(ln x)}^{3}$

321.

$\frac{2 x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} - 1}}$

323.

$x^{−2 - (1 / x)} (ln x - 1)$

325.

$e x^{e - 1}$

327.

$1$

329.

$- \frac{1}{x^{2}}$

331.

$π - ln (2)$

333.

$\frac{1}{x}$

335.

$e^{5} - 6 {einingar}^{2}$

337.

$ln (4) - 1 {einingar}^{2}$

339.

$2.8656$

341.

$3.1502$

Æfingar í kafla 2.8

349.

Satt

351.

Satt; $k = \frac{ln (2)}{t}$

353.

$20$ klukkustundir

355.

Nei. Minjagripurinn er um það bil $871$ ára gamall.

357.

$73$ ár

359.

$5$ dagar, $6$ klukkustundir og $27$ mínútur

361.

$12$

363.

$8.618 %$

365.

$$ 6766.76$

367.

$9$ klukkustundir og $13$ mínútur

369.

$239,179$ ár

371.

$P' (t) = 43 e^{0.01604 t} .$ Stofninn stækkar stöðugt.

373.

Mannfjöldinn nær $10$ milljörðum árið $2032 .$

375.

$P' (t) = 2.259 e^{0.06407 t} .$ Stofninn stækkar stöðugt.

Æfingar í kafla 2.9

377.

$e^{x} og e^{− x}$

379.

Svör eru breytileg.

381.

Svör eru breytileg.

383.

Svör eru breytileg.

385.

$3 sinh (3 x + 1)$

387.

$− tanh (x) sech (x)$

389.

$4 cosh (x) sinh (x)$

391.

$\frac{x {sech}^{2} (\sqrt{x^{2} + 1})}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

393.

$6 {sinh}^{5} (x) cosh (x)$

395.

$\frac{1}{2} sinh (2 x + 1) + C$

397.

$\frac{1}{2} sinh (x^{2}) + C$

399.

$\frac{1}{3} {cosh}^{3} (x) + C$

401.

$ln (1 + cosh (x)) + C$

403.

$cosh (x) + sinh (x) + C$

405.

$\frac{4}{1 - 16 x^{2}}$

407.

$\frac{sinh (x)}{\sqrt{{cosh}^{2} (x) + 1}}$

409.

$− csc (x)$

411.

$- \frac{1}{(x^{2} - 1) {tanh}^{−1} (x)}$

413.

$\frac{1}{a} {tanh}^{−1} (\frac{x}{a}) + C$

415.

$\sqrt{x^{2} + 1} + C$

417.

${cosh}^{−1} (e^{x}) + C$

419.

Svör eru breytileg.

421.

$37.30$

423.

$y = \frac{1}{c} cosh (c x)$

425.

$−0.521095$

427.

$10$

Upprifjunaræfingar

435.

Ósatt

437.

Ósatt

439.

$16 \sqrt{3} {einingar}^{3}$

441.

$\frac{162 π}{5}$

443.

a. $4,$ b. $\frac{128 π}{7},$ c. $\frac{64 π}{5}$

445.

a. $1.949,$ b. $21.952,$ c. $17.099$

447.

a. $\frac{31}{6},$ b. $\frac{452 π}{15},$ c. $\frac{31 π}{6}$

449.

$π ln 17$

451.

Massi: $\frac{1}{2},$ massamiðja: $(\frac{18}{35}, \frac{9}{22})$

453.

$\sqrt{17} + \frac{1}{8} ln (33 + 8 \sqrt{17})$

455.

Rúmmál: $\frac{3 π}{4},$ yfirborðsflatarmál: $π (\sqrt{2} - {sinh}^{−1} (1) + {sinh}^{−1} (16) - \frac{\sqrt{257}}{16})$

457.

11:02 a.m.

459.

$π (1 + sinh (1) cosh (1))$