99.7 Notkun á jöfnuformúlu annars stigs jafna

9.7.3 Mismunandi aðferðir til að athuga lausnir annars stigs jafna

9.7.3 • Mismunandi aðferðir til að athuga lausnir annars stigs jafna

Verkefni

Jafnan lýsir hæð graskers, sem falli af tíma, eftir að því var skotið upp í loftið. Hæð er mæld í metrum og tími í sekúndum.

Lausn

$h, (, t,), =, 2, +, 30, t, -, 5, t^{2}$

a. Graskerið náði hámarkshæðinni 47 metrum. Hversu mörgum sekúndum eftir skotið gerðist það?

Graskerið náði 47 metra hámarkshæð 3 sekúndum eftir skotið.

b. Sýndu rökstuðning þinn.

Berðu saman svarið þitt:

$\begin{matrix} h (t) = - 5 t^{2} + 30 t + 2 \\ - 5 t^{2} + 30 t + 2 = 47 \\ - 5 t^{2} + 30 t - 45 = 0 \\ a = - 5, b = 30, c = - 45 \\ t = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ t = \frac{- (30) \pm \sqrt{{(30)}^{2} - (4) (- 5) (- 45)}}{2 (- 5)} \\ t = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 900}}{- 10} \\ t = \frac{- 30}{- 10} \\ t = 3 \end{matrix}$

c. Segjum að einhver sé ekki sannfærður af lausninni þinni. Finndu aðra leið, fyrir utan skrefin sem þú notaðir, til að sýna að lausnin sé rétt.

Berðu saman svarið þitt: Settu 3 inn fyrir t í upphaflegu stæðuna. Þá fæst

$2, +, 30, (, 3,), -, 5, {(3)}^{2}, =, 2, +, 90, -, 45, =, 47$

Einnig má teikna gröfin

$y, =, 2, +, 30, t, -, 5, t^{2}, og, y, =, 47$

og sjá að skurðpunktur er í punktinum (3, 47).

$y, =, -, 45, +, 30, t, -, 5, t^{2}$

hefur núllstöð í punktinum (3, 0).

Jafnan líkanar tekjur sem hljómsveit býst við að fá sem fall af verði eins tónleikamiða. Verð miða og tekjur eru í dollurum.

Lausn

$r, (, p,), =, 80, p, -, p^{2}$

Hljómsveitarmeðlimur segir að miðaverð upp á annaðhvort 15,50 dollara eða 74,50 dollara gefi um 1000 dollara í tekjur. Ertu sammála? Sýndu rökstuðning þinn.

Berðu saman svarið þitt: Að hluta til. Miðaverð upp á 15,50 dollara gefur um 1000 dollara í tekjur, en 74,50 dollara miðaverð gefur miklu minna, um 410 dollara.

Ef jöfnuformúla annars stigs jafna er notuð til að leysa

$1000, =, 80, p, -, p^{2}$

fást lausnirnar p ≈ 15,50 og p ≈ 64,50.

$80, (, 15,,, 50,), -, {(15, 50)}^{2}, =, 999,,, 75$

Þetta er nálægt 1000. Ef 74,50 er sett inn í stæðuna 80p − p² fæst 409,75.

Graf jöfnunnar y = r(p) og línunnar y = 1000 sýna tvo skurðpunkta, um það bil (15,50, 1000) og (64,50, 1000).

Viltu prófa meira?

Útvíkkaðu hugsunina

Fallið g er skilgreint með jöfnunni

$g, (, t,), =, 2, +, 30, t, -, 5, t^{2}, -, 47$

Graf þess opnast niður. Finndu núllstöðvar fallsins g án þess að teikna graf.

Berðu saman svarið þitt: Fallið g hefur eina núllstöð, 3.

Sýndu rökstuðning þinn.

$\begin{matrix} 2 + 30 t - 5 t^{2} - 47 \\ - 5 t^{2} + 30 t - 45 \\ - 5 (t^{2} - 6 t + 9) \\ - 5 (t - 3) (t - 3) \\ - 5 (t - 3) (t - 3) = 0 \\ t = 3 \end{matrix}$

Útskýrðu eða sýndu hvernig núllstöðin sem þú fannst getur sagt okkur hver topppunktur grafsins fyrir g er.

Berðu saman svarið þitt: Fallið g hefur aðeins eina núllstöð, sem þýðir að grafið hefur aðeins einn skurðpunkt við x-ás, þegar t = 3. Þar sem punkturinn (3, 0) er eini skurðpunkturinn hlýtur hann líka að vera topppunktur grafsins; annars væru skurðpunktarnir við x-ás annaðhvort tveir eða enginn.

Mundu að

$g, (, t,), =, 2, +, 30, t, -, 5, t^{2}, -, 47, og, h, (, t,), =, 2, +, 30, t, -, 5, t^{2}$

Skoðaðu föllin g og h, þar sem h lýsir hæð graskersins. Útskýrðu hvernig hágildi fallsins h getur sagt okkur hágildi fallsins g þegar við þekkjum það.

Berðu saman svarið þitt: Gildi stæðunnar fyrir g er 47 minna en gildið fyrir h. Ef við þekkjum hágildi h vitum við að hágildi g er 47 minna. Við sáum að hágildi h er 47, þannig að hágildi g er 47 minna en 47, eða 0.

Viðbótarefni

Spurningum um aðstæður svarað með jöfnuformúlu annars stigs jafna

Hér er dæmi um lausn á annars stigs jöfnu sem hefur enga lausn:

${(x + 3)}^{2}, +, 9, =, 0$

${(x + 3)}^{2}, =, -, 9$

$x, +, 3, =, \pm, \sqrt{- 9}$

Skoðaðu dæmið. Á hvaða stigi áttaðir þú þig á því að jafnan hefði enga lausn?

Til að tvær tölur gefi summuna 0 verða þær að vera andstæður. Þar sem talan 9 er jákvæð þarf hin talan að vera neikvæð, en ferningur getur ekki verið neikvæður.

Útskýrðu hvernig þú veist að jafnan hefur enga lausn.

$49, +, x^{2}, =, 0$

Ferningur er alltaf ekki neikvæður, þannig að ferningur plús jákvæð tala er alltaf jákvæður og getur aldrei verið jafn núlli.

Reyndu

Spurningum um aðstæður svarað með jöfnuformúlu annars stigs jafna

Fallið h líkanar hæð hlutar, í metrum, t sekúndum eftir að honum er skotið upp í loftið. Það er skilgreint með

$h, (, t,), =, -, 5, t^{2}, +, 25, t$

Hversu langan tíma tekur það hlutinn að ná 15 metra hæð?

Til að vita hversu langan tíma það tekur hlutinn að ná 15 metrum getum við leyst jöfnuna

$15, =, -, 5, t^{2}, +, 25, t$

Þegar hún er færð á staðalform fæst

$-, 5, t^{2}, +, 25, t, -, 15, =, 0$

Stæðuna vinstra megin er þó ekki þægilegt að þátta. Ekki er heldur hentugt að fylla í ferninginn, því stuðull annars stigs liðarins er ekki ferningstala og stuðull línulega liðarins er oddatala. Notum því jöfnuformúlu annars stigs jafna með a = −5, b = 25 og c = −15.

$\begin{matrix} t = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ t = \frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 (- 5) (- 15)}}{2 (- 5)} \\ t = \frac{- 25 \pm \sqrt{325}}{- 10} \end{matrix}$

Stæðan hér að ofan táknar tvær nákvæmar lausnir jöfnunnar. Við getum fengið nálgaðar lausnir með reiknivél eða með því að átta okkur á að √325 ≈ 18.

Lausnirnar segja okkur að hluturinn er í 15 metra hæð á tveimur tímum eftir skotið: um 0,7 sekúndum þegar hann fer upp og um 4,3 sekúndum þegar hann kemur aftur niður.

99.7 Notkun á jöfnuformúlu annars stigs jafna

9.7.3 Mismunandi aðferðir til að athuga lausnir annars stigs jafna

9.7.3 • Mismunandi aðferðir til að athuga lausnir annars stigs jafna

Verkefni

Jafnan lýsir hæð graskers, sem falli af tíma, eftir að því var skotið upp í loftið. Hæð er mæld í metrum og tími í sekúndum.

Lausn

$h, (, t,), =, 2, +, 30, t, -, 5, t^{2}$

a. Graskerið náði hámarkshæðinni 47 metrum. Hversu mörgum sekúndum eftir skotið gerðist það?

Graskerið náði 47 metra hámarkshæð 3 sekúndum eftir skotið.

b. Sýndu rökstuðning þinn.

Berðu saman svarið þitt:

c. Segjum að einhver sé ekki sannfærður af lausninni þinni. Finndu aðra leið, fyrir utan skrefin sem þú notaðir, til að sýna að lausnin sé rétt.

Berðu saman svarið þitt: Settu 3 inn fyrir t í upphaflegu stæðuna. Þá fæst

$2, +, 30, (, 3,), -, 5, {(3)}^{2}, =, 2, +, 90, -, 45, =, 47$

Einnig má teikna gröfin

$y, =, 2, +, 30, t, -, 5, t^{2}, og, y, =, 47$

og sjá að skurðpunktur er í punktinum (3, 47).

$y, =, -, 45, +, 30, t, -, 5, t^{2}$

hefur núllstöð í punktinum (3, 0).

Jafnan líkanar tekjur sem hljómsveit býst við að fá sem fall af verði eins tónleikamiða. Verð miða og tekjur eru í dollurum.

Lausn

$r, (, p,), =, 80, p, -, p^{2}$

Hljómsveitarmeðlimur segir að miðaverð upp á annaðhvort 15,50 dollara eða 74,50 dollara gefi um 1000 dollara í tekjur. Ertu sammála? Sýndu rökstuðning þinn.

Berðu saman svarið þitt: Að hluta til. Miðaverð upp á 15,50 dollara gefur um 1000 dollara í tekjur, en 74,50 dollara miðaverð gefur miklu minna, um 410 dollara.

Ef jöfnuformúla annars stigs jafna er notuð til að leysa

$1000, =, 80, p, -, p^{2}$

fást lausnirnar p ≈ 15,50 og p ≈ 64,50.

$80, (, 15,,, 50,), -, {(15, 50)}^{2}, =, 999,,, 75$

Þetta er nálægt 1000. Ef 74,50 er sett inn í stæðuna 80p − p² fæst 409,75.

Graf jöfnunnar y = r(p) og línunnar y = 1000 sýna tvo skurðpunkta, um það bil (15,50, 1000) og (64,50, 1000).

Viltu prófa meira?

Útvíkkaðu hugsunina

Fallið g er skilgreint með jöfnunni

$g, (, t,), =, 2, +, 30, t, -, 5, t^{2}, -, 47$

Graf þess opnast niður. Finndu núllstöðvar fallsins g án þess að teikna graf.

Berðu saman svarið þitt: Fallið g hefur eina núllstöð, 3.

Sýndu rökstuðning þinn.

$\begin{matrix} 2 + 30 t - 5 t^{2} - 47 \\ - 5 t^{2} + 30 t - 45 \\ - 5 (t^{2} - 6 t + 9) \\ - 5 (t - 3) (t - 3) \\ - 5 (t - 3) (t - 3) = 0 \\ t = 3 \end{matrix}$

Útskýrðu eða sýndu hvernig núllstöðin sem þú fannst getur sagt okkur hver topppunktur grafsins fyrir g er.

Mundu að

$g, (, t,), =, 2, +, 30, t, -, 5, t^{2}, -, 47, og, h, (, t,), =, 2, +, 30, t, -, 5, t^{2}$

Skoðaðu föllin g og h, þar sem h lýsir hæð graskersins. Útskýrðu hvernig hágildi fallsins h getur sagt okkur hágildi fallsins g þegar við þekkjum það.

Viðbótarefni

Spurningum um aðstæður svarað með jöfnuformúlu annars stigs jafna

Hér er dæmi um lausn á annars stigs jöfnu sem hefur enga lausn:

${(x + 3)}^{2}, +, 9, =, 0$

${(x + 3)}^{2}, =, -, 9$

$x, +, 3, =, \pm, \sqrt{- 9}$

Skoðaðu dæmið. Á hvaða stigi áttaðir þú þig á því að jafnan hefði enga lausn?

Til að tvær tölur gefi summuna 0 verða þær að vera andstæður. Þar sem talan 9 er jákvæð þarf hin talan að vera neikvæð, en ferningur getur ekki verið neikvæður.

Útskýrðu hvernig þú veist að jafnan hefur enga lausn.

$49, +, x^{2}, =, 0$

Ferningur er alltaf ekki neikvæður, þannig að ferningur plús jákvæð tala er alltaf jákvæður og getur aldrei verið jafn núlli.

Reyndu

Spurningum um aðstæður svarað með jöfnuformúlu annars stigs jafna

Fallið h líkanar hæð hlutar, í metrum, t sekúndum eftir að honum er skotið upp í loftið. Það er skilgreint með

$h, (, t,), =, -, 5, t^{2}, +, 25, t$

Hversu langan tíma tekur það hlutinn að ná 15 metra hæð?

Til að vita hversu langan tíma það tekur hlutinn að ná 15 metrum getum við leyst jöfnuna

$15, =, -, 5, t^{2}, +, 25, t$

Þegar hún er færð á staðalform fæst

$-, 5, t^{2}, +, 25, t, -, 15, =, 0$

$\begin{matrix} t = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ t = \frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 (- 5) (- 15)}}{2 (- 5)} \\ t = \frac{- 25 \pm \sqrt{325}}{- 10} \end{matrix}$

Stæðan hér að ofan táknar tvær nákvæmar lausnir jöfnunnar. Við getum fengið nálgaðar lausnir með reiknivél eða með því að átta okkur á að √325 ≈ 18.

Lausnirnar segja okkur að hluturinn er í 15 metra hæð á tveimur tímum eftir skotið: um 0,7 sekúndum þegar hann fer upp og um 4,3 sekúndum þegar hann kemur aftur niður.