99.7 Notkun á jöfnuformúlu annars stigs jafna

9.7.2 Algengar reiknivillur við notkun jöfnuformúlu annars stigs jafna

9.7.2 • Algengar reiknivillur við notkun jöfnuformúlu annars stigs jafna

Verkefni

Hér eru fjórar jöfnur og tilraunir til að leysa þær með jöfnuformúlu annars stigs jafna. Í hverri tilraun er að minnsta kosti ein villa.

Leystu jöfnurnar með jöfnuformúlu annars stigs jafna. Finndu síðan og lýstu villunni eða villunum í útreiknuðu lausnunum fyrir sömu jöfnur.

Jafna 1

$2, x^{2}, +, 3, =, 8, x$

Hér er útreiknuð lausn með villum:

$\begin{matrix} Skref 1 - 2 x^{2} - 8 x + 3 = 0 \\ Skref 2 - a, =, 2, b, =, -, 8, c, =, 3 \\ Skref 3 - x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ Skref 4 - x = \frac{- (- 8) \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - (4) (2) (3)}}{2 (2)} \\ Skref 5 - x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{4} \\ Skref 6 - x = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{4} \\ Skref 7 - x = 2 \pm \sqrt{10} \end{matrix}$

Berðu saman svarið þitt: Réttu lausnirnar eru

$x, =, 2, \pm, \frac{\sqrt{40}}{4}, eða, x, =, 2, \pm, \frac{1}{2}, \sqrt{10}$

Útreikningurinn frá skrefi 6 til skrefs 7 er ekki réttur, því ferningsrót aðgreinisins er einfölduð rangt. √40/4 er ekki √10; √40 = √(4·10) = 2√10 og því verður √40/4 = √10/2.

$\begin{matrix} 2 x^{2} - 8 x + 3 = 0 \\ a, =, 2, b, =, -, 8, c, =, 3 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- (- 8) \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - (4) (2) (3)}}{2 (2)} \\ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{4} \\ x = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{4} \\ x = 2 \pm \frac{\sqrt{40}}{4} \\ x = 2 \pm \frac{\sqrt{4} \cdot \sqrt{10}}{4} \\ x = 2 \pm \frac{2 \cdot \sqrt{10}}{4} \\ x = 2 \pm \frac{1}{2} \sqrt{10} \end{matrix}$

Jafna 2

$x^{2}, +, 3, x, =, 10$

Hér er útreiknuð lausn með villum:

$\begin{matrix} Skref 1 - a, =, 1, b, =, 3, c, =, 10 \\ Skref 2 - x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ Skref 3 - x = \frac{- (3) \pm \sqrt{{(3)}^{2} - (4) (1) (10)}}{2 (1)} \\ Skref 4 - x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 40}}{2} \\ Skref 5 - x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 31}}{2} \\ Engar lausnir \end{matrix}$

Berðu saman svarið þitt: Réttu lausnirnar eru x = 2 og x = −5.

Jafnan var ekki færð á staðalformið = 0 áður en a, b og c voru ákvörðuð. Gildið á c á að vera −10, ekki 10.

$\begin{matrix} x^{2} + 3 x - 10 = 0 \\ a, =, 1, b, =, 3, c, =, -, 10 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- (3) \pm \sqrt{{(3)}^{2} - (4) (1) (- 10)}}{2 (1)} \\ x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - (- 40)}}{2} \\ x = \frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2} \\ x = \frac{- 3 \pm 7}{2} \\ x = \frac{- 3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \\ x = \frac{- 3 - 7}{2} = \frac{- 10}{2} = - 5 \end{matrix}$

Jafna 3

$9, x^{2}, -, 2, x, -, 1, =, 0$

Hér er útreiknuð lausn með villum:

$\begin{matrix} Skref 1 - a, =, 9, b, =, -, 2, c, =, -, 1 \\ Skref 2 - x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ Skref 3 - x = \frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - (4) (9) (- 1)}}{2} \\ Skref 4 - x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 36}}{2} \\ Skref 5 - x = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2} \end{matrix}$

Berðu saman svarið þitt: Rétta lausnin er

$x, =, \frac{1 \pm \sqrt{10}}{9}$

Í skrefi 3 er gildið á a ekki margfaldað með 2 í nefnara formúlunnar.

$\begin{matrix} a, =, 9, b, =, -, 2, c, =, -, 1 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - (4) (9) (- 1)}}{2 (9)} \\ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 36}}{18} \\ x = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{18} \\ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 10}}{18} \\ x = \frac{2 \pm 2 \cdot \sqrt{10}}{2 (9)} \\ x = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{9} \end{matrix}$

Jafna 4

$x^{2}, -, 10, x, +, 23, =, 0$

Hér er útreiknuð lausn með villum:

$\begin{matrix} Skref 1 - a, =, 1, b, =, -, 10, c, =, 23 \\ Skref 2 - x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ Skref 3 - x = \frac{- 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - (4) (1) (23)}}{2} \\ Skref 4 - x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 100 - 92}}{2} \\ Skref 5 - x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 192}}{2} \\ Engar lausnir \end{matrix}$

Berðu saman svarið þitt: Rétta lausnin er

$x, =, 5, \pm, \sqrt{2}$

Í skrefi 3, þegar b = −10, á gildið á −b að vera 10. Í skrefi 4 á gildið á b² að vera jákvætt þótt b sé neikvætt.

$\begin{matrix} a, =, 1, b, =, -, 10, c, =, 23 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- (- 10) \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - (4) (1) (23)}}{2} \\ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 92}}{2} \\ x = \frac{10 \pm \sqrt{8}}{2} \\ x = 5 \pm \frac{\sqrt{8}}{2} \\ x = 5 \pm \frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{2} \\ x = 5 \pm \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{2} \\ x = 5 \pm \sqrt{2} \end{matrix}$

Viðbótarefni

Algengar villur við notkun jöfnuformúlu annars stigs jafna

Jöfnuformúla annars stigs jafna hefur marga hluta. Lítil villa í einum hluta getur leitt til rangra lausna.

Gerum ráð fyrir að við séum að leysa jöfnuna

$2, x^{2}, -, 6, =, 11, x$

Til að nota formúluna færum við hana á staðalformið ax² + bx + c = 0. Þá fæst

$2, x^{2}, -, 11, x, -, 6, =, 0$

Hér eru nokkrar algengar villur sem þarf að forðast.

Röng gildi fyrir a, b og c í formúlunni:

$x, =, \frac{- 11 \pm \sqrt{{(11)}^{2} - 4 (2) (- 6)}}{2 (2)}$

Þetta er rangt. b er −11, þannig að −b er −(−11), sem er 11, ekki −11.

$x, =, \frac{11 \pm \sqrt{{(11)}^{2} - 4 (2) (- 6)}}{2 (2)}$

Gleymt að margfalda 2 með a í nefnara formúlunnar:

$x, =, \frac{11 \pm \sqrt{{(11)}^{2} - 4 (2) (- 6)}}{2}$

Þetta er rangt. Nefnarinn er 2a, sem er 2(2), eða 4.

$x, =, \frac{11 \pm \sqrt{{(11)}^{2} - 4 (2) (- 6)}}{2 (2)}$

Gleymt að neikvæð tala í öðru veldi verður jákvæð tala:

$x, =, \frac{11 \pm \sqrt{- 121 - 4 (2) (- 6)}}{4}$

Þetta er rangt. (−11)² er 121, ekki −121.

$x, =, \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 (2) (- 6)}}{4}$

Gleymt að neikvæð tala sinnum jákvæð tala er neikvæð tala:

$x, =, \frac{11 \pm \sqrt{121 - 48}}{4}$

Þetta er rangt. 4(2)(−6) = −48 og 121 − (−48) er 121 + 48.

$x, =, \frac{11 \pm \sqrt{121 + 48}}{4}$

Reiknivillur eða brot á algebrureglum:

$x, =, \frac{11 \pm \sqrt{169}}{4}$

$x, =, 11, \pm, \sqrt{42, 25}$

Þetta er rangt. Báðir hlutar teljarans, bæði 11 og √169, deilast með 4. Einnig er √(169/4) ekki √42,25 í þessu skrefi.

$x, =, \frac{11 \pm 13}{4}$

Ljúkum með því að reikna (11 ± 13)/4 rétt:

$x, =, \frac{11 + 13}{4}, eða, x, =, \frac{11 - 13}{4}$

$x, =, \frac{24}{4}, eða, x, =, \frac{- 2}{4}$

$x, =, 6, eða, x, =, \frac{- 1}{2}$

Til að ganga úr skugga um að lausnirnar séu réttar getum við sett þær aftur inn í upphaflegu jöfnuna og athugað hvort hvor lausn haldi jöfnunni sannri.

Athugum 6 sem lausn:

$\begin{matrix} 2 x^{2} - 6 = 11 x \\ 2 {(6)}^{2} - 6 = 11 (6) \\ 2 (36) - 6 = 66 \\ 72 - 6 = 66 \\ 66 = 66 ✓ \end{matrix}$

Athugum −1/2 sem lausn:

$\begin{matrix} 2 {(\frac{- 1}{2})}^{2} - 6 = 11 (\frac{- 1}{2}) \\ 2 (\frac{1}{4}) - 6 = \frac{- 11}{2} \\ \frac{1}{2} - 6 = - 5 \frac{1}{2} \\ - 5 \frac{1}{2} = - 5 \frac{1}{2} ✓ \end{matrix}$

Við getum líka teiknað graf jöfnunnar

$y, =, 2, x^{2}, -, 11, x, -, 6$

og fundið skurðpunkta þess við x-ás til að sjá hvort lausnirnar á 2x² − 11x − 6 = 0 séu réttar eða nálægt því að vera réttar.

Reyndu

Algengar villur við notkun jöfnuformúlu annars stigs jafna

Zariah var að leysa jöfnuna með jöfnuformúlu annars stigs jafna

$3, x^{2}, -, 8, x, +, 4, =, 0$

og notaði skrefin hér fyrir neðan. Hún þurfti síðan að stoppa af því að hún áttaði sig á vandamáli. Finndu villuna og lýstu henni.

$x, =, \frac{- (- 8) \pm \sqrt{- 8^{2} - 4 (3) (4)}}{6}$

$x, =, \frac{8 \pm \sqrt{- 64 - 48}}{6}$

Svona má finna villuna: Zariah setti a = 3, b = −8 og c = 4 inn í formúluna í skrefi 1. Undir rótarmerkinu á hins vegar b² = (−8)² = 64.

Skref 2 verður því:

$x, =, \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6}$

Það leiðir til lausnanna:

$x, =, \frac{8 \pm \sqrt{16}}{6}$

$x, =, \frac{8 \pm 4}{6}$

$x, =, \frac{12}{6}, =, 2,,, x, =, \frac{4}{6}, =, \frac{2}{3}$

99.7 Notkun á jöfnuformúlu annars stigs jafna

9.7.2 Algengar reiknivillur við notkun jöfnuformúlu annars stigs jafna

9.7.2 • Algengar reiknivillur við notkun jöfnuformúlu annars stigs jafna

Verkefni

Hér eru fjórar jöfnur og tilraunir til að leysa þær með jöfnuformúlu annars stigs jafna. Í hverri tilraun er að minnsta kosti ein villa.

Leystu jöfnurnar með jöfnuformúlu annars stigs jafna. Finndu síðan og lýstu villunni eða villunum í útreiknuðu lausnunum fyrir sömu jöfnur.

Jafna 1

$2, x^{2}, +, 3, =, 8, x$

Hér er útreiknuð lausn með villum:

Berðu saman svarið þitt: Réttu lausnirnar eru

$x, =, 2, \pm, \frac{\sqrt{40}}{4}, eða, x, =, 2, \pm, \frac{1}{2}, \sqrt{10}$

Jafna 2

$x^{2}, +, 3, x, =, 10$

Hér er útreiknuð lausn með villum:

Berðu saman svarið þitt: Réttu lausnirnar eru x = 2 og x = −5.

Jafnan var ekki færð á staðalformið = 0 áður en a, b og c voru ákvörðuð. Gildið á c á að vera −10, ekki 10.

Jafna 3

$9, x^{2}, -, 2, x, -, 1, =, 0$

Hér er útreiknuð lausn með villum:

Berðu saman svarið þitt: Rétta lausnin er

$x, =, \frac{1 \pm \sqrt{10}}{9}$

Í skrefi 3 er gildið á a ekki margfaldað með 2 í nefnara formúlunnar.

Jafna 4

$x^{2}, -, 10, x, +, 23, =, 0$

Hér er útreiknuð lausn með villum:

Berðu saman svarið þitt: Rétta lausnin er

$x, =, 5, \pm, \sqrt{2}$

Í skrefi 3, þegar b = −10, á gildið á −b að vera 10. Í skrefi 4 á gildið á b² að vera jákvætt þótt b sé neikvætt.

Viðbótarefni

Algengar villur við notkun jöfnuformúlu annars stigs jafna

Jöfnuformúla annars stigs jafna hefur marga hluta. Lítil villa í einum hluta getur leitt til rangra lausna.

Gerum ráð fyrir að við séum að leysa jöfnuna

$2, x^{2}, -, 6, =, 11, x$

Til að nota formúluna færum við hana á staðalformið ax² + bx + c = 0. Þá fæst

$2, x^{2}, -, 11, x, -, 6, =, 0$

Hér eru nokkrar algengar villur sem þarf að forðast.

Röng gildi fyrir a, b og c í formúlunni:

$x, =, \frac{- 11 \pm \sqrt{{(11)}^{2} - 4 (2) (- 6)}}{2 (2)}$

Þetta er rangt. b er −11, þannig að −b er −(−11), sem er 11, ekki −11.

$x, =, \frac{11 \pm \sqrt{{(11)}^{2} - 4 (2) (- 6)}}{2 (2)}$

Gleymt að margfalda 2 með a í nefnara formúlunnar:

$x, =, \frac{11 \pm \sqrt{{(11)}^{2} - 4 (2) (- 6)}}{2}$

Þetta er rangt. Nefnarinn er 2a, sem er 2(2), eða 4.

$x, =, \frac{11 \pm \sqrt{{(11)}^{2} - 4 (2) (- 6)}}{2 (2)}$

Gleymt að neikvæð tala í öðru veldi verður jákvæð tala:

$x, =, \frac{11 \pm \sqrt{- 121 - 4 (2) (- 6)}}{4}$

Þetta er rangt. (−11)² er 121, ekki −121.

$x, =, \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 (2) (- 6)}}{4}$

Gleymt að neikvæð tala sinnum jákvæð tala er neikvæð tala:

$x, =, \frac{11 \pm \sqrt{121 - 48}}{4}$

Þetta er rangt. 4(2)(−6) = −48 og 121 − (−48) er 121 + 48.

$x, =, \frac{11 \pm \sqrt{121 + 48}}{4}$

Reiknivillur eða brot á algebrureglum:

$x, =, \frac{11 \pm \sqrt{169}}{4}$

$x, =, 11, \pm, \sqrt{42, 25}$

Þetta er rangt. Báðir hlutar teljarans, bæði 11 og √169, deilast með 4. Einnig er √(169/4) ekki √42,25 í þessu skrefi.

$x, =, \frac{11 \pm 13}{4}$

Ljúkum með því að reikna (11 ± 13)/4 rétt:

$x, =, \frac{11 + 13}{4}, eða, x, =, \frac{11 - 13}{4}$

$x, =, \frac{24}{4}, eða, x, =, \frac{- 2}{4}$

$x, =, 6, eða, x, =, \frac{- 1}{2}$

Til að ganga úr skugga um að lausnirnar séu réttar getum við sett þær aftur inn í upphaflegu jöfnuna og athugað hvort hvor lausn haldi jöfnunni sannri.

Athugum 6 sem lausn:

$\begin{matrix} 2 x^{2} - 6 = 11 x \\ 2 {(6)}^{2} - 6 = 11 (6) \\ 2 (36) - 6 = 66 \\ 72 - 6 = 66 \\ 66 = 66 ✓ \end{matrix}$

Athugum −1/2 sem lausn:

$\begin{matrix} 2 {(\frac{- 1}{2})}^{2} - 6 = 11 (\frac{- 1}{2}) \\ 2 (\frac{1}{4}) - 6 = \frac{- 11}{2} \\ \frac{1}{2} - 6 = - 5 \frac{1}{2} \\ - 5 \frac{1}{2} = - 5 \frac{1}{2} ✓ \end{matrix}$

Við getum líka teiknað graf jöfnunnar

$y, =, 2, x^{2}, -, 11, x, -, 6$

og fundið skurðpunkta þess við x-ás til að sjá hvort lausnirnar á 2x² − 11x − 6 = 0 séu réttar eða nálægt því að vera réttar.

Reyndu

Algengar villur við notkun jöfnuformúlu annars stigs jafna

Zariah var að leysa jöfnuna með jöfnuformúlu annars stigs jafna

$3, x^{2}, -, 8, x, +, 4, =, 0$

og notaði skrefin hér fyrir neðan. Hún þurfti síðan að stoppa af því að hún áttaði sig á vandamáli. Finndu villuna og lýstu henni.

$x, =, \frac{- (- 8) \pm \sqrt{- 8^{2} - 4 (3) (4)}}{6}$

$x, =, \frac{8 \pm \sqrt{- 64 - 48}}{6}$

Svona má finna villuna: Zariah setti a = 3, b = −8 og c = 4 inn í formúluna í skrefi 1. Undir rótarmerkinu á hins vegar b² = (−8)² = 64.

Skref 2 verður því:

$x, =, \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6}$

Það leiðir til lausnanna:

$x, =, \frac{8 \pm \sqrt{16}}{6}$

$x, =, \frac{8 \pm 4}{6}$

$x, =, \frac{12}{6}, =, 2,,, x, =, \frac{4}{6}, =, \frac{2}{3}$