77.2 Kynning á annars stigs tengslum

7.2.3 Annars stigs stæður

7.2.3 • Annars stigs stæður

Verkefni

Hér er ferningamynstur.

Ferningamynstur. Í skrefi 1 eru þrír ferningar í einni röð. Í skrefi 2 eru fjórir ferningar í neðri röð og tveir ferningar fyrir miðju í röð fyrir ofan. Í skrefi 3 eru fimm ferningar í neðri röð og þar fyrir ofan tvær raðir með þremur ferningum í hvorri röð.

Vex fjöldi litlu ferninganna línulega? Útskýrðu hvernig þú veist það.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Nei. Í fyrsta skrefi eru 3 ferningar, í öðru skrefi 6 ferningar og í þriðja skrefi 11 ferningar. Fjölgunin er því 3 ferningar frá fyrsta skrefi í annað, en 5 ferningar frá öðru skrefi í það þriðja.

Svaraðu spurningum a-e til að fylla út töfluna.

Lausn

Skref	Fjöldi litlu ferninga
1	3
2	6
3	11
4	a. _____
5	b. _____
10	c. _____
12	d. _____
n	e. _____

a. Hver er fjöldi litlu ferninganna í skrefi 4?

Skref 4 hefur 18 litla ferninga.

b. Hver er fjöldi litlu ferninganna í skrefi 5?

Skref 5 hefur 27 litla ferninga.

c. Hver er fjöldi litlu ferninganna í skrefi 10?

Skref 10 hefur 102 litla ferninga.

d. Hver er fjöldi litlu ferninganna í skrefi 12?

Skref 12 hefur 146 litla ferninga.

e. Hver er fjöldi litlu ferninganna í skrefi n?

Berðu saman svarið þitt:

n^{2} + 2

Er vöxtur fjölda litlu ferninganna veldisvöxtur? Útskýrðu hvernig þú veist það.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Nei. Frá skrefi 1 til skrefs 2 tvöfaldast fjöldi ferninga.

Frá skrefi 2 til skrefs 3 eykst fjöldi ferninga um stuðulinn:

\frac{11}{6}

Frá skrefi 3 til skrefs 4 eykst fjöldi ferninga um stuðulinn:

\frac{18}{11}

Vaxtarstuðlarnir eru ekki þeir sömu. Í vísisfalli breytast gildin hins vegar um sama stuðul þegar inntakið eykst um jafnstór skref.

Stæðan fyrir skref n er:

n^{2} + 2

Þetta er dæmi um annars stigs stæðu. Annars stigs stæðu má rita með lið í öðru veldi. Hana má einnig rita á fleiri vegu, en hæsti veldisvísir breytunnar verður að vera 2.

Annars stigs tengsl eru ekki eins og línuleg tengsl, því þegar önnur stærðin eykst um ákveðna tölu eykst hin stærðin ekki alltaf um sömu tölu.

Annars stigs tengsl eru ekki eins og tengsl í vísisfalli, því þegar önnur stærðin eykst um ákveðna tölu breytist hin stærðin ekki alltaf um sama stuðul.

Dýpkun

Han skrifaði eftirfarandi stæðu fyrir fjölda litlu ferninganna í skrefi n í mynstrinu í upphafi verkefnisins:

n (n + 2) - 2 (n - 1)

Útskýrðu hvers vegna Han hefur rétt fyrir sér.

Berðu saman svarið þitt: Í skrefi n má hugsa myndina sem rétthyrning sem er n ferningar á hæð og n + 2 ferningar á breidd.

n (n + 2)

Í þessum rétthyrningi eru tveir dálkar fjarlægðir, með n - 1 ferningum í hvorum dálki.

2 (n - 1)

Teiknaðu og merktu hvernig skref 3 lítur út þegar stæða Han er notuð.

Berðu saman svarið þitt: Ég teiknaði rétthyrning sem er þrír ferningar á hæð og fimm ferningar á breidd. Síðan fjarlægði ég tvo litla ferninga úr fyrsta dálki og tvo úr síðasta dálki.

Ferningamynd þar sem neðsta röðin hefur 5 ferninga og fyrir ofan eru tvær raðir með þremur ferningum hvor. Brotalínur sýna ferningana sem vantar á ytri köntum annarrar og þriðju raðar. Vinstri hlið er merkt n og neðri hlið n + 2; með brotalínunum myndar heildin rétthyrning.

Myndband: Annars stigs stæður

Horfðu á myndbandið til að læra meira um annars stigs stæður.

Viðbótarefni

Að rita stæður út frá mynstrum

Finndu fjölda punkta í skrefi 5 og ritaðu stæðu sem gefur fjölda punkta í skrefi n.

Punktamynstur. Skref 0 hefur tvær raðir með tveimur punktum í hvorri. Skref 1 hefur þrjár raðir; í fyrstu tveimur eru tveir punktar í hvorri og í þriðju eru þrír punktar. Skref 2 hefur tvær raðir með tveimur punktum í hvorri og síðan tvær raðir með þremur punktum í hvorri, alls fjórar raðir. Skref 3 hefur tvær raðir með tveimur punktum í hvorri og síðan þrjár raðir með þremur punktum í hvorri, alls fimm raðir.

Skref 1 - Gerðu töflu til að finna mynstrið.

Skref	Fjöldi punkta
0	4
1	7
2	10
3	13

Skref 2 - Upphafsmyndin hefur 2 raðir og 2 dálka, eða 4 punkta. Í hverju skrefi bætist við ein röð með 2 punktum og 1 punktur til viðbótar. Því bætast 3 punktar við í hverju skrefi.

Skref 3 - Ef þessu línulega mynstri er haldið áfram hefur skref 5 19 punkta.

Skref 4 - Ein möguleg stæða er:

3 n + 4

Þetta er línuleg stæða.

Í hverju skrefi er skrefnúmerið sett í annað veldi, það tvöfaldað og síðan bætt við 1.

Því eru alls 51 punktur í skrefi 5.

Stæðan er:

2 n^{2} + 1

Hér táknar n skrefnúmerið. Þetta er annars stigs stæða.

Skref

Fjöldi punkta