7.15.2 Topppunktsformið
7.15.2 • Topppunktsformið
Verkefni
Hér eru tvö sett af jöfnum fyrir annars stigs föll sem þú hefur séð áður. Í hverju setti eru stæðurnar sem ákvarða úttakið jafngildar. Með öðrum orðum skilgreina allar jöfnurnar í setti 1 sama fallið. Sama gildir um sett 2: allar jöfnurnar skilgreina sama fallið, en þær eru ritaðar á mismunandi formum.
Sett 1:
Sett 2:
Stæðan sem skilgreinir h er rituð á topppunktsformi. Við getum sýnt að hún sé jafngild stæðunni sem skilgreinir f með því að margfalda upp úr svigum og einfalda stæðuna:
(x + 2)² − 4 = (x + 2)(x + 2) − 4 = x² + 2x + 2x + 4 − 4 = x² + 4x, sem er f(x)
Ef þessi einfaldaða stæða er þáttuð, fáum við stæðuna sem skilgreinir fallið g: x² + 4x = x(x + 4). Stæðan sem skilgreinir g er rituð á þáttuðu formi. Einfaldaða stæðan sem skilgreinir fallið f er rituð á staðalformi.
Æfing
1. Sýndu að stæðurnar sem skilgreina r og p séu jafngildar.
Lausn
Berðu svarið þitt saman:
Þegar margfaldað er upp úr svigum og fallið r einfaldað fæst −1(x − 3)² + 4 = −1(x² − 6x + 9) + 4 = −x² + 6x − 9 + 4 = −x² + 6x − 5.
Í spurningum 2-3 skaltu skoða gröfin sem tákna annars stigs föllin.
2. Skoðaðu graf fallsins h.
a. Hvert er x-hnit topppunktsins á grafi h?
Lausn
-2
b. Hvert er y-hnit topppunktsins á grafi h?
Lausn
-4
3. Skoðaðu graf fallsins r.
a. Hvert er x-hnit topppunktsins á grafi r?
Lausn
3
b. Hvert er y-hnit topppunktsins á grafi r?
Lausn
4
4. Hvers vegna heldur þú að stæður eins og þær sem skilgreina h og r séu sagðar vera ritaðar á topppunktsformi?
Lausn
Berðu svarið þitt saman:
Tölurnar í topppunktsforminu virðast gefa hnit topppunkts grafsins. Þegar jákvæð tala er lögð við x inni í sviganum virðist x-hnit topppunktsins vera neikvætt, það er gagnstæð tala. Þegar tala er dregin frá x virðist x-hnit topppunktsins vera jákvætt, líka gagnstætt því sem stæðan sýnir við fyrstu sýn.
Viðbótarefni
Jafngild form annars stigs falla
Annars stigs föll má rita á mismunandi jafngildum formum:
- Staðalform: y = ax² + bx + c
- Þáttað form: y = (x + a)(x + b)
- Topppunktsform: y = a(x − h)² + k
Dæmi
Ritaðu á staðalformi og þáttuðu formi.
Svona finnur þú jafngilt staðalform:
Skref 1 - Margfaldaðu upp úr topppunktsforminu til að margfalda tvíliðurnar.
Skref 2 - Margfaldaðu tvíliðurnar.
Skref 3 - Dragðu saman líka liði.
Svona finnur þú þáttaða formið:
Skref 1 - Út frá staðalforminu skaltu finna þætti þríliðunnar .
Skref 2 - Skoðaðu þríliðuna.
Skref 3 - Þáttaðu þríliðuna.
Þáttaða formið er .