6Yfirlit og undirbúningur fyrir kafla 6

Einföldun stæðna með reglum um veldi: Upprifjun

Spurning úr stuttri upprifjun

Spurning 1: Hvaða stæða er rétt?

\frac{x^{8}}{x^{4}} = x^{2}

\frac{y^{6}}{y^{2}} = y^{3}

x^{2} \cdot x^{3} = x^{6}

y \cdot y^{3} = y^{4}

Einföldun stæðna með reglum um veldi

Skoðum fyrst stæðuna:

y^{4} \cdot y^{2}

y^{4} = y \cdot y \cdot y \cdot y

Veldisvísirinn 4 merkir að það eru fjórir þættir af y.

y^{2} = y \cdot y

Veldisvísirinn 2 merkir að það eru tveir þættir af y.

y^{4} \cdot y^{2} = y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y

Þá eru þættirnir sex og stæðuna má rita sem:

y^{4} \cdot y^{2} = y^{6}

Taktu eftir að veldisvísir svarsins er summa veldisvísanna í þáttunum.

Þegar veldi með sama veldisstofni eru margfölduð, heldur þú veldisstofninum og leggur veldisvísana saman.

Margfeldisregla fyrir veldi

Ef a er rauntala og m og n eru heiltölur, þá gildir:

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

Til að margfalda veldi með sama veldisstofni leggur þú veldisvísana saman.

Skoðum nú stæðuna:

\frac{y^{5}}{y^{3}}

y^{5} = y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y

Veldisvísirinn 5 merkir að það eru fimm þættir af y.

y^{3} = y \cdot y \cdot y

Veldisvísirinn 3 merkir að það eru þrír þættir af y.

\frac{y^{5}}{y^{3}} = y^{2}

Eftir styttingu eru tveir þættir af y eftir, sem má rita sem y í öðru veldi.

Taktu eftir að veldisvísir svarsins er mismunur veldisvísanna í þættinum í teljara og þættinum í nefnara.

Þegar veldi með sama veldisstofni eru deild, heldur þú veldisstofninum og dregur veldisvísana frá.

Kvótaregla fyrir veldi

Ef a er rauntala, a er ekki núll, og m og n eru heiltölur, þá gildir:

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}, m > n

\frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}}, n > m

Til að deila veldum með sama veldisstofni dregur þú veldisvísana frá. Ef niðurstaðan gefur neikvæðan veldisvísi má rita svarið sem brot.

Dæmi

Hér er sýnt hvernig má einfalda stæður með reglum um veldi.

Stofnarnir eru þeir sömu. Notaðu margfeldisregluna.

Lausn

x^{2} \cdot x^{3}

x^{2} \cdot x^{3} = x^{2 + 3} = x^{5}

Breyta án sýnds veldisvísis hefur veldisvísinn 1.

Lausn

y = y^{1}

y \cdot y^{4} = y^{1} \cdot y^{4} = y^{1 + 4} = y^{5}

Stofnarnir eru þeir sömu. Notaðu kvótaregluna.

Lausn

\frac{x^{5}}{x^{2}} = x^{5 - 2} = x^{3}

Stæðan inniheldur sömu veldisstofna. Notaðu kvótaregluna á hvern stofn.

Lausn

\frac{x^{4} y z}{x^{2} y^{2} z}

\frac{x^{4} y z}{x^{2} y^{2} z} = \frac{x^{4} y^{1} z^{1}}{x^{2} y^{2} z^{1}}

\frac{x^{4 - 2} z^{1 - 1}}{y^{2 - 1}} = \frac{x^{2} z^{0}}{y^{1}} = \frac{x^{2}}{y}

Mundu: sérhver tala önnur en núll í núllta veldi er 1.

Athugaðu skilning þinn

Hvaða stæða jafngildir eftirfarandi?

y^{6}

y^{2} \cdot y^{3}

y \cdot y^{6}

\frac{y^{12}}{y^{2}}

\frac{y^{12}}{y^{6}}

Rétta svarið er síðasta stæðan. Þegar veldisstæðum með sama veldisstofni er deilt, heldur þú veldisstofninum og dregur veldisvísana frá. Hér er lokaveldisvísirinn 6 vegna þess að 12 − 6 = 6.

Myndbönd: Einföldun stæðna með veldum

Khan Academy: reglur um margföldun velda

Horfðu á þetta myndband til að sjá hvernig margfalda má stæður með veldum.

Khan Academy: reglur um deilingu velda

Horfðu á þetta myndband til að sjá hvernig deila má stæðum með veldum.

6Yfirlit og undirbúningur fyrir kafla 6

Einföldun stæðna með reglum um veldi: Upprifjun

Spurning úr stuttri upprifjun

Spurning 1: Hvaða stæða er rétt?

\frac{x^{8}}{x^{4}} = x^{2}

\frac{y^{6}}{y^{2}} = y^{3}

x^{2} \cdot x^{3} = x^{6}

y \cdot y^{3} = y^{4}

Einföldun stæðna með reglum um veldi

Skoðum fyrst stæðuna:

y^{4} \cdot y^{2}

y^{4} = y \cdot y \cdot y \cdot y

Veldisvísirinn 4 merkir að það eru fjórir þættir af y.

y^{2} = y \cdot y

Veldisvísirinn 2 merkir að það eru tveir þættir af y.

y^{4} \cdot y^{2} = y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y

Þá eru þættirnir sex og stæðuna má rita sem:

y^{4} \cdot y^{2} = y^{6}

Taktu eftir að veldisvísir svarsins er summa veldisvísanna í þáttunum.

Þegar veldi með sama veldisstofni eru margfölduð, heldur þú veldisstofninum og leggur veldisvísana saman.

Margfeldisregla fyrir veldi

Ef a er rauntala og m og n eru heiltölur, þá gildir:

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

Til að margfalda veldi með sama veldisstofni leggur þú veldisvísana saman.

Skoðum nú stæðuna:

\frac{y^{5}}{y^{3}}

y^{5} = y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y

Veldisvísirinn 5 merkir að það eru fimm þættir af y.

y^{3} = y \cdot y \cdot y

Veldisvísirinn 3 merkir að það eru þrír þættir af y.

\frac{y^{5}}{y^{3}} = y^{2}

Eftir styttingu eru tveir þættir af y eftir, sem má rita sem y í öðru veldi.

Taktu eftir að veldisvísir svarsins er mismunur veldisvísanna í þættinum í teljara og þættinum í nefnara.

Þegar veldi með sama veldisstofni eru deild, heldur þú veldisstofninum og dregur veldisvísana frá.

Kvótaregla fyrir veldi

Ef a er rauntala, a er ekki núll, og m og n eru heiltölur, þá gildir:

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}, m > n

\frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}}, n > m

Til að deila veldum með sama veldisstofni dregur þú veldisvísana frá. Ef niðurstaðan gefur neikvæðan veldisvísi má rita svarið sem brot.

Dæmi

Hér er sýnt hvernig má einfalda stæður með reglum um veldi.

Stofnarnir eru þeir sömu. Notaðu margfeldisregluna.

Lausn

x^{2} \cdot x^{3}

x^{2} \cdot x^{3} = x^{2 + 3} = x^{5}

Breyta án sýnds veldisvísis hefur veldisvísinn 1.

Lausn

y = y^{1}

y \cdot y^{4} = y^{1} \cdot y^{4} = y^{1 + 4} = y^{5}

Stofnarnir eru þeir sömu. Notaðu kvótaregluna.

Lausn

\frac{x^{5}}{x^{2}} = x^{5 - 2} = x^{3}

Stæðan inniheldur sömu veldisstofna. Notaðu kvótaregluna á hvern stofn.

Lausn

\frac{x^{4} y z}{x^{2} y^{2} z}

\frac{x^{4} y z}{x^{2} y^{2} z} = \frac{x^{4} y^{1} z^{1}}{x^{2} y^{2} z^{1}}

\frac{x^{4 - 2} z^{1 - 1}}{y^{2 - 1}} = \frac{x^{2} z^{0}}{y^{1}} = \frac{x^{2}}{y}

Mundu: sérhver tala önnur en núll í núllta veldi er 1.

Athugaðu skilning þinn

Hvaða stæða jafngildir eftirfarandi?

y^{6}

y^{2} \cdot y^{3}

y \cdot y^{6}

\frac{y^{12}}{y^{2}}

\frac{y^{12}}{y^{6}}

Myndbönd: Einföldun stæðna með veldum

Khan Academy: reglur um margföldun velda

Horfðu á þetta myndband til að sjá hvernig margfalda má stæður með veldum.

Khan Academy: reglur um deilingu velda

Horfðu á þetta myndband til að sjá hvernig deila má stæðum með veldum.