55.8 Veldisaðstæður sem föll

5.8.3 Mál falla og falltáknun

5.8.3 • Mál falla og falltáknun

Verkefni

Veldisfall er ritað á þessu formi:

f (x) = a \cdot b^{x}

Hér er a upphafsgildið og b vaxtarstuðullinn.

Í líffræðirannsóknastofu fjölgar stofni með 50 bakteríum með frumuskiptingu. Á hverri heilli klukkustund skiptir hver baktería sér í tvær bakteríur.

Lausn

a. Skrifaðu setningu á forminu „_____ er fall af _____“.

Berðu saman svarið þitt:

Fjöldi baktería er fall af liðnum tíma, mældum í klukkustundum.

b. Tilgreindu hvor breytan er óháð og hvor er háð.

Berðu saman svarið þitt:

Óháð breyta: fjöldi klukkustunda. Háð breyta: fjöldi baktería.

c. Skrifaðu jöfnu fyrir aðstæðurnar með falltáknun.

Berðu saman svarið þitt:

f (t) = 50 \cdot 2^{t}

Á hverju ári eftir að nýr bíll er keyptur lækkar virði hans um þriðjung. Segjum að bíllinn kosti 18.000 dollara þegar hann er nýr.

Lausn

\frac{1}{3}

a. Skrifaðu setningu á forminu „_____ er fall af _____“.

Berðu saman svarið þitt:

Virði bílsins er fall af fjölda ára frá kaupum.

b. Tilgreindu hvor breytan er óháð og hvor er háð.

Berðu saman svarið þitt:

Óháð breyta: fjöldi ára frá kaupum. Háð breyta: virði bílsins í dollurum.

c. Skrifaðu jöfnu fyrir aðstæðurnar með falltáknun.

Berðu saman svarið þitt:

f (t) = 18.000 \cdot {(\frac{2}{3})}^{t}

Athugaðu að lækkunarhlutfallið er þriðjungur. Vaxtarstuðullinn, eða sá hluti virðisins sem er eftir, er:

1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Til að stemma stigu við þörungablóma í stöðuvatni nota vísindamenn meðferðarefni. Daginn sem meðferðin hefst þekja þörungar 240 fersjarda. Á hverjum degi eftir að meðferðin hefst er þriðjungur af flatarmáli fyrri dags enn þakinn þörungum. Tíminn t er mældur í dögum.

Lausn

\frac{1}{3}

a. Skrifaðu setningu á forminu „_____ er fall af _____“.

Berðu saman svarið þitt:

Flatarmálið sem þörungar þekja er fall af fjölda daga frá því að meðferðin hófst.

b. Tilgreindu hvor breytan er óháð og hvor er háð.

Berðu saman svarið þitt:

Óháð breyta: fjöldi daga frá því að meðferðin hófst. Háð breyta: flatarmál þörunganna í fersjördum.

c. Skrifaðu jöfnu fyrir aðstæðurnar með falltáknun.

Berðu saman svarið þitt:

f (t) = 240 \cdot {(\frac{1}{3})}^{t}

Hér er þriðjungur notaður sem vaxtarstuðull vegna þess að hann táknar þann hluta flatarmálsins sem er eftir á hverjum degi.

Myndbandið í upprunanum sýnir einnig hvernig rita má veldisfall út frá aðstæðum.

Viðbótarefni

Að rita föll út frá veldisaðstæðum

Veldisvöxtur

Fall sem lýsir veldisvexti vex með hraða sem er í hlutfalli við stærðina sem er til staðar. Fyrir sérhverja rauntölu x og jákvæðar rauntölur a og b, þar sem b er ekki 1, hefur veldisvaxtarfall þetta form:

b \neq 1

f (x) = a \cdot b^{x}

þar sem a er upphafsgildi fallsins og b er vaxtarstuðullinn, eða margföldunarstuðull vaxtarins, fyrir hverja einingu af x.

Dæmi 1

Upphafsgildi fallsins er 10. Fallið tvöfaldast á hverju ári.

Almennt form:

f (t) = a \cdot b^{t}

Upphafsgildið er:

a = 10

Vaxtarstuðullinn er:

b = 2

Einingin er tími í árum, svo við notum t.

f (t) = 10 \cdot 2^{t}

Dæmi 2

Ein ekra lands er 40.000 dollara virði við kaup. Virðið tvöfaldast á hverjum áratug. Ritaðu jöfnu fyrir aðstæðurnar þar sem t er tími í áratugum.

a = 40.000

b = 2

f (t) = 40.000 \cdot 2^{t}

55.8 Veldisaðstæður sem föll

5.8.3 Mál falla og falltáknun

5.8.3 • Mál falla og falltáknun

Verkefni

Veldisfall er ritað á þessu formi:

f (x) = a \cdot b^{x}

Hér er a upphafsgildið og b vaxtarstuðullinn.

Í líffræðirannsóknastofu fjölgar stofni með 50 bakteríum með frumuskiptingu. Á hverri heilli klukkustund skiptir hver baktería sér í tvær bakteríur.

Lausn

a. Skrifaðu setningu á forminu „_____ er fall af _____“.

Berðu saman svarið þitt:

Fjöldi baktería er fall af liðnum tíma, mældum í klukkustundum.

b. Tilgreindu hvor breytan er óháð og hvor er háð.

Berðu saman svarið þitt:

Óháð breyta: fjöldi klukkustunda. Háð breyta: fjöldi baktería.

c. Skrifaðu jöfnu fyrir aðstæðurnar með falltáknun.

Berðu saman svarið þitt:

f (t) = 50 \cdot 2^{t}

Á hverju ári eftir að nýr bíll er keyptur lækkar virði hans um þriðjung. Segjum að bíllinn kosti 18.000 dollara þegar hann er nýr.

Lausn

\frac{1}{3}

a. Skrifaðu setningu á forminu „_____ er fall af _____“.

Berðu saman svarið þitt:

Virði bílsins er fall af fjölda ára frá kaupum.

b. Tilgreindu hvor breytan er óháð og hvor er háð.

Berðu saman svarið þitt:

Óháð breyta: fjöldi ára frá kaupum. Háð breyta: virði bílsins í dollurum.

c. Skrifaðu jöfnu fyrir aðstæðurnar með falltáknun.

Berðu saman svarið þitt:

f (t) = 18.000 \cdot {(\frac{2}{3})}^{t}

Athugaðu að lækkunarhlutfallið er þriðjungur. Vaxtarstuðullinn, eða sá hluti virðisins sem er eftir, er:

1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Lausn

\frac{1}{3}

a. Skrifaðu setningu á forminu „_____ er fall af _____“.

Berðu saman svarið þitt:

Flatarmálið sem þörungar þekja er fall af fjölda daga frá því að meðferðin hófst.

b. Tilgreindu hvor breytan er óháð og hvor er háð.

Berðu saman svarið þitt:

Óháð breyta: fjöldi daga frá því að meðferðin hófst. Háð breyta: flatarmál þörunganna í fersjördum.

c. Skrifaðu jöfnu fyrir aðstæðurnar með falltáknun.

Berðu saman svarið þitt:

f (t) = 240 \cdot {(\frac{1}{3})}^{t}

Hér er þriðjungur notaður sem vaxtarstuðull vegna þess að hann táknar þann hluta flatarmálsins sem er eftir á hverjum degi.

Myndbandið í upprunanum sýnir einnig hvernig rita má veldisfall út frá aðstæðum.

Viðbótarefni

Að rita föll út frá veldisaðstæðum

Veldisvöxtur

b \neq 1

f (x) = a \cdot b^{x}

þar sem a er upphafsgildi fallsins og b er vaxtarstuðullinn, eða margföldunarstuðull vaxtarins, fyrir hverja einingu af x.

Dæmi 1

Upphafsgildi fallsins er 10. Fallið tvöfaldast á hverju ári.

Almennt form:

f (t) = a \cdot b^{t}

Upphafsgildið er:

a = 10

Vaxtarstuðullinn er:

b = 2

Einingin er tími í árum, svo við notum t.

f (t) = 10 \cdot 2^{t}

Dæmi 2

Ein ekra lands er 40.000 dollara virði við kaup. Virðið tvöfaldast á hverjum áratug. Ritaðu jöfnu fyrir aðstæðurnar þar sem t er tími í áratugum.

a = 40.000

b = 2

f (t) = 40.000 \cdot 2^{t}