55.4 Framsetning á veldisvexti

5.4.3 Veldisbreyting: vaxtarstuðullinn

5.4.3 • Veldisbreyting: vaxtarstuðullinn

Verkefni

Í veldisfalli er úttakið margfaldað með sama þætti í hvert sinn sem inntakið eykst um einn. Þessi margfaldari kallast vaxtarstuðull.

Á líffræðirannsóknarstofu eru 500 bakteríur sem fjölga sér með skiptingu. Á hverri klukkustund skiptir hver baktería sér í tvær bakteríur. Fylltu út töfluna með stæðu sem sýnir fjölda baktería eftir hverja klukkustund.

Lausn

klukkustund	fjöldi baktería
0	500
1	a. _____
2	b. _____
3	c. _____
6	d. _____
t	e. _____

a. Svar:

500 \cdot 2

b. Svar:

500 \cdot 2 \cdot 2

c. Svar:

500 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Svarið má einnig rita:

500 \cdot 2^{3}

d. Svar:

500 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Svarið má einnig rita:

500 \cdot 2^{6}

e. Svar:

500 \cdot 2^{t}

Hvaða jafna tengir n, fjölda baktería, við t, fjölda klukkustunda?

$n = 500 + 2 t$
$n = 500 + 2^{t}$
$n = 500 \cdot 2^{t}$
$n = 500 \cdot 2 \cdot t$

Lausn

n = 500 \cdot 2^{t}

Notaðu jöfnuna til að finna n þegar t er 0. Hvað þýðir þetta gildi n í þessum aðstæðum?

Lausn

500. Þegar t er 0 fæst:

n = 500 \cdot 2^{0}

2^{0} = 1

n = 500 \cdot 1 = 500

Talan 500 er fjöldi baktería í upphafi, það er við klukkustund 0.

Á annarri líffræðirannsóknarstofu fjölgar stofni einfruma sníkjudýra einnig á klukkustundarfresti. Jafna sem gefur fjölda sníkjudýra, p, eftir t klukkustundir er:

p = 100 \cdot 3^{t}

Útskýrðu hvað tölurnar 100 og 3 merkja í þessum aðstæðum.

Lausn

100 er fjöldi sníkjudýra við klukkustund 0, því:

100 \cdot 3^{0} = 100

Talan 3 er vaxtarstuðullinn; hún þýðir að fjöldi sníkjudýra þrefaldast á hverri klukkustund.

Viðbótarefni

Að finna fasta kvótann í veldisfalli

Hver er fasti kvótinn, einnig kallaður vaxtarstuðull, í veldisfallinu sem taflan sýnir? Ritaðu hvern lið þannig að upphafsgildið og endurtekin notkun fasta kvótans komi fram.

x	0	1	2	3	4
f(x)	4	12	36	108	324

Upphafsgildið er 4. Hvert gildi í töflunni er 3 sinnum gildið á undan, svo fasti kvótinn og vaxtarstuðullinn er 3.

Skilgreining á veldisvexti

Úttak veldisfalla getur aukist mjög hratt. Þess vegna er orðið veldisvöxtur oft notað í daglegu tali um eitthvað sem vex hratt. Í stærðfræði er merkingin nákvæmari: fall lýsir veldisvexti þegar breytingarhraðinn er í hlutfalli við það magn sem er til staðar.

Veldisvöxtur

Fall sem lýsir veldisvexti hefur eftirfarandi form, þar sem x er rauntala og a og b eru jákvæðar rauntölur með b ekki jafnt og 1:

f (x) = a \cdot b^{x}

a er upphafsgildi fallsins.

b er vaxtarstuðullinn, það er fasti margfaldarinn fyrir hverja einingu sem x eykst um.

Í næstu töflu er upphafsgildið 4, því það er gildi fallsins þegar x er 0.

Fasti kvótinn b er 3, því hvert gildi í töflunni er 3 sinnum gildið á undan.

f (x) = 4 \cdot 3^{x}

x	0	1	2	3	4
f(x)	4	4 · 3¹	4 · 3²	4 · 3³	4 · 3⁴

Reyndu þetta

Að finna fasta kvótann í veldisfalli

Hver er fasti kvótinn í eftirfarandi veldisfalli?

x	1	2	3	4
f(x)	10	20	40	80

Svona má finna fasta kvótann í töflu fyrir veldisfall: Fyrst skaltu ganga úr skugga um að taflan sýni veldistengsl. Ef x-gildin hækka um 1, deilir þú samliggjandi úttaksgildum til að finna vaxtarstuðulinn.

20 \div 10 = 2

40 \div 20 = 2

80 \div 40 = 2

Vaxtarstuðullinn er því 2.

55.4 Framsetning á veldisvexti

5.4.3 Veldisbreyting: vaxtarstuðullinn

5.4.3 • Veldisbreyting: vaxtarstuðullinn

Verkefni

Í veldisfalli er úttakið margfaldað með sama þætti í hvert sinn sem inntakið eykst um einn. Þessi margfaldari kallast vaxtarstuðull.

Lausn

klukkustund	fjöldi baktería
0	500
1	a. _____
2	b. _____
3	c. _____
6	d. _____
t	e. _____

a. Svar:

500 \cdot 2

b. Svar:

500 \cdot 2 \cdot 2

c. Svar:

500 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Svarið má einnig rita:

500 \cdot 2^{3}

d. Svar:

500 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Svarið má einnig rita:

500 \cdot 2^{6}

e. Svar:

500 \cdot 2^{t}

Hvaða jafna tengir n, fjölda baktería, við t, fjölda klukkustunda?

$n = 500 + 2 t$
$n = 500 + 2^{t}$
$n = 500 \cdot 2^{t}$
$n = 500 \cdot 2 \cdot t$

Lausn

n = 500 \cdot 2^{t}

Notaðu jöfnuna til að finna n þegar t er 0. Hvað þýðir þetta gildi n í þessum aðstæðum?

Lausn

500. Þegar t er 0 fæst:

n = 500 \cdot 2^{0}

2^{0} = 1

n = 500 \cdot 1 = 500

Talan 500 er fjöldi baktería í upphafi, það er við klukkustund 0.

Á annarri líffræðirannsóknarstofu fjölgar stofni einfruma sníkjudýra einnig á klukkustundarfresti. Jafna sem gefur fjölda sníkjudýra, p, eftir t klukkustundir er:

p = 100 \cdot 3^{t}

Útskýrðu hvað tölurnar 100 og 3 merkja í þessum aðstæðum.

Lausn

100 er fjöldi sníkjudýra við klukkustund 0, því:

100 \cdot 3^{0} = 100

Talan 3 er vaxtarstuðullinn; hún þýðir að fjöldi sníkjudýra þrefaldast á hverri klukkustund.

Viðbótarefni

Að finna fasta kvótann í veldisfalli

Hver er fasti kvótinn, einnig kallaður vaxtarstuðull, í veldisfallinu sem taflan sýnir? Ritaðu hvern lið þannig að upphafsgildið og endurtekin notkun fasta kvótans komi fram.

x	0	1	2	3	4
f(x)	4	12	36	108	324

Upphafsgildið er 4. Hvert gildi í töflunni er 3 sinnum gildið á undan, svo fasti kvótinn og vaxtarstuðullinn er 3.

Skilgreining á veldisvexti

Veldisvöxtur

Fall sem lýsir veldisvexti hefur eftirfarandi form, þar sem x er rauntala og a og b eru jákvæðar rauntölur með b ekki jafnt og 1:

f (x) = a \cdot b^{x}

a er upphafsgildi fallsins.

b er vaxtarstuðullinn, það er fasti margfaldarinn fyrir hverja einingu sem x eykst um.

Í næstu töflu er upphafsgildið 4, því það er gildi fallsins þegar x er 0.

Fasti kvótinn b er 3, því hvert gildi í töflunni er 3 sinnum gildið á undan.

f (x) = 4 \cdot 3^{x}

x	0	1	2	3	4
f(x)	4	4 · 3¹	4 · 3²	4 · 3³	4 · 3⁴

Reyndu þetta

Að finna fasta kvótann í veldisfalli

Hver er fasti kvótinn í eftirfarandi veldisfalli?

x	1	2	3	4
f(x)	10	20	40	80

20 \div 10 = 2

40 \div 20 = 2

80 \div 40 = 2

Vaxtarstuðullinn er því 2.