55.4 Framsetning á veldisvexti

5.4.2 Núllveldisreglan

5.4.2 • Núllveldisreglan

Verkefni

Fylltu út töfluna með því að skrá gildin fyrir a, b og c fyrir neðan töfluna. Nýttu þér mynstur sem þú tekur eftir.

Lausn

3^{x}

x	4	3	2	1	0
gildi stæðunnar	81	27	a. _____	b. _____	c. _____

a. Svar: 9.

b. Svar: 3.

c. Svar: 1.

Hér eru nokkrar jöfnur. Finndu lausn hverrar jöfnu með því að nota það sem þú veist um veldisreglur. Útskýrðu rökstuðninginn.

9^{x} \cdot 9^{7} = 9^{7}

Lausn

x = 0.

\frac{9^{12}}{9^{x}} = 9^{12}

Svar: x = 0.

Svaraðu eftirfarandi spurningum.

a. Hvert er gildi stæðunnar?

5^{0}

Lausn

1. Fyrir jákvæðar heiltölur gildir margfeldisreglan fyrir veldi:

5^{a} \cdot 5^{b} = 5^{a + b}

Til þess að reglan gildi áfram þegar veldisvísirinn er 0 þarf eftirfarandi að vera satt:

5^{0} \cdot 5^{4} = 5^{4}

1 \cdot 5^{4} = 5^{4}

b. Hvað með þessa stæðu?

2^{0}

Svar: 1. Sama röksemd gildir fyrir veldisstofninn 2:

2^{a} \cdot 2^{b} = 2^{a + b}

2^{0} \cdot 2^{4} = 2^{4}

1 \cdot 2^{4} = 2^{4}

Tilbúin í meira?

Lausn

Hugsað lengra

Við vitum til dæmis að svigar breyta ekki gildi stæðunnar í þessum dæmum:

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

2 \cdot (3 \cdot 5) = (2 \cdot 3) \cdot 5

Gildir þetta líka um veldi? Eru þessar tvær tölur jafnar? Ef ekki, hvor er stærri?

2^{3^{5}}

{2^{3}}^{5}

Lausn

Tölurnar tvær eru alls ekki nálægt hvor annarri. Þar sem:

3^{5} = 243

er fyrri talan:

2^{243}

Hins vegar má einfalda seinni töluna svona:

{2^{3}}^{5} = 2^{3} \cdot 2^{3} \cdot 2^{3} \cdot 2^{3} \cdot 2^{3} = 2^{15}

Fyrri talan er miklu stærri en sú seinni.

Hvora merkinguna myndir þú velja fyrir stæðuna hér að neðan þegar hún er rituð án sviga?

2^{3^{5}}

Venjulega skilgreinum við endurtekin veldi með því að vinna okkur niður turninn. Ein ástæða er að ef unnið er upp turninn, eins og í dæminu hér að ofan, má þegar einfalda með veldisreglum.

Viðbótarefni

Núll sem veldisvísir

Hvers vegna eru þessar stæður jafnar 1, en næstu tvær stæður hafa ekki sama gildi?

2^{0} = 1

5^{0} = 1

2^{3}

5^{3}

Að svara þessari spurningu hjálpar okkur að skilja núllveldisregluna.

Veldi tákna almennt endurtekna margföldun, líkt og margföldun táknar endurtekna samlagningu. Notum það til að reikna þessi gildi:

2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8

5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125

8 og 125 eru augljóslega mjög ólíkar tölur, en aðferðin við að finna svörin var sú sama. Ef við setjum þetta í töflu getum við unnið afturábak til að sjá hvers vegna stæður með veldisvísinn 0 fá gildið 1.

Með því að nota fallið hér að neðan og fylla inn þau gildi sem við þekkjum fæst tafla 1:

y = 2^{x}

x	0	1	2	3
y		2	4	8

Með því að endurtaka ferlið fyrir næsta fall fæst tafla 2:

y = 5^{x}

x	0	1	2	3
y		5	25	125

Þar sem veldi tákna endurtekna margföldun finnast næstu gildi með því að margfalda aftur með veldisstofninum. Ef unnið er afturábak er deilt með sama fasta kvóta.

x	0	1	2	3
y	2 ÷ 2 = 1	4 ÷ 2 = 2	8 ÷ 2 = 4	8

Endurtökum ferlið fyrir töflu 2:

x	0	1	2	3
y	5 ÷ 5 = 1	25 ÷ 5 = 5	125 ÷ 5 = 25	125

Þegar þú hefur unnið afturábak í báðum töflum sérðu að stæður með veldisvísinn 0 fá gildið 1. Þegar veldisvísirinn er 1 er svarið það sama og veldisstofninn, þannig að þegar deilt er með sama fasta kvóta fæst 1. Þetta er mikilvæg regla sem getur sparað mikinn tíma.

55.4 Framsetning á veldisvexti

5.4.2 Núllveldisreglan

5.4.2 • Núllveldisreglan

Verkefni

Fylltu út töfluna með því að skrá gildin fyrir a, b og c fyrir neðan töfluna. Nýttu þér mynstur sem þú tekur eftir.

Lausn

3^{x}

x	4	3	2	1	0
gildi stæðunnar	81	27	a. _____	b. _____	c. _____

a. Svar: 9.

b. Svar: 3.

c. Svar: 1.

Hér eru nokkrar jöfnur. Finndu lausn hverrar jöfnu með því að nota það sem þú veist um veldisreglur. Útskýrðu rökstuðninginn.

9^{x} \cdot 9^{7} = 9^{7}

Lausn

x = 0.

\frac{9^{12}}{9^{x}} = 9^{12}

Svar: x = 0.

Svaraðu eftirfarandi spurningum.

a. Hvert er gildi stæðunnar?

5^{0}

Lausn

1. Fyrir jákvæðar heiltölur gildir margfeldisreglan fyrir veldi:

5^{a} \cdot 5^{b} = 5^{a + b}

Til þess að reglan gildi áfram þegar veldisvísirinn er 0 þarf eftirfarandi að vera satt:

5^{0} \cdot 5^{4} = 5^{4}

1 \cdot 5^{4} = 5^{4}

b. Hvað með þessa stæðu?

2^{0}

Svar: 1. Sama röksemd gildir fyrir veldisstofninn 2:

2^{a} \cdot 2^{b} = 2^{a + b}

2^{0} \cdot 2^{4} = 2^{4}

1 \cdot 2^{4} = 2^{4}

Tilbúin í meira?

Lausn

Hugsað lengra

Við vitum til dæmis að svigar breyta ekki gildi stæðunnar í þessum dæmum:

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

2 \cdot (3 \cdot 5) = (2 \cdot 3) \cdot 5

Gildir þetta líka um veldi? Eru þessar tvær tölur jafnar? Ef ekki, hvor er stærri?

2^{3^{5}}

{2^{3}}^{5}

Lausn

Tölurnar tvær eru alls ekki nálægt hvor annarri. Þar sem:

3^{5} = 243

er fyrri talan:

2^{243}

Hins vegar má einfalda seinni töluna svona:

{2^{3}}^{5} = 2^{3} \cdot 2^{3} \cdot 2^{3} \cdot 2^{3} \cdot 2^{3} = 2^{15}

Fyrri talan er miklu stærri en sú seinni.

Hvora merkinguna myndir þú velja fyrir stæðuna hér að neðan þegar hún er rituð án sviga?

2^{3^{5}}

Viðbótarefni

Núll sem veldisvísir

Hvers vegna eru þessar stæður jafnar 1, en næstu tvær stæður hafa ekki sama gildi?

2^{0} = 1

5^{0} = 1

2^{3}

5^{3}

Að svara þessari spurningu hjálpar okkur að skilja núllveldisregluna.

Veldi tákna almennt endurtekna margföldun, líkt og margföldun táknar endurtekna samlagningu. Notum það til að reikna þessi gildi:

2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8

5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125

Með því að nota fallið hér að neðan og fylla inn þau gildi sem við þekkjum fæst tafla 1:

y = 2^{x}

x	0	1	2	3
y		2	4	8

Með því að endurtaka ferlið fyrir næsta fall fæst tafla 2:

y = 5^{x}

x	0	1	2	3
y		5	25	125

Þar sem veldi tákna endurtekna margföldun finnast næstu gildi með því að margfalda aftur með veldisstofninum. Ef unnið er afturábak er deilt með sama fasta kvóta.

x	0	1	2	3
y	2 ÷ 2 = 1	4 ÷ 2 = 2	8 ÷ 2 = 4	8

Endurtökum ferlið fyrir töflu 2:

x	0	1	2	3
y	5 ÷ 5 = 1	25 ÷ 5 = 5	125 ÷ 5 = 25	125