55.15 Breytingar yfir jöfn bil

5.15.3 Vaxtarhraði vísisfalls

5.15.3 - Vaxtarhraði vísisfalls

Verkefni

Taflan sýnir nokkur inntaks- og úttaksgildi vísisfallsins g. Reiknireglan er:

g (x) = 3^{x}

x	g(x)
3	27
4	81
5	243
6	729
7	2.187
8	6.561
x
x + 1

Hvernig breytist g(x) í hvert sinn sem x hækkar um 1? Sýndu eða útskýrðu rökstuðninginn.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Úttaksgildin margfaldast með 3. Þegar einu samliggjandi úttaksgildi er deilt með því á undan er kvótinn alltaf 3.

Veldu tvær nýjar samliggjandi heilar tölur sem inntaksgildi og finndu úttaksgildin. Skráðu þau í töfluna. Hvernig breytast úttaksgildin fyrir þessi tvö inntak?

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

g (10) = 3^{10} og g (11) = 3^{11}

Úttakið vex enn um þáttinn 3 þegar inntakið hækkar um 1, til dæmis úr 10 í 11.

Fylltu út töfluna með úttakinu þegar inntakið er x og þegar það er x + 1.

Lausn

x	g(x)
x	3^x
x + 1	3^(x+1)

g (x) = 3^{x}, g (x + 1) = 3^{x + 1}

Skoðaðu hvernig úttaksgildin breytast þegar x hækkar um 1. Er það enn í samræmi við fyrri niðurstöður? Sýndu rökstuðning.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Já. Úttakið margfaldast áfram með 3. Samkvæmt veldareglum gildir:

3^{x} \cdot 3 = 3^{x + 1}

Einnig má sjá sama þátt með kvótareglu veldisreiknings:

\frac{3^{x + 1}}{3^{x}} = 3^{x + 1 - x} = 3

Gerið hlé hér fyrir umræður í bekknum. Vinnið síðan með hópnum að næstu spurningum.

Veldu tvö x-gildi þar sem annað er 3 hærra en hitt, til dæmis 1 og 4. Hvernig breytast úttaksgildi g þegar x hækkar um 3? Hver í hópnum ætti að velja sitt par af tölum og skoða úttakið.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Úttaksgildin margfaldast með 27, sem er:

3^{3} = 27

Fylltu út töfluna með úttakinu þegar inntakið er x og þegar það er x + 3. Er breytingin í samræmi við niðurstöður hópsins í fyrri spurningu? Sýndu rökstuðning.

Lausn

x	g(x)
x	3^x
x + 3	3^(x+3)

g (x) = 3^{x}, g (x + 3) = 3^{x + 3}

Berðu saman svarið þitt: Já. Úttökin margfaldast áfram með 27. Samkvæmt veldareglum gildir:

3^{x} \cdot 3^{3} = 3^{x + 3}

Eða með kvótareglunni:

\frac{3^{x + 3}}{3^{x}} = 3^{x + 3 - x} = 3^{3} = 27

Taktu saman ferlið sem þú notaðir í spurningum 1-6 til að greina gögnin.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið mismunandi.

Útskýrðu hvort það hafi hjálpað að greina einfaldari gögnin fyrst, í spurningum 1-2, áður en þú greindir almennari gögnin í spurningum 3-6.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið mismunandi.

Meira til að hugsa um

Að víkka hugsunina

Fyrir heiltöluinntök má líta á margföldun sem endurtekna samlagningu og veldun sem endurtekna margföldun:

Margföldun sem endurtekin samlagning	Veldun sem endurtekin margföldun
3 · 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3	3^5 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3

3 \cdot 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 og 3^{5} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

Hægt er að halda ferlinu áfram með aðgerðinni tetration, sem hér merkir endurtekna veldun. Hún notar táknið ↑↑:

Tetration sem endurtekin veldun
3 ↑↑ 5 = 3^(3^(3^(3^3)))

3 ↑ ↑ 5 = 3^{3^{3^{3^{3}}}}

Reiknaðu eftirfarandi gildi:

Lausn

2 ↑ ↑ 3 og 3 ↑ ↑ 2

Berðu saman svarið þitt:

2 ↑ ↑ 3 = 2^{2^{2}} = 2^{4} = 16 og 3 ↑ ↑ 2 = 3^{3} = 27

Reiknaðu fallið:

Lausn

f (x) = 3 ↑ ↑ x

Eitt fyrstu gildanna er:

3^{3} = 27

Hvert er sambandið milli f(x) og f(x + 1)?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Tölurnar sem þetta fall gefur verða gífurlega stórar mjög hratt, jafnvel í samanburði við vísisföll. Til dæmis:

f (2) = 27 og f (3) = 3^{f (2)} = 3^{27} = 7.625.597.484.987

Viðbótarefni

Að ákvarða vaxtarhraða vísisfalls

Gerðu ráð fyrir að fallið f sé skilgreint fyrir allar rauntölur. Reiknaðu breytinguna í síðasta dálkinum:

Δ f = f (x + 1) - f (x)

Táknið Δ merkir hér „breyting á“. Hvað tekurðu eftir við Δf? Gæti fallið verið línulegt eða vísisfall? Ritaðu fallreglu, annaðhvort línulega eða fyrir vísisfall, sem gefur sömu inntaks- og úttakspör og taflan sýnir.

x	f(x)	Δf = f(x + 1) − f(x)
0	2
1	6
2	18
3	54
4	162

Í hverri röð dregurðu samliggjandi fallgildi frá hvort öðru:

6 - 2 = 4, 18 - 6 = 12, 54 - 18 = 36, 162 - 54 = 108

Þar sem mismunurinn er ekki fastur er fallið ekki línulegt. Í vísisfalli eru samliggjandi gildi margfölduð með föstum þætti. Ef samliggjandi gildi eru deild hvort með öðru sést að vaxtarstuðullinn er 3.

Jafna vísisfalls hefur formið:

f (x) = upphafsgildi \cdot (^{vaxtarstuðull) x}

Vaxtarstuðullinn er 3. Upphafsgildið er sama og skurðpunkturinn við y-ás, þar sem x = 0. Í töflunni er upphafsgildið 2:

x = 0, f (0) = 2

Jafnan fyrir töfluna er því:

f (x) = 2 \cdot 3^{x}

Að ákvarða vaxtarhraða vísisfalls

Gerðu ráð fyrir að fallið á grafinu sé skilgreint fyrir allar rauntölur. Hver er vaxtarstuðullinn? Ritaðu jöfnu sem skilgreinir fallið.

Graf af vísisvexti með skurðpunkt við y-ás í 1. Grafið fer meðal annars í gegnum punktana (1, 2), (2, 4) og (3, 8).

Berðu saman svarið þitt: Svona má rita jöfnu vísisfalls út frá grafi.

Grafið virðist sýna vísisfall. Þegar samliggjandi punktar eru bornir saman sést að y-gildin margfaldast með 2 í hvert sinn sem x-gildin hækka um 1. Vaxtarstuðullinn er því 2. Grafið sker y-ásinn í punktinum:

(0, 1)

Þar er upphafsgildið. Jafnan fyrir grafið er:

f (x) = 2^{x}

g(x)

243

729

2.187

6.561

x + 1

Margföldun sem endurtekin samlagning

Veldun sem endurtekin margföldun

3 · 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3

3^5 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3

Tetration sem endurtekin veldun

3 ↑↑ 5 = 3^(3^(3^(3^3)))

f(x)

Δf = f(x + 1) − f(x)

162