55.1 Veldisreglur

5.1.4 Veldisreglur fyrir veldi

5.1.4 • Veldisreglur fyrir veldi

Verkefni

Vinnið með félaga að verkefninu. Ræðið ef einfölduðu svörin ykkar eru ólík og gangið úr skugga um að þið skiljið hvert skref í einfölduninni.

Regla um kvóta í neikvæðu veldi

Ef a og b eru rauntölur, a og b eru ekki núll, og n er heiltala, þá gildir:

{(\frac{a}{b})}^{- n} = {(\frac{b}{a})}^{n}, a \neq 0, b \neq 0

Þegar brot er hafið í neikvætt veldi má taka andhverfu brotsins og gera veldisvísinn jákvæðan.

Einfaldaðu dæmi 1-3 með reglunni um kvóta í neikvæðu veldi.

{(\frac{3}{7})}^{- 5}

Berðu saman svarið þitt:

{(\frac{3}{7})}^{- 5} = {(\frac{7}{3})}^{5} = \frac{7^{5}}{3^{5}} = \frac{16807}{243}

{(\frac{- y}{z})}^{- 7}

Berðu saman svarið þitt:

{(\frac{- y}{z})}^{- 7} = {(\frac{- z}{y})}^{7} = \frac{- z^{7}}{y^{7}}

{(\frac{g}{h})}^{- 6}

Berðu saman svarið þitt:

{(\frac{g}{h})}^{- 6} = {(\frac{h}{g})}^{6} = \frac{h^{6}}{g^{6}}

Reglan um veldi af veldi

Ef a er rauntala og m og n eru heiltölur, þá gildir:

{(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}

Til að hefja veldi í annað veldi margfaldar þú veldisvísana.

Einfaldaðu dæmi 4-6 með reglunni um veldi af veldi.

{(4^{2})}^{5}

Berðu saman svarið þitt:

{(4^{2})}^{5} = 4^{10} = 1048576

{(n^{3})}^{7}

Berðu saman svarið þitt:

{(n^{3})}^{7} = n^{21}

{(2^{3})}^{2} {(d^{4})}^{3}

Berðu saman svarið þitt:

{(2^{3})}^{2} {(d^{4})}^{3} = (2^{6}) (d^{12}) = 64 d^{12}

Reglan um margfeldi í veldi

Ef a og b eru rauntölur og m er heil tala sem er ekki neikvæð, þá gildir:

{(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}

Til að hefja margfeldi í veldi hefur þú hvern þátt í sama veldi.

Einfaldaðu dæmi 7-9 með reglunni um margfeldi í veldi.

{(- 2 t v)}^{7}

Berðu saman svarið þitt:

{(- 2 t v)}^{7} = {(- 2)}^{7} t^{7} v^{7} = - 128 t^{7} v^{7}

{(4 p r^{2})}^{5}

Berðu saman svarið þitt:

{(4 p r^{2})}^{5} = 4^{5} p^{5} {(r^{2})}^{5} = 1024 p^{5} r^{10}

{(3 h^{3})}^{- 2}

Berðu saman svarið þitt:

{(3 h^{3})}^{- 2} = {(\frac{1}{3 h^{3}})}^{2} = \frac{1}{3^{2} h^{6}} = \frac{1}{9 h^{6}}

Veldu eitt dæmi hér að ofan og útskýrðu hvert skref fyrir félaga þínum. Hlustaðu síðan á félagann útskýra sitt dæmi.

Viðbótarefni

Regla um kvóta í neikvæðu veldi

Skoðum brot sem er hafið í neikvætt veldi. Skilgreiningin á neikvæðum veldisvísi leiðir að nýrri reglu.

{(\frac{3}{4})}^{- 2}

Notaðu skilgreininguna á neikvæðum veldisvísi.
$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$
$\frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2}}$
Einfaldaðu nefnarann.
$\frac{1}{\frac{9}{16}}$
Einfaldaðu samsetta brotið.
$\frac{16}{9}$

Við vitum líka að:

\frac{16}{9} = {(\frac{4}{3})}^{2}

Skref 4: Því fæst:

{(\frac{3}{4})}^{- 2} = {(\frac{4}{3})}^{2}

Við tókum andhverfu veldisstofnsins, sem hér er brotið sjálft, og breyttum formerki veldisvísisins.

{(\frac{a}{b})}^{- n} = {(\frac{b}{a})}^{n}

Þegar neikvæðir veldisvísar koma fyrir má líka nota margfeldisregluna úr kafla 5.1.2 á stæðum með neikvæðum veldisvísum.

Reglan um veldi af veldi

Skoðum veldisstæðu þar sem veldi er hafið í annað veldi.

Skýringarmynd sýnir að (x^2)^3 merkir að x^2 er margfaldað þrisvar; alls verða sex x-þættir og niðurstaðan er x^6.

Talan 6 er margfeldi veldisvísanna 2 og 3:

{(x^{2})}^{3} = x^{2\cdot3} = x^{6}

Þetta leiðir að reglunni um veldi af veldi.

{(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}

Reglan um margfeldi í veldi

Skoðum margfeldi sem er hafið í veldi.

{(2 x)}^{3}

Skrifaðu hvað veldið merkir.
$2 x \cdot 2 x \cdot 2 x$
Raðaðu eins þáttum saman.
$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$
Skrifaðu með veldum.
$2^{3} \cdot x^{3}$

Veldisvísirinn á við um hvern þátt margfeldisins:

{(2 x)}^{3} = 2^{3} \cdot x^{3}

{(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}

Reglan um kvóta í veldi

Skoðum dæmi sem leiðir að reglunni um kvóta í veldi.

{(\frac{x}{y})}^{3}

Skrifaðu hvað veldið merkir.
$\frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y}$
Margfaldaðu brotin.
$\frac{x \cdot x \cdot x}{y \cdot y \cdot y}$
Skrifaðu með veldum.
$\frac{x^{3}}{y^{3}}$

Veldisvísirinn á við um bæði teljara og nefnara:

{(\frac{x}{y})}^{3} = \frac{x^{3}}{y^{3}}

{(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0

55.1 Veldisreglur

5.1.4 Veldisreglur fyrir veldi

5.1.4 • Veldisreglur fyrir veldi

Verkefni

Vinnið með félaga að verkefninu. Ræðið ef einfölduðu svörin ykkar eru ólík og gangið úr skugga um að þið skiljið hvert skref í einfölduninni.

Regla um kvóta í neikvæðu veldi

Ef a og b eru rauntölur, a og b eru ekki núll, og n er heiltala, þá gildir:

{(\frac{a}{b})}^{- n} = {(\frac{b}{a})}^{n}, a \neq 0, b \neq 0

Þegar brot er hafið í neikvætt veldi má taka andhverfu brotsins og gera veldisvísinn jákvæðan.

Einfaldaðu dæmi 1-3 með reglunni um kvóta í neikvæðu veldi.

{(\frac{3}{7})}^{- 5}

Berðu saman svarið þitt:

{(\frac{3}{7})}^{- 5} = {(\frac{7}{3})}^{5} = \frac{7^{5}}{3^{5}} = \frac{16807}{243}

{(\frac{- y}{z})}^{- 7}

Berðu saman svarið þitt:

{(\frac{- y}{z})}^{- 7} = {(\frac{- z}{y})}^{7} = \frac{- z^{7}}{y^{7}}

{(\frac{g}{h})}^{- 6}

Berðu saman svarið þitt:

{(\frac{g}{h})}^{- 6} = {(\frac{h}{g})}^{6} = \frac{h^{6}}{g^{6}}

Reglan um veldi af veldi

Ef a er rauntala og m og n eru heiltölur, þá gildir:

{(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}

Til að hefja veldi í annað veldi margfaldar þú veldisvísana.

Einfaldaðu dæmi 4-6 með reglunni um veldi af veldi.

{(4^{2})}^{5}

Berðu saman svarið þitt:

{(4^{2})}^{5} = 4^{10} = 1048576

{(n^{3})}^{7}

Berðu saman svarið þitt:

{(n^{3})}^{7} = n^{21}

{(2^{3})}^{2} {(d^{4})}^{3}

Berðu saman svarið þitt:

{(2^{3})}^{2} {(d^{4})}^{3} = (2^{6}) (d^{12}) = 64 d^{12}

Reglan um margfeldi í veldi

Ef a og b eru rauntölur og m er heil tala sem er ekki neikvæð, þá gildir:

{(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}

Til að hefja margfeldi í veldi hefur þú hvern þátt í sama veldi.

Einfaldaðu dæmi 7-9 með reglunni um margfeldi í veldi.

{(- 2 t v)}^{7}

Berðu saman svarið þitt:

{(- 2 t v)}^{7} = {(- 2)}^{7} t^{7} v^{7} = - 128 t^{7} v^{7}

{(4 p r^{2})}^{5}

Berðu saman svarið þitt:

{(4 p r^{2})}^{5} = 4^{5} p^{5} {(r^{2})}^{5} = 1024 p^{5} r^{10}

{(3 h^{3})}^{- 2}

Berðu saman svarið þitt:

{(3 h^{3})}^{- 2} = {(\frac{1}{3 h^{3}})}^{2} = \frac{1}{3^{2} h^{6}} = \frac{1}{9 h^{6}}

Veldu eitt dæmi hér að ofan og útskýrðu hvert skref fyrir félaga þínum. Hlustaðu síðan á félagann útskýra sitt dæmi.

Viðbótarefni

Regla um kvóta í neikvæðu veldi

Skoðum brot sem er hafið í neikvætt veldi. Skilgreiningin á neikvæðum veldisvísi leiðir að nýrri reglu.

{(\frac{3}{4})}^{- 2}

Notaðu skilgreininguna á neikvæðum veldisvísi.
$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$
$\frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2}}$
Einfaldaðu nefnarann.
$\frac{1}{\frac{9}{16}}$
Einfaldaðu samsetta brotið.
$\frac{16}{9}$

Við vitum líka að:

\frac{16}{9} = {(\frac{4}{3})}^{2}

Skref 4: Því fæst:

{(\frac{3}{4})}^{- 2} = {(\frac{4}{3})}^{2}

Við tókum andhverfu veldisstofnsins, sem hér er brotið sjálft, og breyttum formerki veldisvísisins.

{(\frac{a}{b})}^{- n} = {(\frac{b}{a})}^{n}

Þegar neikvæðir veldisvísar koma fyrir má líka nota margfeldisregluna úr kafla 5.1.2 á stæðum með neikvæðum veldisvísum.

Reglan um veldi af veldi

Skoðum veldisstæðu þar sem veldi er hafið í annað veldi.

Talan 6 er margfeldi veldisvísanna 2 og 3:

{(x^{2})}^{3} = x^{2\cdot3} = x^{6}

Þetta leiðir að reglunni um veldi af veldi.

{(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}

Reglan um margfeldi í veldi

Skoðum margfeldi sem er hafið í veldi.

{(2 x)}^{3}

Skrifaðu hvað veldið merkir.
$2 x \cdot 2 x \cdot 2 x$
Raðaðu eins þáttum saman.
$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$
Skrifaðu með veldum.
$2^{3} \cdot x^{3}$

Veldisvísirinn á við um hvern þátt margfeldisins:

{(2 x)}^{3} = 2^{3} \cdot x^{3}

{(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}

Reglan um kvóta í veldi

Skoðum dæmi sem leiðir að reglunni um kvóta í veldi.

{(\frac{x}{y})}^{3}

Skrifaðu hvað veldið merkir.
$\frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y}$
Margfaldaðu brotin.
$\frac{x \cdot x \cdot x}{y \cdot y \cdot y}$
Skrifaðu með veldum.
$\frac{x^{3}}{y^{3}}$

Veldisvísirinn á við um bæði teljara og nefnara:

{(\frac{x}{y})}^{3} = \frac{x^{3}}{y^{3}}

{(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0