22.13 Lausn vandamála með ójöfnum með tveimur breytistærðum

2.13.4 Að leysa verkefni með ójöfnum með töflum

2.13.4 • Að leysa verkefni með ójöfnum með töflum

Verkefni

Í spurningum 1-5 skaltu nota eftirfarandi aðstæður til að teikna graf ójöfnu út frá töflu.

Andre býr til göngunasl með þurrkuðum ávöxtum og blönduðum hnetum. Þurrkaðir ávextir kosta 3 dollara á pundið og blandaðar hnetur kosta 6 dollara á pundið. Hann vill ekki eyða meira en 54 dollurum í göngunaslið.

A close-up of a colorful trail mix containing dried apricots, raisins, white chocolate chips, walnuts, hazelnuts, dried cranberries, and other mixed nuts and dried fruits.

Ójafnan táknar fjölda punda af þurrkuðum ávöxtum, y, sem hann getur keypt fyrir x pund af hnetum.

$y \leq - 2 x + 18$

Skylda jafnan táknar markalínu ójöfnunnar. Ljúktu gildatöflunni til að finna punkta á markalínunni.

$y = - 2 x + 18$

$\begin{matrix} x & y \\ 0 \\ 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}$

Berðu saman svar þitt:

$\begin{matrix} x & y \\ 0 & 18 \\ 2 & 14 \\ 4 & 10 \\ 6 & 6 \end{matrix}$

Notaðu grafreiknitæki eða annað tæknilegt hjálpartæki utan námskeiðsins. Teiknaðu gögnin úr gildatöflunni sem tákna þessar aðstæður.

Lausn

Berðu saman svar þitt:

Scatter plot titled Trail Mix showing a negative correlation between mixed nuts and dried fruit. The weight of mixed nuts in pounds is represented on the x-axis. The weight of the dried fruit in pounds is represented on the y-axis.

Er markalínan fyrir ójöfnuna heil lína eða brotalína? Útskýrðu hvernig þú veist það.

Lausn

$y \leq - 2 x + 18$

Berðu saman svar þitt: Línan er heil vegna þess að táknið ≤ þýðir að punktarnir á línunni eru líka lausnir.

Er punkturinn lausn ójöfnunnar?

Lausn

$(0, 0)$

Berðu saman svar þitt: Já.

$\begin{matrix} 0 \leq - 2 (0) + 18 \\ 0 \leq 18 \end{matrix}$

Notaðu grafið úr spurningu 2. Sláðu inn ójöfnuna til að sýna gögnin og taktu eftir skyggingunni sem sýnir lausnasvæðið.

Lausn

$y \leq - 2 x + 18$

Berðu saman svar þitt:

A linear inequality graph titled Trail Mix shows pounds of dried fruit on the y-axis and the pounds of mixed nuts on the x-axis. The boundary line slopes down from 18 pounds dried fruit and 0 mixed nuts, to 0 pounds dried fruit and 9 pounds mixed nuts.

Í spurningum 6-10 skaltu nota gögnin úr töflunni til að teikna graf ójöfnunnar og skrifa ójöfnu með tveimur breytum.

$\begin{matrix} x & y \\ - 2 & - 5 \\ 0 & - 6 \\ 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{matrix}$

Notaðu grafreiknitæki eða annað tæknilegt hjálpartæki utan námskeiðsins. Teiknaðu gögnin úr töflunni.

Lausn

Berðu saman svar þitt:

A graph with four labeled points: (3, 5), (2, 1), (negative 2, negative 5) and (0, negative 6).

Teiknaðu nú graf jöfnunnar í Desmos-glugganum.

Lausn

$y = x$

Berðu saman svar þitt:

A graph with a line passing through four labeled points: (3, 5), (2, 1), (negative 2, negative 5) and (0, negative 6).

Hvernig þarf línan að færast til að ná utan um alla punktana?

Lausn

Berðu saman svar þitt: Svör geta verið breytileg. Hægt er að hækka skurðpunkt við y-ás eða auka hallatölu til að ná utan um punktinn (3, 5).

$(3, 5)$

Notaðu Desmos til að breyta hallatölu og/eða skurðpunkti við y-ás og finna ójöfnu sem gæti átt við.

Lausn

Berðu saman svar þitt: Svör geta verið breytileg. Eftirfarandi eru mögulegar framsetningar sem sýna hvar línan gæti legið á grafinu.

$y < 2 x$

$y \leq 2 x - 1$

$y > x - 7$

$y \geq x - 6$

Ekki lausn.

Graph of an inequality on the coordinate plane. The region is shaded red below and to the right of the dashed boundary line. Four points lie in the solution region.

Graph of an inequality on the coordinate plane. The region is shaded red below and to the right of the solid boundary line. Four points lie in the solution region.

Graph of an inequality on the coordinate plane. The region is shaded red above and to the left of the dashed boundary line. Four points lie in the solution region.

Graph of an inequality on the coordinate plane. The region is shaded red above and to the left of the solid boundary line. Four points lie in the solution region.

Graph of an inequality on the coordinate plane. The region is shaded red below and to the right of the dashed boundary line. Only three points lie in the solution region. One point does not satisfy the inequality.

10.

Notaðu grafið úr spurningu 7. Skyggðu rétta hlið markalínunnar til að tákna ójöfnuna.

Lausn

$y > 3 x - 2$

Berðu saman svar þitt:

Graph of an inequalilty on the coordinate plane.

Ítarefni

Að tengja saman framsetningar ójafna

Töflur geta hjálpað þér að skrifa og leysa ójöfnur með tveimur breytum.

Hluti 1: Að skrifa ójöfnur með tveimur breytum út frá gagnasafni í töflu

Skrifaðu línulega ójöfnu með tveimur breytum út frá gögnunum.

$\begin{matrix} x & y \\ - 4 & - 3 \\ - 2 & - 2 \\ 0 & - 1 \\ 2 & 0 \end{matrix}$

Mundu að í ójöfnu geta punktarnir verið á línunni, fyrir ofan línuna eða fyrir neðan línuna. Tegund ójöfnunnar fer eftir þessum skilyrðum.

Á línunni: ≤ eða ≥. Fyrir ofan línuna: >. Fyrir neðan línuna: <.

Ef gefið er mengi mögulegra punkta, eins og í töflunni hér fyrir ofan, geta margar línur átt við gögnin. Skoðum nokkra möguleika fyrir þetta gagnasafn.

Teiknaðu punktana í hnitakerfi.
Ákvarðaðu mögulegar línur. Mundu að punktarnir geta verið á línunni, en þeir þurfa allir að vera annaðhvort fyrir ofan hana eða fyrir neðan hana til að mynda ójöfnu. Ef punktar eru báðum megin við línuna, þá kemur línan ekki til greina.

Við getum byrjað á jöfnunni til að sjá hvort punktarnir séu fyrir ofan eða neðan línuna.

$y = x$

A graph of a red line that has a positive slope passes through points (0,0) and (1, 1). Additional green points are at (3,5), (5, 8), (negative 4, negative 6) and (3, negative 5). All points are labeled with their coordinates.

Jafnan kemur ekki til greina ef punktar liggja bæði fyrir ofan og fyrir neðan línuna.

$y = x$

Skref 3: Breyttu hallatölu eða skurðpunkti við y-ás.

Við getum breytt hallatölu og skurðpunkti við y-ás til að færa línuna þannig að hún nái utan um alla punktana. Prófum að færa línuna fyrir neðan punktana.

$(3, - 5)$

$(- 4, - 6)$

A graph of a red line with positive slope passing through it. Labeled points are at (3, 5), (5, 8), (1, 1), (-4, -6), and (3, -5) marked with green dots. the line does not intersect any of the labeled points.

A graph showing five green points labeled (3, 5), (5, 8), (1, 1), (3, -5), and (-4, -6), with a red line that has a positive slope. The line does not intersect any of the labeled points.

Einn punktur er enn fyrir neðan línuna. Við getum minnkað hallatöluna.

$m = \frac{1}{3}$

Nú eru allir punktarnir fyrir ofan línuna. Það þýðir að y-gildið er alltaf stærra en gildið á línunni fyrir sama x-gildi. Ein möguleg lausn er því:

$y > \frac{1}{3} x - 7$

A graph with a dashed teal line passing through points (-4, -3), (-2, -2), (0, -1), (2, 0), and (4, 1) on a grid. The line has a positive slope and crosses the y-axis at -1.

Hluti 2: Að nota töflur til að leysa ójöfnur með tveimur breytum

Teiknaðu graf línulegu ójöfnunnar með töflu.

$y < \frac{1}{2} x - 1$

Skref 1: Búðu til gildatöflu með skyldu jöfnunni til að finna punkta á markalínu ójöfnunnar.

$y = \frac{1}{2} x - 1$

$\begin{matrix} x & y \\ - 4 & - 3 \\ - 2 & - 2 \\ 0 & - 1 \\ 2 & 0 \end{matrix}$

Skref 2: Merktu punktana og skissaðu markalínuna. Ef ójafnan er ≤ eða ≥ er markalínan heil. Ef ójafnan er < eða > er markalínan brotalína. Ójöfnumerkið er <, svo við teiknum brotalínu.

A graph with a shaded region below the dashed line representing y equals one-half times x minus 1.

Skref 3: Prófaðu punkt sem er ekki á markalínunni. Er hann lausn ójöfnunnar? Prófum punktinn (0, 0), því hann er ekki á markalínu ójöfnunnar.

$(0, 0)$

$y < ? \frac{1}{2} x - 1$

$0 < \frac{1}{2} (0) - 1$

$0 < - 1$

Þetta er ósatt. Því er punkturinn (0, 0) ekki lausn.

Skref 4: Skyggðu aðra hlið markalínunnar. Ef prófunarpunkturinn er lausn, skyggðu hliðina sem inniheldur punktinn. Ef prófunarpunkturinn er ekki lausn, skyggðu hina hliðina.

Prófunarpunkturinn (0, 0) er ekki lausn, svo skyggðu þá hlið markalínunnar sem inniheldur ekki punktinn (0, 0). Allir punktar á skyggða svæðinu, en ekki á markalínunni, tákna lausnir ójöfnunnar.

$y < \frac{1}{2} x - 1$

A graph with a dashed teal line passing through points (-4, -5), (-2, -1), (0, 3), and (2, 7) on a grid. The line has a positive slope and crosses the y-axis at 3.

Reyndu þetta

Að teikna línulegar ójöfnur með tveimur breytum

Er ójafnan lausn fyrir gildatöfluna? Útskýrðu rök þín.

$y < 3 x + 6$

$\begin{matrix} x & y \\ - 4 & - 3 \\ - 2 & - 2 \\ 0 & - 1 \\ 2 & 0 \end{matrix}$

Lausn

Berðu saman svar þitt: Nei. Til dæmis uppfyllir punkturinn (−4, −3) ekki ójöfnuna, því −3 er ekki minna en 3(−4) + 6 = −6.

$(- 4, - 3)$

Notaðu töflu til að teikna graf ójöfnunnar.

$y \leq 2 x + 3$

Lausn

Berðu saman svar þitt: Svona má leysa ójöfnu með töflu.

Skref 1: Búðu til gildatöflu með skyldu jöfnunni til að finna punkta á markalínu ójöfnunnar.

$y = 2 x + 3$

$\begin{matrix} x & y \\ - 4 & - 5 \\ - 2 & - 1 \\ 0 & 3 \\ 2 & 7 \end{matrix}$

Skref 2: Merktu punktana og skissaðu markalínuna. Ef ójafnan er ≤ eða ≥ er markalínan heil. Ef ójafnan er < eða > er markalínan brotalína. Ójöfnumerkið er ≤, svo við teiknum heila línu.

A graph with a shaded region below the dashed line representing y equals two times x plus 3.

Skref 3: Prófaðu punkt sem er ekki á markalínunni. Er hann lausn ójöfnunnar? Prófum punktinn (0, 0).

$(0, 0)$

$y \leq 2 x + 3$

$0 \leq ? 2 (0) + 3$

$0 \leq 3$

Þetta er satt. Því er punkturinn (0, 0) lausn.

Skref 4: Skyggðu aðra hlið markalínunnar. Prófunarpunkturinn (0, 0) er lausn, svo skyggðu þá hlið markalínunnar sem inniheldur punktinn (0, 0). Allir punktar á skyggða svæðinu og á markalínunni tákna lausnir ójöfnunnar.

$y \leq 2 x + 3$

22.13 Lausn vandamála með ójöfnum með tveimur breytistærðum

2.13.4 Að leysa verkefni með ójöfnum með töflum

2.13.4 • Að leysa verkefni með ójöfnum með töflum

Verkefni

Í spurningum 1-5 skaltu nota eftirfarandi aðstæður til að teikna graf ójöfnu út frá töflu.

Ójafnan táknar fjölda punda af þurrkuðum ávöxtum, y, sem hann getur keypt fyrir x pund af hnetum.

$y \leq - 2 x + 18$

Skylda jafnan táknar markalínu ójöfnunnar. Ljúktu gildatöflunni til að finna punkta á markalínunni.

$y = - 2 x + 18$

$\begin{matrix} x & y \\ 0 \\ 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}$

Berðu saman svar þitt:

$\begin{matrix} x & y \\ 0 & 18 \\ 2 & 14 \\ 4 & 10 \\ 6 & 6 \end{matrix}$

Notaðu grafreiknitæki eða annað tæknilegt hjálpartæki utan námskeiðsins. Teiknaðu gögnin úr gildatöflunni sem tákna þessar aðstæður.

Lausn

Berðu saman svar þitt:

Er markalínan fyrir ójöfnuna heil lína eða brotalína? Útskýrðu hvernig þú veist það.

Lausn

$y \leq - 2 x + 18$

Berðu saman svar þitt: Línan er heil vegna þess að táknið ≤ þýðir að punktarnir á línunni eru líka lausnir.

Er punkturinn lausn ójöfnunnar?

Lausn

$(0, 0)$

Berðu saman svar þitt: Já.

$\begin{matrix} 0 \leq - 2 (0) + 18 \\ 0 \leq 18 \end{matrix}$

Notaðu grafið úr spurningu 2. Sláðu inn ójöfnuna til að sýna gögnin og taktu eftir skyggingunni sem sýnir lausnasvæðið.

Lausn

$y \leq - 2 x + 18$

Berðu saman svar þitt:

Í spurningum 6-10 skaltu nota gögnin úr töflunni til að teikna graf ójöfnunnar og skrifa ójöfnu með tveimur breytum.

$\begin{matrix} x & y \\ - 2 & - 5 \\ 0 & - 6 \\ 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{matrix}$

Notaðu grafreiknitæki eða annað tæknilegt hjálpartæki utan námskeiðsins. Teiknaðu gögnin úr töflunni.

Lausn

Berðu saman svar þitt:

Teiknaðu nú graf jöfnunnar í Desmos-glugganum.

Lausn

$y = x$

Berðu saman svar þitt:

Hvernig þarf línan að færast til að ná utan um alla punktana?

Lausn

Berðu saman svar þitt: Svör geta verið breytileg. Hægt er að hækka skurðpunkt við y-ás eða auka hallatölu til að ná utan um punktinn (3, 5).

$(3, 5)$

Notaðu Desmos til að breyta hallatölu og/eða skurðpunkti við y-ás og finna ójöfnu sem gæti átt við.

Lausn

Berðu saman svar þitt: Svör geta verið breytileg. Eftirfarandi eru mögulegar framsetningar sem sýna hvar línan gæti legið á grafinu.

$y < 2 x$

$y \leq 2 x - 1$

$y > x - 7$

$y \geq x - 6$

Ekki lausn.

10.

Notaðu grafið úr spurningu 7. Skyggðu rétta hlið markalínunnar til að tákna ójöfnuna.

Lausn

$y > 3 x - 2$

Berðu saman svar þitt:

Ítarefni

Að tengja saman framsetningar ójafna

Töflur geta hjálpað þér að skrifa og leysa ójöfnur með tveimur breytum.

Hluti 1: Að skrifa ójöfnur með tveimur breytum út frá gagnasafni í töflu

Skrifaðu línulega ójöfnu með tveimur breytum út frá gögnunum.

$\begin{matrix} x & y \\ - 4 & - 3 \\ - 2 & - 2 \\ 0 & - 1 \\ 2 & 0 \end{matrix}$

Mundu að í ójöfnu geta punktarnir verið á línunni, fyrir ofan línuna eða fyrir neðan línuna. Tegund ójöfnunnar fer eftir þessum skilyrðum.

Á línunni: ≤ eða ≥. Fyrir ofan línuna: >. Fyrir neðan línuna: <.

Ef gefið er mengi mögulegra punkta, eins og í töflunni hér fyrir ofan, geta margar línur átt við gögnin. Skoðum nokkra möguleika fyrir þetta gagnasafn.

Teiknaðu punktana í hnitakerfi.
Ákvarðaðu mögulegar línur. Mundu að punktarnir geta verið á línunni, en þeir þurfa allir að vera annaðhvort fyrir ofan hana eða fyrir neðan hana til að mynda ójöfnu. Ef punktar eru báðum megin við línuna, þá kemur línan ekki til greina.

Við getum byrjað á jöfnunni til að sjá hvort punktarnir séu fyrir ofan eða neðan línuna.

$y = x$

Jafnan kemur ekki til greina ef punktar liggja bæði fyrir ofan og fyrir neðan línuna.

$y = x$

Skref 3: Breyttu hallatölu eða skurðpunkti við y-ás.

Við getum breytt hallatölu og skurðpunkti við y-ás til að færa línuna þannig að hún nái utan um alla punktana. Prófum að færa línuna fyrir neðan punktana.

$(3, - 5)$

$(- 4, - 6)$

Einn punktur er enn fyrir neðan línuna. Við getum minnkað hallatöluna.

$m = \frac{1}{3}$

Nú eru allir punktarnir fyrir ofan línuna. Það þýðir að y-gildið er alltaf stærra en gildið á línunni fyrir sama x-gildi. Ein möguleg lausn er því:

$y > \frac{1}{3} x - 7$

Hluti 2: Að nota töflur til að leysa ójöfnur með tveimur breytum

Teiknaðu graf línulegu ójöfnunnar með töflu.

$y < \frac{1}{2} x - 1$

Skref 1: Búðu til gildatöflu með skyldu jöfnunni til að finna punkta á markalínu ójöfnunnar.

$y = \frac{1}{2} x - 1$

$\begin{matrix} x & y \\ - 4 & - 3 \\ - 2 & - 2 \\ 0 & - 1 \\ 2 & 0 \end{matrix}$

Skref 3: Prófaðu punkt sem er ekki á markalínunni. Er hann lausn ójöfnunnar? Prófum punktinn (0, 0), því hann er ekki á markalínu ójöfnunnar.

$(0, 0)$

$y < ? \frac{1}{2} x - 1$

$0 < \frac{1}{2} (0) - 1$

$0 < - 1$

Þetta er ósatt. Því er punkturinn (0, 0) ekki lausn.

Skref 4: Skyggðu aðra hlið markalínunnar. Ef prófunarpunkturinn er lausn, skyggðu hliðina sem inniheldur punktinn. Ef prófunarpunkturinn er ekki lausn, skyggðu hina hliðina.

$y < \frac{1}{2} x - 1$

Reyndu þetta

Að teikna línulegar ójöfnur með tveimur breytum

Er ójafnan lausn fyrir gildatöfluna? Útskýrðu rök þín.

$y < 3 x + 6$

$\begin{matrix} x & y \\ - 4 & - 3 \\ - 2 & - 2 \\ 0 & - 1 \\ 2 & 0 \end{matrix}$

Lausn

Berðu saman svar þitt: Nei. Til dæmis uppfyllir punkturinn (−4, −3) ekki ójöfnuna, því −3 er ekki minna en 3(−4) + 6 = −6.

$(- 4, - 3)$

Notaðu töflu til að teikna graf ójöfnunnar.

$y \leq 2 x + 3$

Lausn

Berðu saman svar þitt: Svona má leysa ójöfnu með töflu.

Skref 1: Búðu til gildatöflu með skyldu jöfnunni til að finna punkta á markalínu ójöfnunnar.

$y = 2 x + 3$

$\begin{matrix} x & y \\ - 4 & - 5 \\ - 2 & - 1 \\ 0 & 3 \\ 2 & 7 \end{matrix}$

Skref 3: Prófaðu punkt sem er ekki á markalínunni. Er hann lausn ójöfnunnar? Prófum punktinn (0, 0).

$(0, 0)$

$y \leq 2 x + 3$

$0 \leq ? 2 (0) + 3$

$0 \leq 3$

Þetta er satt. Því er punkturinn (0, 0) lausn.

$y \leq 2 x + 3$