17.1 Skilningur á bylgjubeygju og samliðun

Hæfniviðmið kafla

Í lok þessa kafla muntu geta gert eftirfarandi:

• Útskýrt bylgjuhegðun ljóss, þar með talið bylgjubeygju og samliðun, ásamt hlutverki styrkjandi og eyðandi samliðunar í einraufar- og tvíraufartilraunum Youngs
• Framkvæmt útreikninga sem varða bylgjubeygju og samliðun, sérstaklega á bylgjulengd ljóss með því að nota gögn úr tvíraufar-samliðunarmynstri

Lykilhugtök kafla

Bylgjubeygja og samliðun

Við vitum að sýnilegt ljós er sú tegund rafsegulbylgna sem augu okkar bregðast við. Eins og við höfum séð áður fylgir ljós jöfnunni

þar sem$c=\mathrm{3,00}\times {10}^8$m/s er ljóshraði í tómarúmi, f er tíðni rafsegulbylgjunnar í Hz (eða s⁻¹ ), og$\lambda$er bylgjulengd hennar í m. Svið sýnilegra bylgjulengda er u.þ.b. 380 til 750 nm. Eins og gildir um allar bylgjur ferðast ljós í beinum línum og hegðar sér eins og geisli þegar það víxlverkar við hluti sem eru margfalt stærri en bylgjulengd þess. Hins vegar, þegar það víxlverkar við minni hluti, sýnir það bylgjueiginleika sína greinilega. Samliðun er einkennandi hegðun bylgju.

Á mynd 17.2 má sjá bæði geisla- og bylgjueiginleika ljóss. Leysigeislinn sem sendur er frá stjörnuathugunarstöðinni táknar geislahegðun, þar sem hann ferðast í beinni línu. Þegar hreinn geisli með einni bylgjulengd fer í gegnum lóðréttar raufar með breidd sem er nálægt bylgjulengd geislans, kemur bylgjueðli ljóss í ljós. Hér sjáum við geislann dreifast lárétt í mynstur af björtum og dimmum svæðum sem orsakast af kerfisbundinni styrkjandi og eyðandi samliðun. Þar sem þetta er einkennandi fyrir bylgjuhegðun, sést samliðun hjá vatnsbylgjum, hljóðbylgjum og ljósbylgjum.

Að samliðun sé einkenni orkuflutnings með bylgjum er sýnt á enn meira sannfærandi hátt með vatnsbylgjum. Mynd 17.3 sýnir vatnsbylgjur fara í gegnum op á milli steina. Það er auðvelt að sjá að opin eru svipuð að breidd og bylgjulengd bylgnanna og að þetta veldur samliðunarmynstri þegar bylgjurnar fara fram hjá opunum. Þverskurður yfir bylgjurnar í forgrunni myndi sýna bylgjutoppa og bylgjudali sem eru einkennandi fyrir samliðunarmynstur.

Ljós hefur bylgjueiginleika í ýmsum efnum sem og í tómarúmi. Þegar ljós fer úr tómarúmi í eitthvað efni, svo sem vatn, breytist hraði þess og bylgjulengd, en tíðni þess, f, helst óbreytt. Ljóshraði í efni er$v=c/n$, þar sem n er brotstuðull þess. Ef þú deilir báðum hliðum jöfnunnar$c=f\lambda$með n, færðu$c/n=v=f\lambda /n$. Þess vegna er$v=f{\lambda }_n$, þar sem${\lambda }_n$er bylgjulengdin í efni, og

þar sem$\lambda$er bylgjulengdin í tómarúmi og n er brotstuðull efnisins. Af þessu leiðir að bylgjulengd ljóss er minni í hvaða efni sem er en hún er í tómarúmi. Í vatni, til dæmis, sem hefur n = 1,333, er svið sýnilegra bylgjulengda (380 nm)/1,333 til (760 nm)/1,333, eða${\lambda }_n=285–570\text{ nm}$. Þó að bylgjulengdir breytist við að ferðast úr einu efni í annað, breytast litir ekki, þar sem litir tengjast tíðni.

Hollenski vísindamaðurinn Christiaan Huygens (1629–1695) þróaði gagnlega aðferð til að ákvarða í smáatriðum hvernig og hvert bylgjur breiðast út. Hann notaði bylgjuflöt, sem eru punktar á yfirborði bylgju sem deila sama, fasta fasanum (eins og allir punktarnir sem mynda topp vatnsbylgju). Frumregla Huygens segir: „Hver punktur á bylgjuflöti er uppspretta smábylgna sem breiðast út í framátt á sama hraða og bylgjan sjálf. Nýja bylgjuflöturinn er lína sem snertir allar smábylgjurnar.“

Mynd 17.4 sýnir hvernig frumreglu Huygens er beitt. Bylgjuflötur er langa brúnin sem hreyfist; til dæmis bylgjutoppurinn eða bylgjudalurinn. Hver punktur á bylgjufletinum sendir frá sér hálfhringlaga bylgju sem hreyfist á útbreiðsluhraðanum v. Þessar eru teiknaðar síðar á tímanum t, þannig að þær hafa færst vegalengdina$s=vt$. Nýja bylgjuflöturinn er lína sem snertir smábylgjurnar og sýnir hvar bylgjan er staðsett á tímanum t. Frumregla Huygens virkar fyrir allar tegundir bylgna, þar með talið vatnsbylgjur, hljóðbylgjur og ljósbylgjur. Það mun nýtast ekki aðeins við að lýsa hvernig ljósbylgjur breiðast út, heldur einnig hvernig þær samliðast.

Hvað gerist þegar bylgja fer í gegnum op, eins og ljós sem skín í gegnum opna hurð inn í dimmt herbergi? Fyrir ljós býstu við að sjá skarpan skugga af dyrunum á gólfi herbergisins og þú býst ekki við að ljós beygi fyrir horn inn í aðra hluta herbergisins. Þegar hljóð fer í gegnum dyr heyrir þú það alls staðar í herberginu og því skilur þú að hljóð dreifist út þegar það fer í gegnum slíkt op. Hver er munurinn á hegðun hljóðbylgna og ljósbylgna í þessu tilviki? Svarið er að bylgjulengdirnar sem mynda ljósið eru mjög stuttar, þannig að ljósið hegðar sér eins og geisli. Hljóð hefur bylgjulengdir sem eru af sömu stærðargráðu og stærð dyranna, og því beygir það fyrir horn.

Ef ljós fer í gegnum minni op, oft kölluð raufar, geturðu notað frumregla Huygens til að sýna fram á að ljós beygir eins og hljóð gerir (sjá mynd 17.5 ). Beyging bylgju umhverfis brúnir ops eða hindrunar kallast bylgjubeygja. Bylgjubeygja er bylgjueiginleiki sem á sér stað fyrir allar tegundir bylgna. Ef bylgjubeygja sést í fyrirbæri er það sönnun þess að fyrirbærið sé myndað af bylgjum. Þannig er lárétt bylgjubeygja leysigeislans eftir að hann fer í gegnum raufar á mynd 17.2 sönnun þess að ljós hafi eiginleika bylgju.

Enn og aftur bjóða vatnsbylgjur upp á kunnuglegt dæmi um bylgjufyrirbæri sem auðvelt er að fylgjast með og skilja, eins og sýnt er á mynd 17.6.

Myndskeið um eðlisfræði

Samliðun frá einni rauf

Þetta myndband fer yfir stærðfræðina sem þarf til að spá fyrir um bylgjubeygjumynstur sem stafa af samliðun frá einni rauf.

Hvaða gildi á m tákna staðsetningu eyðandi samliðunar í bylgjubeygjumynstri frá einni rauf?

1. heiltölur, að núlli undanskildu
2. heiltölur
3. rauntölur að núlli undanskildu
4. rauntölur

Sú staðreynd að frumregla Huygens virkaði þótti ekki næg sönnun þess að ljós væri bylgja. Fólk var einnig tregt til að samþykkja bylgjueðli ljóss vegna þess að það stangaðist á við hugmyndir Isaacs Newtons, sem var enn í miklum metum. Viðurkenning á bylgjueðli ljóss kom eftir 1801, þegar enski eðlisfræðingurinn og læknirinn Thomas Young (1773–1829) framkvæmdi sína nú sígildu tveggja raufa tilraun (sjá mynd 17.7 ).

Þegar ljós fer í gegnum þröngar raufar beygir það og myndar hálfhringlaga bylgjur, eins og sýnt er á mynd 17.8 (a). Hrein styrkjandi samliðun verður þar sem bylgjurnar raðast upp toppur í topp eða dalur í dal. Hrein eyðandi samliðun verður þar sem þær raðast upp toppur í dal. Ljósið verður að falla á skjá og dreifast í augu okkar til að mynstrið sé sýnilegt. Hliðstætt mynstur fyrir vatnsbylgjur er sýnt á mynd 17.8 (b). Taktu eftir að svæði styrkjandi og eyðandi samliðunar færast út frá raufunum við vel skilgreind horn miðað við upprunalega geislann. Þessi horn eru háð bylgjulengd og fjarlægð milli raufanna, eins og þú munt sjá hér að neðan.

Sýndartilraun

Bylgjusamliðun

Þessi hermun sýnir flest bylgjufyrirbærin sem fjallað er um í þessum hluta. Fylgstu fyrst með samliðun milli tveggja uppspretta rafsegulgeislunar án þess að bæta við raufum. Sjáðu hvernig vatnsbylgjur, hljóð og ljós sýna öll samliðunarmynstur. Haltu þig við ljósbylgjur og notaðu aðeins eina uppsprettu. Búðu til bylgjubeygjumynstur með einni rauf og síðan með tveimur. Þú gætir þurft að stilla breidd raufarinnar til að sjá mynstrið.

Berðu sjónrænt saman breidd raufarinnar og bylgjulengdina. Hvenær færðu greinilegasta bylgjubeygjumynstrið?

1. þegar breidd raufarinnar er stærri en bylgjulengdin
2. þegar breidd raufarinnar er minni en bylgjulengdin
3. þegar breidd raufarinnar er sambærileg við bylgjulengdina
4. þegar breidd raufarinnar er óendanleg

Útreikningar sem varða bylgjubeygju og samliðun

Sú staðreynd að hægt er að reikna út bylgjulengd ljóss af einum lit, eða einlits ljóss, út frá tveggja raufa bylgjubeygjumynstri þess í tilraunum Youngs styður þá ályktun að ljós hafi bylgjueiginleika. Til að skilja grundvöll slíkra útreikninga skulum við skoða hvernig tvær bylgjur ferðast frá raufunum að skjánum. Hvor rauf er í mismunandi fjarlægð frá tilteknum punkti á skjánum. Þannig komast mismunandi margar bylgjulengdir fyrir í hverri leið. Bylgjur leggja af stað frá raufunum samfasa (toppur við topp), en þær enda gagnfasa (toppur við dal) við skjáinn ef leiðirnar eru mismunandi að lengd um hálfa bylgjulengd, sem veldur eyðandi samliðun. Ef leiðirnar eru mismunandi um heila bylgjulengd, þá koma bylgjurnar samfasa (toppur við topp) að skjánum, sem veldur styrkjandi samliðun. Almennt gildir að ef leiðirnar sem bylgjurnar tvær fara muna um eitthvert hálftölumargfeldi af bylgjulengdum$(\frac{1}{2}\lambda ,\frac{3}{2}\lambda ,\frac{5}{2}\lambda ,\text{o.s.frv.})$, þá verður eyðandi samliðun. Sömuleiðis, ef leiðirnar sem bylgjurnar tvær fara muna um eitthvert heiltölumargfeldi af bylgjulengdum$(\lambda ,2\lambda ,3\lambda ,\text{o.s.frv.})$, þá verður styrkjandi samliðun.

Mynd 17.9 sýnir hvernig á að ákvarða vegalengdarmun fyrir bylgjur sem ferðast frá tveimur raufum að sameiginlegum punkti á skjá. Ef skjárinn er í mikilli fjarlægð miðað við fjarlægðina milli raufanna, þá er hornið$\theta$milli leiðarinnar og línu frá raufunum sem er hornrétt á skjáinn (sjá myndina) næstum það sama fyrir hvora leið. Sú nálgun og einföld hornafræði sýna að lengdarmunurinn,$\Delta L$, er$d\sin \theta$, þar sem d er fjarlægðin milli raufanna,

Til að fá styrkjandi samliðun fyrir tvær raufar verður vegalengdarmunurinn að vera heiltölumargfeldi af bylgjulengdinni, eða

Sömuleiðis, til að fá eyðandi samliðun fyrir tvær raufar, verður vegalengdarmunurinn að vera hálftölumargfeldi af bylgjulengdinni, eða

Talan m er röð samliðunarinnar. Til dæmis er m = 4 samliðun fjórðu raðar.

Mynd 17.10 sýnir hvernig styrkur rákanna með styrkjandi samliðun minnkar með vaxandi horni.

Ljós sem fer í gegnum eina rauf myndar bylgjubeygjumynstur sem er nokkuð frábrugðið því sem myndast af tveimur raufum. Mynd 17.11 sýnir bylgjubeygjumynstur frá einni rauf. Taktu eftir að miðhámarkið er stærra en þau sem eru hvoru megin við, og að styrkurinn minnkar hratt til beggja hliða.

Greining á bylgjubeygju frá einni rauf er sýnd á mynd 17.12. Ef gert er ráð fyrir að skjárinn sé mjög langt í burtu miðað við stærð raufarinnar, eru geislar sem stefna á sameiginlegan áfangastað næstum samsíða. Sú nálgun gerir kleift að beita röð hornafræðilegra aðgerða sem leiða til jafnanna fyrir lágmörkin sem myndast við eyðandi samliðun.

eða

Þegar geislar ferðast beint áfram haldast þeir samfasa og miðhámark fæst. Hins vegar, þegar geislar ferðast við horn$\theta$miðað við upprunalega stefnu geislans, ferðast hver geisli mismunandi vegalengd að skjánum og þeir geta komið þangað samfasa eða úr fasa. Þannig ferðast geisli frá miðjunni vegalengd sem er$\lambda /2$lengri en geisli frá efri brún raufarinnar, þeir koma úr fasa og hafa eyðandi samliðun. Sömuleiðis, fyrir hvern geisla milli efri hluta og miðju raufarinnar, er til geisli milli miðju og neðri hluta raufarinnar sem ferðast vegalengd sem er$\lambda /2$lengri að sameiginlega punktinum á skjánum, og samliðast því á eyðandi hátt. Samhverft verður annað lágmark við sama horn neðan við beina geislann.

Hér að neðan tökum við saman jöfnurnar sem þarf fyrir útreikningana sem fylgja.

Ljóshraði í tómarúmi, c, bylgjulengd ljóssins,$\lambda$, og tíðni þess, f, tengjast á eftirfarandi hátt.

Bylgjulengd ljóss í efni,${\lambda }_n$, miðað við bylgjulengd þess í tómarúmi,$\lambda$, er gefin með

Til að reikna út staðsetningar styrkjandi samliðunar fyrir tvöfalda rauf verður vegalengdarmunurinn að vera heiltölumargfeldi, m, af bylgjulengdinni.$\lambda$

þar sem d er fjarlægðin milli raufanna og$\theta$er hornið á milli línu frá raufunum að hámarkinu og línu sem er hornrétt á hindrunina þar sem raufarnar eru staðsettar. Til að reikna út staðsetningar eyðandi samliðunar fyrir tvöfalda rauf verður vegalengdarmunurinn að vera hálftölumargfeldi af bylgjulengdinni:

Fyrir bylgjubeygjumynstur frá einni rauf eru breidd raufarinnar, D, fjarlægð fyrsta ($m=1$) lágmarks eyðandi samliðunar, y, fjarlægðin frá raufinni að skjánum, L, og bylgjulengdin,$\lambda$, gefin með

Einnig gildir fyrir bylgjubeygju frá einni rauf,

þar sem$\theta$er hornið á milli línu frá raufinni að lágmarkinu og línu sem er hornrétt á skjáinn, og m er röð lágmarksins.

Æfingadæmi

Spurning 1. Einlita ljós frá leysi fer í gegnum tvær raufar sem eru aðskildar með$\mathrm{0,00500}\text{ mm}$. Þriðja bjarta línan á skjánum myndast við hornið$\mathrm{18,0}°$miðað við innfallandi geisla. Hver er bylgjulengd ljóssins?

1. $\mathrm{51,5}\text{ nm}$
2. $\mathrm{77,3}\text{ nm}$
3. $515\text{ nm}$
4. $773\text{ nm}$

Spurning 2. Hver er breidd einnar raufar sem$610\text{ nm}$appelsínugult ljós fer í gegnum til að mynda fyrsta bylgjubeygjulágmark við hornið$\mathrm{30,0}°$?

1. 0,863 µm
2. 0,704 µm
3. 0,610 µm
4. 1,22 µm

Athugaðu skilning þinn

Spurning 3. Hvaða eiginleiki einlita ljósgeisla breytist þegar hann fer úr lofttæmi í vatn, og hvernig breytist hann?

1. Bylgjulengdin minnkar fyrst og eykst síðan.
2. Bylgjulengdin eykst fyrst og minnkar síðan.
3. Bylgjulengdin eykst.
4. Bylgjulengdin minnkar.

Spurning 4. Farðu út í sólskinið og skoðaðu skuggann þinn. Hann hefur óskarpar brúnir, jafnvel þótt þú hafir það ekki. Er þetta bylgjubeygjuhrif? Útskýrðu.

1. Þetta eru bylgjubeygjuhrif. Allur líkami þinn verkar sem uppspretta nýs bylgjuflatar.
2. Þetta eru bylgjubeygjuhrif. Sérhver punktur á brún skuggans þíns verkar sem uppspretta nýs bylgjuflatar.
3. Þetta eru ljósbrotshrif. Allur líkami þinn verkar sem uppspretta nýs bylgjuflatar.
4. Þetta eru ljósbrotshrif. Sérhver punktur á brún skuggans þíns verkar sem uppspretta nýs bylgjuflatar.

Spurning 5. Hvaða eiginleiki einlita græns ljóss breytist þegar það fer úr lofttæmi í demant, og hvernig breytist hann?

1. Bylgjulengdin minnkar fyrst og eykst síðan.
2. Bylgjulengdin eykst fyrst og minnkar síðan.
3. Bylgjulengdin eykst.
4. Bylgjulengdin minnkar.