88.10 Endurrita annars stigs stæður á þáttað form, hluti 4

8.10.4 Að finna þætti annars stigs stæðna á staðalformi

8.10.4 • Að finna þætti annars stigs stæðna á staðalformi

Verkefni

Þetta verkefni er viðbót við væntingar TEKS.

Hér er sniðug leið til að hugsa um annars stigs stæður sem getur auðveldað að finna þáttað form þeirra.

Þáttaðu stæðuna:

9 x^{2} + 21 x + 10

Skref 1 - Taktu eftir að kvaðratrót fyrsta liðarins, 3x, er þáttur í öðrum liðnum.
Skref 2 - Endurritaðu stæðuna með 3x. Þriðji liðurinn helst óbreyttur.
${(3 x)}^{2} + 7 (3 x) + 10$
Skref 3 - Settu N inn fyrir 3x.
$N^{2} + 7 N + 10$
Skref 4 - Þáttaðu nýju þríliðuna.
$(N + 2) (N + 5)$
Skref 5 - Skiptu N aftur út fyrir 3x til að finna endanlegt þáttað form.
$(3 x + 2) (3 x + 5)$

Með þessari innsetningaraðferð fæst einfaldari þríliða sem er auðveldara að þátta.

Notaðu dreifiregluna, eða FOIL-aðferðina, til að liða og einfalda eftirfarandi þáttaða stæðu. Skrifaðu stæðuna sem fæst á staðalformi og útskýrðu hvort hún sé jafngild upphaflegu stæðunni.

Lausn

(3 x + 2) (3 x + 5)

Berðu saman svarið þitt:

(3 x + 2) (3 x + 5) = 9 x^{2} + 15 x + 6 x + 10 = 9 x^{2} + 21 x + 10

Já, stæðurnar eru jafngildar.

Skoðaðu innsetningaraðferðina og reyndu að skilja hvað var gert í hverju skrefi. Hvers vegna gæti einfölduð þríliða með N verið auðveldari í þáttun?

Lausn

Þríliðan með N hefur annars stigs lið með stuðulinn 1. Því er auðveldara að finna þætti hennar.

Í dæmum 3 og 4 skaltu prófa þessa N-innsetningaraðferð til að skrifa stæðurnar á þáttuðu formi.

Þáttaðu stæðuna:

Lausn

4 x^{2} + 28 x + 45

Kvaðratrót fyrsta liðarins er 2x og hún er þáttur í öðrum liðnum. Þá má skrifa:

{(2 x)}^{2} + 14 (2 x) + 45

N^{2} + 14 N + 45 = (N + 5) (N + 9)

4 x^{2} + 28 x + 45 = (2 x + 5) (2 x + 9)

Þáttaðu stæðuna:

Lausn

25 x^{2} - 35 x + 6

Kvaðratrót fyrsta liðarins er 5x og hún er þáttur í öðrum liðnum. Þá má skrifa:

{(5 x)}^{2} - 7 (5 x) + 6

N^{2} - 7 N + 6 = (N - 6) (N - 1)

25 x^{2} - 35 x + 6 = (5 x - 6) (5 x - 1)

Þú hefur líklega tekið eftir að stuðull annars stigs liðarins í fyrri dæmunum er ferningstala. Hvað ef stuðullinn er ekki ferningstala?

Skoðum stæðu þar sem stuðull annars stigs liðarins er ekki ferningstala:

5 x^{2} + 17 x + 6

Ef forystustuðullinn er margfaldaður með 5 verður fyrsti liðurinn ferningstala, 25x². Við megum þó ekki bæta við nýjum þætti sem breytir gildi stæðunnar, svo við jafnvægjum margföldunina með því að margfalda líka með 1/5.

Skref 1 - Margfaldaðu með 1/5 · 5.

\frac{1}{5} \cdot 5 (5 x^{2} + 17 x + 6)

Skref 2 - Dreifðu 5 inn í þríliðuna.

\frac{1}{5} (25 x^{2} + 85 x + 30)

Skref 3 - Endurritaðu með kvaðratrót fyrsta liðarins, 5x.

\frac{1}{5} ({(5 x)}^{2} + 17 (5 x) + 30)

Skref 4 - Settu N inn fyrir 5x.

\frac{1}{5} (N^{2} + 17 N + 30)

Skref 5 - Þáttaðu þríliðuna.

\frac{1}{5} ((N + 15) (N + 2))

Skref 6 - Skiptu N aftur út fyrir 5x.

\frac{1}{5} (5 x + 15) (5 x + 2)

Skref 7 - Taktu 5 út fyrir annan þáttinn.

\frac{1}{5} \cdot 5 (x + 3) (5 x + 2)

Skref 8 - Þar sem 1/5 · 5 = 1 fæst þáttaða formið:

(x + 3) (5 x + 2)

Notaðu dreifiregluna, eða FOIL-aðferðina, til að liða og einfalda þáttuðu stæðuna. Skrifaðu stæðuna á staðalformi og útskýrðu hvort hún sé jafngild upphaflegu stæðunni.

Lausn

(x + 3) (5 x + 2)

Berðu saman svarið þitt:

(x + 3) (5 x + 2) = 5 x^{2} + 2 x + 15 x + 6 = 5 x^{2} + 17 x + 6

Já, stæðurnar eru jafngildar.

Ef sömu aðferð er beitt á þríliðu með forystuliðinn 6x², hvaða margföldunarstæðu sem er jafngild 1 myndir þú nota til að endurrita þríliðuna? Sýndu röksemdafærsluna.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

\frac{1}{6} \cdot 6

Ef forystuliðurinn er margfaldaður með 6 verður hann 36x², sem er ferningstala.

Í dæmum 7 og 8 skaltu nota N-aðferðina til að skrifa stæðurnar á þáttuðu formi.

Þáttaðu stæðuna:

Lausn

3 x^{2} + 16 x + 5

\frac{1}{3} \cdot 3 (3 x^{2} + 16 x + 5)

\frac{1}{3} (9 x^{2} + 48 x + 15)

\frac{1}{3} (N^{2} + 16 N + 15) = \frac{1}{3} ((N + 15) (N + 1))

\frac{1}{3} (3 x + 15) (3 x + 1)

3 x^{2} + 16 x + 5 = (x + 5) (3 x + 1)

Þáttaðu stæðuna:

Lausn

10 x^{2} - 41 x + 4

\frac{1}{10} \cdot 10 (10 x^{2} - 41 x + 4)

\frac{1}{10} (100 x^{2} - 410 x + 40)

\frac{1}{10} (N^{2} - 41 N + 40) = \frac{1}{10} ((N - 40) (N - 1))

\frac{1}{10} (10 x - 40) (10 x - 1)

10 x^{2} - 41 x + 4 = (x - 4) (10 x - 1)

Ítarefni

Að finna þætti annars stigs stæðna á staðalformi

Skoðum styttri leið sem getur hjálpað við að þátta flóknar annars stigs stæður. Aðferðin nýtist þegar stuðull fyrsta liðarins er ferningstala, til dæmis 4 eða 9.

Dæmi 1

4 x^{2} + 4 x - 3

Skref 1 - Endurritaðu fyrstu tvo liðina með 2x.
${(2 x)}^{2} + 2 (2 x) - 3$
Skref 2 - Settu N inn fyrir 2x.
$N^{2} + 2 N - 3$
Skref 3 - Þáttaðu einfölduðu stæðuna.
$(N + 3) (N - 1)$
Skref 4 - Skiptu N aftur út fyrir 2x.
$4 x^{2} + 4 x - 3 = (2 x + 3) (2 x - 1)$

Næsta dæmi er stæða þar sem stuðull annars stigs liðarins er ekki ferningstala. Þá má samt beita annarri útgáfu af sömu aðferð.

Dæmi 2

5 x^{2} + 27 x - 18

Skref 1 - Margfaldaðu með 1/5 · 5 þannig að forystustuðullinn verði ferningstala án þess að gildi stæðunnar breytist.
$\frac{1}{5} \cdot 5 (5 x^{2} + 27 x - 18)$
Skref 2 - Dreifðu 5.
$\frac{1}{5} (25 x^{2} + 135 x - 90)$
Skref 3 - Endurritaðu fyrstu tvo liðina með 5x.
$\frac{1}{5} ({(5 x)}^{2} + 27 (5 x) - 90)$
Skref 4 - Settu N inn fyrir 5x.
$\frac{1}{5} (N^{2} + 27 N - 90)$
Skref 5 - Þáttaðu einfölduðu stæðuna.
$\frac{1}{5} ((N + 30) (N - 3))$
Skref 6 - Skiptu N aftur út fyrir 5x.
$\frac{1}{5} (5 x + 30) (5 x - 3)$
Skref 7 - Taktu 5 út fyrir annan þáttinn og einfaldaðu 1/5 · 5.
$5 x^{2} + 27 x - 18 = (x + 6) (5 x - 3)$

Athugum með dreifireglunni að stæðurnar séu jafngildar:

(x + 6) (5 x - 3) = 5 x^{2} + 30 x - 3 x - 18 = 5 x^{2} + 27 x - 18

Þær eru jafngildar.

Dæmi 1

4 x^{2} + 4 x - 3

Skref 1 - Endurritaðu fyrstu tvo liðina með 2x.
${(2 x)}^{2} + 2 (2 x) - 3$
Skref 2 - Settu N inn fyrir 2x.
$N^{2} + 2 N - 3$
Skref 3 - Þáttaðu einfölduðu stæðuna.
$(N + 3) (N - 1)$
Skref 4 - Skiptu N aftur út fyrir 2x.
$4 x^{2} + 4 x - 3 = (2 x + 3) (2 x - 1)$

Næsta dæmi er stæða þar sem stuðull annars stigs liðarins er ekki ferningstala. Þá má samt beita annarri útgáfu af sömu aðferð.

Dæmi 2

5 x^{2} + 27 x - 18

Skref 1 - Margfaldaðu með 1/5 · 5 þannig að forystustuðullinn verði ferningstala án þess að gildi stæðunnar breytist.
$\frac{1}{5} \cdot 5 (5 x^{2} + 27 x - 18)$
Skref 2 - Dreifðu 5.
$\frac{1}{5} (25 x^{2} + 135 x - 90)$
Skref 3 - Endurritaðu fyrstu tvo liðina með 5x.
$\frac{1}{5} ({(5 x)}^{2} + 27 (5 x) - 90)$
Skref 4 - Settu N inn fyrir 5x.
$\frac{1}{5} (N^{2} + 27 N - 90)$
Skref 5 - Þáttaðu einfölduðu stæðuna.
$\frac{1}{5} ((N + 30) (N - 3))$
Skref 6 - Skiptu N aftur út fyrir 5x.
$\frac{1}{5} (5 x + 30) (5 x - 3)$
Skref 7 - Taktu 5 út fyrir annan þáttinn og einfaldaðu 1/5 · 5.
$5 x^{2} + 27 x - 18 = (x + 6) (5 x - 3)$

Athugum með dreifireglunni að stæðurnar séu jafngildar:

(x + 6) (5 x - 3) = 5 x^{2} + 30 x - 3 x - 18 = 5 x^{2} + 27 x - 18

Þær eru jafngildar.