77.9 Staðalform og þáttað form

7.9.2 Að finna margfeldi mismuna

Verkefni

1. Sýndu fram á að eftirfarandi stæður séu jafngildar með því að teikna mynd eða beita dreifireglunni. Sýndu rökstuðning þinn.

$(x - 1) (x - 1)$ og $x^{2} - 2 x + 1$

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Teikning myndar

	$x$	$−1$
$x$	$x^{2}$	$−x$
$−1$	$−x$	$1$

Summa hlutmargfeldanna er $x^{2} + (- x) + (- x) + 1$ eða $x^{2} - 2 x + 1$ .

Beiting dreifireglunnar

Ef dreifireglunni er beitt á $(x - 1) (x - 1)$ fæst $(x - 1) (x - 1) = x^{2} + x (- 1) + (- 1) x + {(- 1)}^{2} = x^{2} - x - x + 1 = x^{2} - 2 x + 1$ .

2. Ritaðu jafngilda stæðu fyrir hverja stæðu. Sýndu rökstuðning þinn.

a. $(x + 1) (x - 1)$

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: $x^{2} - 1$

Til dæmis gefur dreifireglan $(x + 1) (x - 1) = x^{2} + x - x - 1 = x^{2} - 1$ .

b. $(x - 2) (x + 3)$

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: $x^{2} + x - 6$

Ein leið er að beita dreifireglunni: $(x + 3) (x - 2) = x^{2} - 2 x + 3 x - 6 = x^{2} + x - 6$

Eða nota mynd:

	$x$	$3$
$x$	$x^{2}$	$3 x$
$−2$	$−2x$	$−6$

Ef hlutmargfeldin í minni rétthyrningunum fjórum eru lögð saman fæst $x^{2} + 3 x + (- 2 x) + (- 6)$ sem jafngildir $x^{2} + x - 6$ .

c. ${(x - 2)}^{2}$

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: $x^{2} - 4 x + 4$ , því að $(x - 2) (x - 2) = x^{2} - 2 x - 2 x + 4 = x^{2} - 4 x + 4$ .

Myndband: Að finna margfeldi mismuna

Í upprunalega efninu fylgir myndband um hvernig finna má margfeldi mismuna.

Sjálfspróf

Hvaða stæða jafngildir eftirfarandi stæðu? ${(x - 2)}^{2}$

$x^{2} + 4 x + 4$
$x^{2} - 4 x + 4$
$x^{2} + 4$
$x^{2} - 4$

Viðbótarefni

Margföldun tvíliða með neikvæðum tölum

Í fyrri kennslustund lærðir þú að setja tvílið í annað veldi. ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ og ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Þú getur notað þetta til að leysa eftirfarandi dæmi.

Dæmi 1

Finndu stæðuna sem jafngildir ${(x - 3)}^{2}$ .

Það þýðir að margfalda tvíliðinn með sjálfum sér: ${(x - 3)}^{2} = (x - 3) (x - 3)$ .

Dreifðu nú. Mundu að þú getur notað FOIL-aðferðina.

A diagram showing the quantity of x minus 3 times the quantity of x minus 3. On the top, a blue arrow is going from x in the first binomial to x in the second binomial. Another blue arrow is going from x in the first binomial to negative 3 in the second binomial. On the bottom, in red, an arrow is going from negative 3 in the first binomial to x in the second binomial and then another arrow is going from negative 3 in the first binomial to negative 3 in the second binomial.

Margfaldaðu $x$ með seinni tvíliðnum og margfaldaðu síðan $- 3$ með seinni tvíliðnum. Taktu síðan saman samliða.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 = x^{2} - 6 x + 9$

Dæmi 2

Finndu stæðuna sem jafngildir $(x - 4) (x + 2)$ .

Dreifðu fyrst. Mundu að þú getur notað FOIL-aðferðina.

A diagram showing the quantity of x minus 4 times the quantity of x plus 2. On the top, a blue arrow is going from x in the first binomial to x in the second binomial. Another blue arrow is going from x in the first binomial to 2 in the second binomial. On the bottom, in red, an arrow is going from negative 4 in the first binomial to x in the second binomial and then another arrow is going from negative 4 in the first binomial to 2 in the second binomial.

Margfaldaðu $x$ með $(x + 2)$ og margfaldaðu síðan $- 4$ með $(x + 2)$ . Taktu saman samliða:

$x^{2} + 2 x - 4 x - 8 = x^{2} - 2 x - 8$

Reyndu þetta

Margföldun tvíliða með neikvæðum tölum

Finndu stæðuna sem jafngildir $(x + 5) (x - 3)$ .

Lausn

Finndu jafngilda stæðu með því að dreifa $x$ á $(x - 3)$ og dreifa síðan $5$ á sama tvílið. Mundu að þú getur notað FOIL-aðferðina.

$x^{2} - 3 x + 5 x - 15$

Taktu því næst saman samliða.

$x^{2} + 2 x - 15$

7.9.2 Að finna margfeldi mismuna

Verkefni

1. Sýndu fram á að eftirfarandi stæður séu jafngildar með því að teikna mynd eða beita dreifireglunni. Sýndu rökstuðning þinn.

$(x - 1) (x - 1)$ og $x^{2} - 2 x + 1$

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Teikning myndar

	$x$	$−1$
$x$	$x^{2}$	$−x$
$−1$	$−x$	$1$

Summa hlutmargfeldanna er $x^{2} + (- x) + (- x) + 1$ eða $x^{2} - 2 x + 1$ .

Beiting dreifireglunnar

Ef dreifireglunni er beitt á $(x - 1) (x - 1)$ fæst $(x - 1) (x - 1) = x^{2} + x (- 1) + (- 1) x + {(- 1)}^{2} = x^{2} - x - x + 1 = x^{2} - 2 x + 1$ .

2. Ritaðu jafngilda stæðu fyrir hverja stæðu. Sýndu rökstuðning þinn.

a. $(x + 1) (x - 1)$

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: $x^{2} - 1$

Til dæmis gefur dreifireglan $(x + 1) (x - 1) = x^{2} + x - x - 1 = x^{2} - 1$ .

b. $(x - 2) (x + 3)$

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: $x^{2} + x - 6$

Ein leið er að beita dreifireglunni: $(x + 3) (x - 2) = x^{2} - 2 x + 3 x - 6 = x^{2} + x - 6$

Eða nota mynd:

	$x$	$3$
$x$	$x^{2}$	$3 x$
$−2$	$−2x$	$−6$

Ef hlutmargfeldin í minni rétthyrningunum fjórum eru lögð saman fæst $x^{2} + 3 x + (- 2 x) + (- 6)$ sem jafngildir $x^{2} + x - 6$ .

c. ${(x - 2)}^{2}$

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: $x^{2} - 4 x + 4$ , því að $(x - 2) (x - 2) = x^{2} - 2 x - 2 x + 4 = x^{2} - 4 x + 4$ .

Myndband: Að finna margfeldi mismuna

Í upprunalega efninu fylgir myndband um hvernig finna má margfeldi mismuna.

Sjálfspróf

Hvaða stæða jafngildir eftirfarandi stæðu? ${(x - 2)}^{2}$

$x^{2} + 4 x + 4$
$x^{2} - 4 x + 4$
$x^{2} + 4$
$x^{2} - 4$

Viðbótarefni

Margföldun tvíliða með neikvæðum tölum

Í fyrri kennslustund lærðir þú að setja tvílið í annað veldi. ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ og ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Þú getur notað þetta til að leysa eftirfarandi dæmi.

Dæmi 1

Finndu stæðuna sem jafngildir ${(x - 3)}^{2}$ .

Það þýðir að margfalda tvíliðinn með sjálfum sér: ${(x - 3)}^{2} = (x - 3) (x - 3)$ .

Dreifðu nú. Mundu að þú getur notað FOIL-aðferðina.

Margfaldaðu $x$ með seinni tvíliðnum og margfaldaðu síðan $- 3$ með seinni tvíliðnum. Taktu síðan saman samliða.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 = x^{2} - 6 x + 9$

Dæmi 2

Finndu stæðuna sem jafngildir $(x - 4) (x + 2)$ .

Dreifðu fyrst. Mundu að þú getur notað FOIL-aðferðina.

Margfaldaðu $x$ með $(x + 2)$ og margfaldaðu síðan $- 4$ með $(x + 2)$ . Taktu saman samliða:

$x^{2} + 2 x - 4 x - 8 = x^{2} - 2 x - 8$

Reyndu þetta

Margföldun tvíliða með neikvæðum tölum

Finndu stæðuna sem jafngildir $(x + 5) (x - 3)$ .

Lausn

Finndu jafngilda stæðu með því að dreifa $x$ á $(x - 3)$ og dreifa síðan $5$ á sama tvílið. Mundu að þú getur notað FOIL-aðferðina.

$x^{2} - 3 x + 5 x - 15$

Taktu því næst saman samliða.

$x^{2} + 2 x - 15$