99 Tímavirði peninga III: virði margra ójafnra greiðslna

9.1 Tímasetning greiðsluflæðis

Hæfniviðmið

Að þessum hluta loknum átt þú að geta:

Lýsa því hvernig margar greiðslur með ójafnar fjárhæðir koma fyrir í daglegu lífi.
Reikna framtíðargildi margra greiðslna með ójafnar fjárhæðir.
Reikna núvirði margra greiðslna með ójafnar fjárhæðir.

Margar greiðslur eða innborganir með ójöfnu virði: blandað greiðsluflæði

Þú þekkir nú tímavirði stakra fjárhæða og jafnra greiðsluraða og veist hvernig þessar stærðir nýtast við fjárhagslegar ákvarðanir einstaklinga og fyrirtækja. Þegar fjárhæðir í greiðsluflæði eru ekki allar jafnar þarf hins vegar að laga útreikningsaðferðirnar að því; þá eiga flýtileiðirnar fyrir jafnar greiðsluraðir ekki við. Með fjárhagsreiknivél, reiknivél á netinu eða Microsoft Excel eru útreikningarnir þó yfirleitt einfaldir.

Góð greining á greiðsluflæði er grundvallaratriði. Gerum ráð fyrir að þú leggir $2,000 til hliðar árlega, í fyrsta sinn að ári liðnu, til að safna fyrir útborgun á þínu fyrsta heimili eftir sjö ár. Á þriðja ári erfir þú $10,000 og leggur alla fjárhæðina í sparnaðinn. Á fimmta ári færðu auk þess $3,000 bónus sem rennur einnig til sama markmiðs.

Hinar reglulegu greiðslur fá þannig tvær kærkomnar viðbætur. Þær gera útreikningana þó flóknari, hvort sem finna á framtíðargildi með vaxtavöxtum eða núvirði með afvöxtun. Greinendur nefna greiðsluröð af þessu tagi blandað greiðsluflæði. Ef fyrsta greiðslan er lögð inn í upphafi næsta árs, og síðan í upphafi hvers árs þar á eftir, hversu mikið hefur þá safnast í lok sjöunda ársins þegar fjárfestingin ber 7% ársvexti? Í svarinu felst bæði höfuðstóll og áunnir vextir.

Hér þarf að finna framtíðargildi. Þar sem greiðsluflæðið er blandað er ekki hægt að beita formúlu fyrir jafna greiðsluröð eða þeim flýtileiðum sem henni fylgja. Eins og áður er gagnlegt að setja greiðslurnar upp á tímalínu eða í töflu. Tafla 9.1 sýnir greiðsluflæðið í dæminu. Gert er ráð fyrir að hver fjárhæð sé lögð inn í upphafi árs; uppsafnaða greiðsluflæðið í töflunni tekur enn ekki tillit til vaxta.

Ár	0	1	2	3	4	5	6	7
Fjárfest reiðufé	$0.00	$2,000	$2,000	$2,000	$12,000	$2,000	$5,000	$2,000
Uppsafnað greiðsluflæði		$2,000	$4,000	$6,000	$18,000	$20,000	$25,000	$27,000

Á sjö árum leggur þú samtals $27,000 af eigin fé í fjárfestinguna, áður en vextir eru teknir með:

Sjö árlegar innborganir að fjárhæð $2,000, samtals $14,000
Viðbótarinnborgun að fjárhæð $10,000 sem berst á ári 3 og er lögð inn í upphafi árs 4
Viðbótarinnborgun að fjárhæð $3,000 sem berst á ári 5 og er lögð inn í upphafi árs 6

Fjárhæðirnar eru lagðar inn á mismunandi tímum og bera því vexti mislengi. Lítum á línuna með uppsöfnuðu greiðsluflæði: hversu há verður lokastaðan ef fjárfestingin ber 7% árlega vaxtavexti? Nota má formúluna fyrir framtíðargildi stakrar fjárhæðar, en ekki formúlu fyrir jafna greiðsluröð. Reikna verður framtíðargildi hverrar innborgunar fyrir sig og leggja niðurstöðurnar saman.

Formúlan fyrir framtíðargildi stakrar fjárhæðar er FV = PV $\times$ (1 + i)ⁿ. Þar táknar FV framtíðargildið sem leitað er að, PV fjárhæðina sem lögð er inn í upphafi tímabils, i vaxtahlutfallið og n fjölda tímabila sem fjárhæðin ber vaxtavexti.

Tafla 9.2 sýnir greiðsluflæðið aftur og tilgreinir jafnframt í hversu mörg tímabil, hér ár, hver innborgun ber 7% vaxtavexti.

Ár	0	1	2	3	4	5	6	7
Fjárfest reiðufé	$0.00	$2,000	$2,000	$2,000	$12,000	$2,000	$5,000	$2,000
Uppsafnað greiðsluflæði		$2,000	$4,000	$6,000	$18,000	$20,000	$25,000	$27,000
Ár með vaxtavöxtum		7	6	5	4	3	2	1

Innborgunin að fjárhæð $2,000 í upphafi árs 1 ber 7% vexti í sjö ár. Þegar önnur innborgunin er lögð inn í upphafi árs 2 hefur þú lagt inn samtals $4,000. Fyrsta innborgunin hefur þá þegar skilað $2,000 $\times$ 0.07 = $140 í vexti og staðan í upphafi árs 2 er því $4,140, ekki $4,000.

Áður en allt greiðsluflæðið er sett í eina töflu skulum við skoða fyrstu tvö árin með formúlunni fyrir framtíðargildi stakrar fjárhæðar. Hvert verður framtíðargildi innborgunarinnar á ári 1 í lok sjöunda ársins?

{FV}_{1} = $ 2,000 \times {(1 + 0.07)}^{7} \approx $ 3,211.56

9.1

Innborgunina á ári 2 þarf að reikna sérstaklega. Hún er lögð inn ári síðar en fyrsta innborgunin og ber því vaxtavexti í sex ár. Hvert verður framtíðargildi hennar?

{FV}_{2} = $ 2,000 \times {(1 + 0.07)}^{6} \approx $ 3,001.46

9.2

Sama aðferð er notuð fyrir innborganirnar fimm sem eftir eru. Athugaðu að í upphafi árs 4 eru lagðar inn $12,000 og í upphafi árs 6 eru lagðar inn $5,000, eins og taflan sýnir. Útreikningarnir fimm eru þessir:

\begin{array}{rcl} {FV}_{3} & = & $ 2,000 \times {(1 + 0.07)}^{5} \approx $ 2,805.10 \\ {FV}_{4} & = & $ 12,000 \times {(1 + 0.07)}^{4} \approx $ 15,729.55 \\ {FV}_{5} & = & $ 2,000 \times {(1 + 0.07)}^{3} \approx $ 2,450.09 \\ {FV}_{6} & = & $ 5,000 \times {(1 + 0.07)}^{2} \approx $ 5,724.50 \\ {FV}_{7} & = & $ 2,000 \times {(1 + 0.07)}^{1} \approx $ 2,140.00 \end{array}

9.3

Veldisvísirinn n lækkar um einn á hverju ári, enda styttist sá tími sem hver ný innborgun ber vaxtavexti fram að lokum sjöunda ársins. Tafla 9.3 sýnir framtíðargildi allra innborgana á einum stað.

Ár	0	1	2	3	4	5	6	7
Fjárfest reiðufé	$0.00	$2,000	$2,000	$2,000	$12,000	$2,000	$5,000	$2,000
Uppsafnað greiðsluflæði		$2,000	$4,000	$6,000	$18,000	$20,000	$25,000	$27,000
Ár með vaxtavöxtum		7	6	5	4	3	2	1
Vaxtavöxtuð fjárhæð í lok árs 7		$3,211.56	$3,001.46	$2,805.10	$15,729.55	$2,450.09	$5,724.50	$2,140.00

Framtíðargildi fjárfestingarinnar er summa framtíðargildis innborgananna sjö. Samlagning fjárhæðanna í neðstu línu töflunnar gefur $35,062.26. Þar af eru $27,000 innborgað eigið fé og $8,062.26 áunnir vextir.

Í dæmum um tímavirði peninga er verðmatið yfirleitt miðað við upphaf eða lok tímabils. Það einfaldar útreikninga á framtíðar- og núvirði blandaðs greiðsluflæðis. Í rekstri geta tekjur af eign fallið til jafnt og þétt innan tímabils og þá kann að vera rétt að miða verðmat við annan tímapunkt. Þar sem slíkt mat byggist á óvissri spá verður hér áfram reiknað út frá heilum tímabilum.

Hugleiddu þetta

Framtíðargildi blandaðs greiðsluflæðis

9.4.

Gerðu ráð fyrir að þú leggir inn fimm árlegar greiðslur að fjárhæð $10,000, þá fyrstu strax. Þú telur einnig að unnt verði að leggja inn $5,000 til viðbótar í upphafi ára 4 og 5. Fjárfestingin ber 4% ársvexti. Hvert verður vænt framtíðargildi hennar í lok fimmta árs?

Lausn

Lausn:

Ár	0	1	2	3	4	5
Fjárfest reiðufé	$0.00	$10,000	$10,000	$10,000	$15,000	$15,000
Uppsafnað greiðsluflæði		$10,000	$20,000	$30,000	$45,000	$60,000
Ár með vaxtavöxtum		5	4	3	2	1
Vaxtavöxtuð fjárhæð í lok árs 5		$12,166.53	$11,698.59	$11,248.64	$16,224.00	$15,600.00

Framtíðargildi hverrar innborgunar í lok fimmta árs er reiknað með eftirfarandi jöfnum:

\begin{array}{rcl} {FV}_{1} & = & $ 10,000 \times {(1 + 0.04)}^{5} \approx $ 12,166.53 \\ {FV}_{2} & = & $ 10,000 \times {(1 + 0.04)}^{4} \approx $ 11,698.59 \\ {FV}_{3} & = & $ 10,000 \times {(1 + 0.04)}^{3} \approx $ 11,248.64 \\ {FV}_{4} & = & $ 15,000 \times {(1 + 0.04)}^{2} \approx $ 16,224.00 \\ {FV}_{5} & = & $ 15,000 \times {(1 + 0.04)}^{5} \approx $ 15,600.00 \end{array}

9.4

Samanlagt framtíðargildi innborgana og áunninna vaxta er $66,937.76.

Skoðum dæmið frá öðru sjónarhorni. Aðferðin hér að framan reiknar framtíðargildi hverrar árlegrar innborgunar og leggur niðurstöðurnar síðan saman. Áður en við kynnum Excel er gagnlegt að sjá hvernig greiðsluflæðinu má einnig skipta í jafna greiðsluröð og stakar viðbótargreiðslur.

Grunninn má líta á sem fimm ára fyrirframgreidda jafna greiðsluröð, $10,000 á ári, og síðan bæta við stökum $5,000 greiðslum á árum 4 og 5. Fyrst er þá reiknað framtíðargildi jöfnu greiðsluraðarinnar og því næst framtíðargildi viðbótargreiðslnanna tveggja.

Aðferðina má draga saman þannig:

Framtíðargildi $10,000 fyrirframgreiddrar jafnrar greiðsluraðar, 4%, 5 ár, auk
Framtíðargildi stakrar greiðslu að fjárhæð $5,000, 4%, 2 ár, auk
Framtíðargildi stakrar greiðslu að fjárhæð $5,000, 4%, 1 ár

Niðurstaðan á að verða sú sama. Formúlan fyrir framtíðargildi fyrirframgreiddrar jafnrar greiðsluraðar er

\begin{array}{rcl} FVa & = & PYMT \times \frac{{(1 + i)}^{n} - 1}{i} \times (1 + i) \end{array}

9.5

Dæmið er leyst í þremur skrefum samkvæmt samantektinni.

Skref 1:

\begin{array}{rcl} FVa & = & $ 10,000 \times \frac{{(1 + 0.04)}^{5} - 1}{0.04} \times (1 + 0.04) \end{array}

9.6

\begin{array}{rcl} FVa & = & $ 10,000 \times 5.416323 \times 1.04 \approx $ 56,329.76 \end{array}

9.7

Skref 2:

\begin{array}{rcl} {FV}_{ár 4} & = & $ 5,000 \times {(1 + 0.04)}^{2} = $ 5,408.00 \end{array}

9.8

Skref 3:

\begin{matrix} {FV}_{ár 5} & = & $ 5,000 \times {(1 + 0.04)}^{1} = $ 5,200.00 \end{matrix}

9.9

Þegar niðurstöður skrefanna þriggja eru lagðar saman fæst

56,329.76 + 5,408.00 + 5,200.00 = $ 66,937.76

9.10

Niðurstaðan er sú sama. Greiðsluflæðið má annaðhvort greina sem fimm stakar innborganir og leggja framtíðargildi þeirra saman eða sem samsetningu jafnrar greiðsluraðar og stakra greiðslna. Báðar leiðir gefa sama svar ef tímasetning, vextir og fjárhæð hverrar greiðslu eru rétt skráð.

Núvirði blandaðs greiðsluflæðis

Eftir að hafa reiknað framtíðargildi skulum við snúa okkur að núvirði. Gerum ráð fyrir að þú vinnir í happdrætti og viljir ávaxta hluta vinningsins með föstum vöxtum. Markmiðið er að taka út $17,000 í lok hvers af fyrstu þremur árunum, $17,500 í lok árs 4 og loks $18,000 í lok árs 5. Síðasta úttektin tæmir reikninginn. Ef fjárfestingin ber 6% ársvexti, hversu háa fjárhæð þarf að leggja inn í dag?

Nú er reiknað aftur í tímann, öfugt við dæmin um framtíðargildi. Framtíðargreiðslurnar eru færðar til núvirðis með afvöxtun, ekki framreiknaðar með vaxtavöxtum.

Spurningin er því: hvaða fjárhæð þarf að fjárfesta í dag svo fyrirhugaðar úttektir verði mögulegar? Eftirstöðvar á reikningnum bera 6% árlega vaxtavexti allan tímann.

Eins og í fyrri köflum er núvirði reiknað út frá þekktum framtíðargreiðslum. Markmiðið er að finna þá fjárhæð sem þarf í dag til að standa undir þeim. Rifjum fyrst upp viðeigandi formúlur.

Núvirði venjulegrar jafnrar greiðsluraðar:

\begin{array}{rcl} PVa & = & PYMT \times \frac{[1 - \frac{1}{{(1 + i)}^{n}}]}{i} \end{array}

9.11

Núvirði stakrar fjárhæðar:

\begin{array}{rcl} PV & = & FV \times \frac{1}{{(1 + i)}^{n}} \end{array}

9.12

Hér táknar PVa núvirði jafnrar greiðsluraðar, PYMT eina greiðslu í slíkri röð, i vaxtahlutfallið, sem er árlegt nema annað sé tekið fram, og n fjölda tímabila. PV táknar núvirði stakrar fjárhæðar og FV framtíðargildi hennar.

Finna þarf þá heildarfjárhæð sem lögð er inn í dag. Hana má reikna með því að afvaxta hverja fyrirhugaða úttekt sérstaklega og leggja niðurstöðurnar saman. Skoðum tvær lausnaleiðir.

Fyrst er greiðsluflæðinu skipt eftir árum. Tafla 9.5 sýnir hvenær hver framtíðarúttekt fer fram.

Ár	0	1	2	3	4	5
Vænt úttektarfjárhæð í lok árs	$0.00	$17,000	$17,000	$17,000	$17,500	$18,000

Fyrri aðferðin afvaxtar úttekt hvers árs til dagsins í dag með formúlunni fyrir núvirði stakrar fjárhæðar:

PV = FV \times \frac{1}{{(1 + i)}^{n}}

9.13

{PV}_{1} = $ 17,000 \times \frac{1}{{(1 + 0.06)}^{1}} \approx $ 16,037.74

9.14

Fyrsta úttektin fer fram eftir eitt ár og er því afvöxtuð um eitt ár. Önnur úttektin fer fram eftir tvö ár og er afvöxtuð um tvö ár:

{PV}_{2} = $ 17,000 \times \frac{1}{{(1 + 0.06)}^{2}} \approx $ 15,129.94

9.15

Úttektir næstu þriggja ára eru afvaxtaðar með sama hætti um þrjú, fjögur og fimm ár:

\begin{array}{rcl} {PV}_{3} & = & $ 17,000 \times \frac{1}{{(1 + 0 . 06)}^{3}} \approx $ 14,273.53 \\ {PV}_{4} & = & $ 17,500 \times \frac{1}{{(1 + 0 . 06)}^{4}} \approx $ 13,861.64 \\ {PV}_{5} & = & $ 18,000 \times \frac{1}{{(1 + 0 . 06)}^{5}} \approx $ 13,450.65 \end{array}

9.16

Veldisvísirinn n þróast nú öfugt við útreikning framtíðargildis. Hann hækkar með hverju ári vegna þess að síðari greiðslur eru afvaxtaðar yfir lengri tíma til að finna virði þeirra í dag.

Samanlagt núvirði úttektanna fimm er $72,753.49. Með öðrum orðum þarf að leggja þá fjárhæð inn í dag til að geta tekið út $17,000 í lok hvers af fyrstu þremur árunum, $17,500 í lok árs 4 og $18,000 í lok árs 5. Sá hluti innstæðunnar sem ekki hefur verið tekinn út ber áfram 6% ársvexti. Sjá töflu 9.6.

Ár	0	1	2	3	4	5
Tekið út í lok árs		$17,000.00	$17,000.00	$17,000.00	$17,500.00	$18,000.00
Vextir af stöðu		$4,365.21	$3,607.12	$2,803.55	$1,951.76	$1,018.87
Eftirstöðvar	$72,753.49	$60,118.70	$46,725.82	$32,529.37	$16,981.13	$0.00

Önnur lausnaleið nýtir sér að fyrstu þrjár úttektirnar eru jafnar, $17,000 hver. Þær mynda þriggja tímabila venjulega jafna greiðsluröð, en úttektirnar að fjárhæð $17,500 og $18,000 eru stakar greiðslur. Í skrefi 1 er jafna greiðsluröðin afvöxtuð til núvirðis. Í skrefum 2 og 3 eru stöku greiðslurnar á árum 4 og 5 afvaxtaðar hvor fyrir sig. Að lokum eru niðurstöðurnar þrjár lagðar saman.

Reiknið núvirði jöfnu greiðsluraðarinnar með PVa-formúlunni:
$PVa = $ 17,000 \times \frac{[1 - \frac{1}{{(1 + 0.06)}^{3}}]}{0.06}$
9.17
$PVa = $ 17,000 \times \frac{1 - 0.839619}{0.06}$
9.18
$PVa = $ 17,000 \times 2.673017 \approx $ 45,441.29$
9.19
Afvaxtið greiðsluna á ári 4 með formúlunni fyrir núvirði stakrar fjárhæðar:
${PV}_{(ár 4)} = $ 17,500 \times \frac{1}{{(1 + 0.06)}^{4}} \approx $ 13,861.64$
9.20
Afvaxtið greiðsluna á ári 5 með sömu formúlu:
${PV}_{(ár 5)} = $ 18,000 \times \frac{1}{{(1 + 0.06)}^{5}} \approx $ 13,450.65$
9.21

Þegar fjárhæðirnar þrjár hafa verið færðar til núvirðis eru þær lagðar saman:

45,441.20 + 13,861.64 + 13,450.65 = $ 72,753.49

9.22

Núvirðisgreining greiðsluflæðis er mikilvæg við mat á fjárfestingum fyrirtækja, einkum af tveimur ástæðum. Fjárfestingin er oft stór og óvissan nær gjarnan yfir mörg ár. Stór framleiðsluvél getur til dæmis þurft að skapa tekjur í nokkur ár áður en kaupin hafa borgað sig. Afskriftir dreifa kostnaði eignarinnar yfir nýtingartíma hennar og auðvelda þannig samanburð kostnaðarins við þann hagnað og það greiðsluflæði sem eignin skapar.

Hugleiddu þetta

Núvirði blandaðs greiðsluflæðis

9.7.

Gerðu ráð fyrir að fjárfesting kosti $450,000 og að allt greiðsluflæði sé afvaxtað með 4% vöxtum. Fjármálaráðgjafi áætlar innborganir að fjárhæð $100,000 í lok árs 1, $125,000 í lok árs 2, $175,000 í lok árs 3, $90,000 í lok árs 4 og $50,000 í lok árs 5. Vextir reiknast árlega. Er fjárfestingin hagstæð ef eingöngu er litið til þessara talna?

Lausn

Lausn:

Ár	0	1	2	3	4	5
Vænt úttektarfjárhæð í lok árs	$0.00	$100,000	$125,000	$175,000	$90,000	$50,000

Hver innborgun er afvöxtuð með formúlunni fyrir núvirði stakrar fjárhæðar og niðurstöðurnar síðan lagðar saman. Síðar verður sýnt hvernig Excel einfaldar útreikninginn, en fyrst þarf að skilja röksemdina að baki beinni afvöxtun ójafns greiðsluflæðis.

\begin{array}{rcl} {PV}_{1} & = & $ 100,000 \times \frac{1}{{(1 + 0.04)}^{1}} \approx $ 96,153.85 \\ {PV}_{2} & = & $ 125,000 \times \frac{1}{{(1 + 0.04)}^{2}} \approx $ 115,569.53 \\ {PV}_{3} & = & $ 175,000 \times \frac{1}{{(1 + 0.04)}^{3}} \approx $ 155,574.36 \\ {PV}_{4} & = & $ 90,000 \times \frac{1}{{(1 + 0.04)}^{4}} \approx $ 76,932.38 \\ {PV}_{5} & = & $ 50,000 \times \frac{1}{{(1 + 0.04)}^{5}} \approx $ 41,096.36 \end{array}

9.23

Samanlagt núvirði innborgana fimm er $485,326.48. Það er virði væntra innborgana í dag, miðað við 4% ávöxtun á eftirstöðvum.

Hugtök í framkvæmd

Hugleiðingar Irinu Simmons um greiðsluflæði

Árið 2013 tók höfundur kaflans viðtal við Irinu Simmons, þá aðstoðarforstjóra og áhættustjóra EMC Corporation og fyrrverandi fjárreiðustjóra fyrirtækisins. Sjónarmið hennar varpa skýru ljósi á mikilvægi greiðsluflæðisgreiningar.

AA: Hvers vegna skiptir sjóðstýring svo miklu máli, bæði í rótgrónum fyrirtækjum og sprotafyrirtækjum? Hvernig stenst hún samanburð við hefðbundna áherslu á arðsemi?

Simmons: Arðsemi er gagnlegur mælikvarði fyrir fjárfesta sem meta rekstrarárangur, en greiðsluflæði gefur oft skýrari mynd. Það er auðskilið, gerir fjárhagsstöðu fyrirtækis gagnsæja og er síður háð reikningshaldslegum forsendum. Með markvissri greiningu á greiðsluflæði geta bæði rótgróin fyrirtæki og sprotafyrirtæki metið stöðu sína og árangur af meiri nákvæmni.

AA: Í starfsæviágripi þínu nefnir þú lausafjárstýringu. Hvað felst í henni og hvers vegna er hún mikilvæg fyrirtækjum?

Simmons: Vandaðar spár bæta bæði sjóðstýringu og lausafjárstýringu. Ef unnt er að spá af öryggi fyrir um fjárhæðir og tímasetningu greiðsluflæðis má taka upplýstar ákvarðanir um skammtíma- og langtímalántöku. Agi við spá um sjóðsstöðu getur einnig gert fyrirtæki kleift að binda fé til lengri tíma og fá hærri ávöxtun, í stað þess að geyma allt laust fé á peningamarkaði til að tryggja daglegt lausafé. Traustar spár auðvelda því að samræma inn- og útgreiðslur fyrirtækisins.

AA: Hvaða ráð myndir þú að lokum gefa nemendum sem hyggja á frumkvöðlastarf?

Simmons: „Sjóðurinn er lífæð rekstrarins.“ Gleymið því ekki. Skiljið hvernig fé streymir um fyrirtækið og komið strax á aga í sjóðstýringu. Sprotafyrirtæki freistast stundum til að segja: „Við höfum fengið áhættufjármagn, getum því hafist handa og sinnt sjóðstýringunni síðar.“ Reynslan sýnir hins vegar að því lengur sem beðið er, þeim mun erfiðara verður að uppræta slæmar venjur. Frumkvöðlar sem setja sjóðstýringu í forgang frá upphafi standa betur að vígi þegar reksturinn tekur við sér.

Viðmælandinn og höfundurinn voru sammála um að greiðsluflæðisgreining skipti sköpum, meðal annars við fjárfestingarákvarðanir af því tagi sem fjallað er um í kaflanum. Sameiginleg niðurstaða þeirra var að greiðsluflæði væri sá ás sem viðskiptaheimurinn snerist um.

(Heimild: Alan S. Adams, Business Finance: A Clear View, 3. útgáfa, LAD Publishing, 2015.)