Fyrir kennara

Ein stofa, margar leiðir

Veldu ferð og tímaramma. Safnaðu skýringum og breyttum dæmum; smellir eru ekki mælikvarði á skilning.

Bæta rannsóknarblaði við prentun

Uppgötva hornaföll · 45 mínútur

Við 30° á einingarhring er y = 0,5. Spáðu fyrir um x og y við 120° áður en þú snýrð arminum.

Rannsókn og samtal	Tími
Koma	3 mínútur
1 · Þríhyrningur og hlutföll	5 mínútur
2A · Hringur og vörpun	5 mínútur
2B · Frá hring að bylgju	5 mínútur
3 · Geisli og veggur	5 mínútur
4 · Radíanar	4 mínútur
5 · Hæð vitans	5 mínútur
Samanburður í pörum	8 mínútur
Lokaspurning	5 mínútur
Samtals	45 mínútur

Safnaðu skýringum

Radíusinn tvöfaldast. Hvaða stærðir breytast og hvers vegna?
Hornið fer úr 30° í 120°. Hvaða formerki breytast?
Hvers vegna hittir geislinn ekki vegginn við 120° þótt tangensgildið sé skilgreint?
Leystu sin θ = 0,5 á [0°, 720°). Hvers vegna nægir aðalgildið ekki?
Hvaða forsendur þarf fyrir niðurstöðu mælingarinnar? Hvernig hefur óvissa áhrif?

Undirbúningur og aðgengi

Ekki þarf að stofna notandareikning eða skrá sig inn. Veldu Teikningu fyrir nákvæm myndrit eða minni gagnanotkun. Öll dæmi hafa tölulegar stýringar og gildatöflur. Minni hreyfing heldur rýmissýn tiltækri með handvirkum skrefum. Deildu dæmi með tengli; textaskýringar nemenda fara ekki í tengilinn.

Undirbúin dæmi og rannsóknarblöð

Hver tengill opnar tilbúið dæmi í teikningarsýn. Veldu þrívídd í stofunni ef hún hentar hópnum. Opnaðu leiðbeiningar stöðvar til að skoða markmið, forsendur og verkefni.

Þríhyrningur og hlutföll

Námsmarkmið: Útskýra hvers vegna hlutföll hliðanna haldast óbreytt þegar þríhyrningurinn stækkar.
Fyrri þekking: Þekkja rétt horn, hliðarlengdir og einföld hlutföll.
Forsendur líkansins: Viðmiðunarhornið er milli 0° og 90° og radíusinn er jákvæður.
Jaðartilvik: Við 0° og 90° fæst úrkynjað form; horn í öðrum fjórðungum eru utan þessa þríhyrningsdæmis.
Yfirfærsla: Veldu r = 1,5 og θ = 30°. Spáðu fyrir um mótlæga hlið og útskýrðu svarið með hlutfalli.

Opna undirbúið dæmi

Hvað breytist þegar þríhyrningurinn stækkar?

1 · Spáðu. Spáðu fyrir um mótlæga hlið og hlutfallið mótlæg hlið / langhlið þegar radíusinn tvöfaldast.

2 · Prófaðu. Breyttu einni stærð í einu. Skráðu stillingar og niðurstöður og berðu saman við spána.

3 · Útskýrðu. Útskýrðu tengslin með mynd, orðum eða formúlu.

4 · Breytt dæmi. Veldu r = 1,5 og θ = 30°. Spáðu fyrir um mótlæga hlið og útskýrðu svarið með hlutfalli.

2A · Hringur og vörpun

Námsmarkmið: Tengja sin θ og cos θ við stefnd hnit og hlutföll þeirra við radíusinn.
Fyrri þekking: Lesa hnit og greina lárétta stefnu frá lóðréttri.
Forsendur líkansins: Hornið er mælt rangsælis frá jákvæða x-ásnum; lengdir eru í einingum líkansins.
Jaðartilvik: Við 120° er x neikvætt en hliðarlengdin |x| er jákvæð.
Yfirfærsla: Berðu saman 150° og 330°. Útskýrðu formerki hnitanna og hvað gerist þegar r tvöfaldast.

Opna undirbúið dæmi

Hvað segja hnit punktsins um hornið?

1 · Spáðu. Við 30° á einingarhring er y = 0,5. Spáðu fyrir um x og y við 120° áður en þú snýrð arminum.

2 · Prófaðu. Breyttu einni stærð í einu. Skráðu stillingar og niðurstöður og berðu saman við spána.

3 · Útskýrðu. Útskýrðu tengslin með mynd, orðum eða formúlu.

4 · Breytt dæmi. Berðu saman 150° og 330°. Útskýrðu formerki hnitanna og hvað gerist þegar r tvöfaldast.

2B · Frá hring að bylgju

Námsmarkmið: Greina á milli hornagrafs og tímagrafs og tengja jafnan snúningshraða við endurtekna bylgju.
Fyrri þekking: Tengja lóðrétt hnit við sin θ og lesa ása grafs.
Forsendur líkansins: Tímalíkanið notar fastan hornhraða og upphafsfasa; handstillta hornið θ er sjálfstætt.
Jaðartilvik: Handahófskennd hreyfing handfangsins er ekki tímamæling við jafnan snúningshraða.
Yfirfærsla: Tvöfaldaðu ω á tímagrafinu. Spáðu fyrir um sveiflutímann og útskýrðu hvers vegna sveifluvíddin breytist ekki.

Opna undirbúið dæmi

Hvernig endurtekur hæðin sig við snúning?

1 · Spáðu. Spáðu fyrir um hæð punktsins við 0°, 90°, 180°, 270° og 360°. Teiknaðu í huganum hvernig hæðin breytist á milli.

2 · Prófaðu. Breyttu einni stærð í einu. Skráðu stillingar og niðurstöður og berðu saman við spána.

3 · Útskýrðu. Útskýrðu tengslin með mynd, orðum eða formúlu.

4 · Breytt dæmi. Tvöfaldaðu ω á tímagrafinu. Spáðu fyrir um sveiflutímann og útskýrðu hvers vegna sveifluvíddin breytist ekki.

Geisli og veggur

Námsmarkmið: Tengja tan θ við hlutfall hæðar og láréttrar fjarlægðar og greina hvort framgeislinn hittir vegginn.
Fyrri þekking: Þekkja sin θ, cos θ og deilingu.
Forsendur líkansins: Veggurinn er hægra megin við upphafspunktinn í fjarlægð d > 0.
Jaðartilvik: Við 89° er hæðin endanleg en getur verið utan myndar; við 90° er tangens óskilgreint.
Yfirfærsla: Berðu saman 30° og 210°. Útskýrðu hvers vegna hallatalan er sú sama en aðeins annar framgeislinn hittir vegginn.

Opna undirbúið dæmi

Hvenær hittir geislinn vegginn?

1 · Spáðu. Veggurinn er hægra megin við upphafspunktinn. Spáðu fyrir um hvað gerist við 90° og 120°.

2 · Prófaðu. Breyttu einni stærð í einu. Skráðu stillingar og niðurstöður og berðu saman við spána.

3 · Útskýrðu. Útskýrðu tengslin með mynd, orðum eða formúlu.

4 · Breytt dæmi. Berðu saman 30° og 210°. Útskýrðu hvers vegna hallatalan er sú sama en aðeins annar framgeislinn hittir vegginn.

Horn vafið um hring

Námsmarkmið: Útskýra radían með hlutfallinu s/r og greina stefndan snúning frá stöðu á hring.
Fyrri þekking: Þekkja radíus, boga og ummál hrings.
Forsendur líkansins: Í s = rθ er θ í radíönum og s er stefnd bogafærsla frá upphafsstöðu.
Jaðartilvik: 60° og 420° hafa sömu endastöðu en ólíkan heildarsnúning; bogafærsla er ekki heildarvegalengd ef stefna snýst við.
Yfirfærsla: Tvöfaldaðu radíusinn við óbreytt horn. Útskýrðu hvaða lengdir tvöfaldast og hvaða hlutfall helst óbreytt.

Opna undirbúið dæmi

Hversu oft kemst radíusinn fyrir á boganum?

1 · Spáðu. Bogi sem er jafnlangur radíusnum spannar einn radían. Hvað gerist við hornið þegar bæði radíus og bogalengd tvöfaldast?

2 · Prófaðu. Breyttu einni stærð í einu. Skráðu stillingar og niðurstöður og berðu saman við spána.

3 · Útskýrðu. Útskýrðu tengslin með mynd, orðum eða formúlu.

4 · Breytt dæmi. Tvöfaldaðu radíusinn við óbreytt horn. Útskýrðu hvaða lengdir tvöfaldast og hvaða hlutfall helst óbreytt.

Mælingar við ströndina

Námsmarkmið: Finna hæð úr láréttri fjarlægð og upphækkunarhorni og útskýra forsendur og óvissu.
Fyrri þekking: Þekkja tangens sem hlutfall mótlægrar og aðlægrar hliðar.
Forsendur líkansins: Tilbúni turninn er lóðréttur og 31,6 m hár; jörðin er lárétt, d er í metrum og hæð mælitækisins bætist við.
Jaðartilvik: Við 90° eða óvissubil sem nær 90° er ekki hægt að gefa endanleg efri hæðarmörk; SSA-gögn geta gefið tvo þríhyrninga.
Yfirfærsla: Færðu mælipunktinn frá 40 m í 20 m. Hvaða horn gefur enn 31,6 m hæð og hvers vegna? Berðu síðan saman tvær SSA-lausnir.

Opna undirbúið dæmi

Hvernig má finna hæð án þess að klifra?

1 · Spáðu. Í þessu ímyndaða dæmi mælum við frá láréttri jörð. Hvaða stærðir þarftu auk upphækkunarhornsins?

2 · Prófaðu. Breyttu einni stærð í einu. Skráðu stillingar og niðurstöður og berðu saman við spána.

3 · Útskýrðu. Útskýrðu tengslin með mynd, orðum eða formúlu.

4 · Breytt dæmi. Færðu mælipunktinn frá 40 m í 20 m. Hvaða horn gefur enn 31,6 m hæð og hvers vegna? Berðu síðan saman tvær SSA-lausnir.

Jafnan sem helst sönn

Námsmarkmið: Rökstyðja sin² θ + cos² θ = 1 með reglu Pýþagórasar og greina summuna frá x² + y².
Fyrri þekking: Þekkja ferningsflatarmál, hnit og reglu Pýþagórasar.
Forsendur líkansins: r > 0, svo deila má x² + y² = r² með r²; flatarmál eru óneikvæð þótt hnit séu neikvæð.
Jaðartilvik: Við r = 2 er x² + y² = 4 en cos² θ + sin² θ = 1; sin θ + cos θ er ekki þessi summa.
Yfirfærsla: Prófaðu 120° við r = 2 og rökstyddu niðurstöðuna. Bættu 45° við og berðu saman við hornasummureglurnar.

Opna undirbúið dæmi

Hvers vegna er sin² θ + cos² θ alltaf 1?

1 · Spáðu. Snúðu arminum. Spáðu fyrir um summu flatarmála ferninganna á láréttu og lóðréttu hliðunum.

2 · Prófaðu. Breyttu einni stærð í einu. Skráðu stillingar og niðurstöður og berðu saman við spána.

3 · Útskýrðu. Útskýrðu tengslin með mynd, orðum eða formúlu.

4 · Breytt dæmi. Prófaðu 120° við r = 2 og rökstyddu niðurstöðuna. Bættu 45° við og berðu saman við hornasummureglurnar.

Bylgjusmiðjan

Námsmarkmið: Tengja sveifluvídd, sveiflutíma, fasa og miðlínu við aðskildar stýringar bylgjunnar.
Fyrri þekking: Lesa tímaás og þekkja sínus sem endurtekið fall.
Forsendur líkansins: y(t) = c + A sin(ωt + φ) er kjörlíkan; φ er í radíönum í formúlunni og ω í radíönum á sekúndu.
Jaðartilvik: Þegar A eða ω er núll er fallið fast og hefur engan einn grundvallarsveiflutíma; neikvætt ω snýr hreyfingunni við.
Yfirfærsla: Finndu stillingar með sveifluvídd 2, sveiflutíma 4 s og miðlínu −1. Útskýrðu hverja breytingu áður en þú prófar hana.

Opna undirbúið dæmi

Hvaða stýring breytir hvaða eiginleika bylgjunnar?

1 · Spáðu. Í y(t) = c + A sin(ωt + φ) ræður A sveifluvíddinni. Hvaða stýring heldurðu að breyti sveiflutímanum?

2 · Prófaðu. Breyttu einni stærð í einu. Skráðu stillingar og niðurstöður og berðu saman við spána.

3 · Útskýrðu. Útskýrðu tengslin með mynd, orðum eða formúlu.

4 · Breytt dæmi. Finndu stillingar með sveifluvídd 2, sveiflutíma 4 s og miðlínu −1. Útskýrðu hverja breytingu áður en þú prófar hana.

Eitt gildi, fleiri horn

Námsmarkmið: Greina aðalgildi andhverfs falls frá öllum lausnum hornafallajöfnu á tilteknu bili.
Fyrri þekking: Þekkja hringhnit, sínus og endurtekningu eftir heila umferð.
Forsendur líkansins: q er hlutfall án einingar; lausnabilið er hálfopið og hægri endapunkturinn er ekki talinn með.
Jaðartilvik: Við q = ±1 falla tvær lausnafjölskyldur saman; |q| > 1 gefur enga raunlausn fyrir sínus og kósínus.
Yfirfærsla: Leystu cos θ = 0,5 á tveimur umferðum. Leystu síðan 1 + 2 sin(πt/2) = 2 á [0,4) s og rökstyddu lausnabilið.

Opna undirbúið dæmi

Af hverju skilar reiknivélin aðeins einu horni?

1 · Spáðu. Finndu öll horn á [0°, 360°) þar sem sin θ = 0,5. Er svarið arcsin(0,5) tæmandi?

2 · Prófaðu. Breyttu einni stærð í einu. Skráðu stillingar og niðurstöður og berðu saman við spána.

3 · Útskýrðu. Útskýrðu tengslin með mynd, orðum eða formúlu.

4 · Breytt dæmi. Leystu cos θ = 0,5 á tveimur umferðum. Leystu síðan 1 + 2 sin(πt/2) = 2 á [0,4) s og rökstyddu lausnabilið.

Stefna og snúningur

Námsmarkmið: Tengja stefnu og lengd vigurs við þætti hans og útskýra lengdarvarðveislu við snúning.
Fyrri þekking: Lesa hnit og þekkja sin θ og cos θ.
Forsendur líkansins: Vigurinn og snúningurinn eru í einu plani; upphafspunkturinn ákvarðar endapunkt en breytir ekki vigurþáttunum.
Jaðartilvik: Núllvigur hefur enga ótvíræða stefnu; vigur með lengd yfir 3 er áfram gildur staðbundinn vigur þótt flutningur í sameiginlega sýn sé ekki tiltækur.
Yfirfærsla: Færðu upphafspunktinn í (1,−1), sláðu inn (−1,1) og snúðu um 45°. Útskýrðu stefnu, endapunkt og óbreytta lengd.

Opna undirbúið dæmi

Hvað helst óbreytt þegar vigur snýst?

1 · Spáðu. Vigur með lengd 1 og stefnu 30° hefur þættina (0,866; 0,5). Hvað breytist við 45° snúning?

2 · Prófaðu. Breyttu einni stærð í einu. Skráðu stillingar og niðurstöður og berðu saman við spána.

3 · Útskýrðu. Útskýrðu tengslin með mynd, orðum eða formúlu.

4 · Breytt dæmi. Færðu upphafspunktinn í (1,−1), sláðu inn (−1,1) og snúðu um 45°. Útskýrðu stefnu, endapunkt og óbreytta lengd.

Tengsl við námsefni

Grunnskólatengsl eru einslögun, hlutföll, hringir og regla Pýþagórasar. Hornaföll eru ekki sérstaklega nefnd í yfirförnum kafla 25. Í framhaldsskóla tengjast stöðvarnar hornaföllum á hæfniþrepi 2 og hornafallajöfnum á þrepi 3. Hæfniþrep er ekki skólaár. Verkefnin eru tillögur að leiðsagnarmati, ekki staðfest mælitæki.

Aðalnámskrá grunnskóla · 25 · Aðalnámskrá framhaldsskóla · 18.5 · OpenStax Precalculus 2e · 5.2